高中数学一二维形式的柯西不等式试题2019.091,某单位为了了解用电量y 度与气温C x 0之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(0C)18 13 10 -1 用电量(度)24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程a bx yˆ+=中2b -=，预测当气温为04C - 时，用电量的度数约为________.2,设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为________3,对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据.观测次数i 1 2 3 4 5 6 7 8观测数据i a40 41 43 43 44 46 47 48 在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中a是这8个数据的平均数),则输出的S 的值是________4,设P 为曲线2:1C y x x =-+上一点,曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[1,3]-,则点P 纵坐标的取值范围是________5,已知{}n a 是等比数列,242,8a a ==,则1223341n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=________6,在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线xy k =（0k >）上任意一点P ,若点P 在x 轴、y 轴上的射影分别为M 、N ，则PM P N ⋅必为定值k ”.类比于此，对于双曲线22221x y a b -=（0a >,0b >）上任意一点P ,类似的命题为:________.7,现有下列命题:①命题“2,10x R x x ∃∈++=”的否定是“2,10x R x x ∃∈++≠”；② 若{}|0A x x =>,{}|1B x x =≤-,则()A B R ð=A ；③函数()sin()(0)f x x ωφω=+>是偶函数的充要条件是()2k k Z πφπ=+∈；④若非零向量,a b 满足||||||a b a b ==-,则()b a b -与的夹角为 60º.其中正确命题的序号有________.(写出所有你认为真命题的序号)8,设,A F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点P ,使得线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ,则椭圆的离心率的取值范围是________ 9,若关于x 的不等式22x x t<--至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是________ 10,已知在ABC ∆中,cos A =,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边.(Ⅰ)求tan 2A ；(Ⅱ)若sin()2B π+=,c =求ABC ∆的面积. 11,已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.12,已知函数2()(33)xf x x x e =-+⋅定义域为[]t ,2-(2t >-),设n t f m f ==-)(,)2(.(Ⅰ)试确定t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数；(Ⅱ)求证:n m >；(Ⅲ)求证:对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足0'20()2(1)3xf x t e =-,并确定这样的0x 的个数13,在正项数列{}n a 中,令1nn i S ==.（Ⅰ）若{}n a 是首项为25,公差为2的等差数列,求100S ；（Ⅱ）若n S =（p 为正常数）对正整数n 恒成立,求证{}n a 为等差数列；（Ⅲ）给定正整数k ,正实数M ,对于满足2211k a a M ++≤的所有等差数列{}n a ,求1221k k k T a a a +++=++⋅⋅⋅+的最大值.14,袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为27.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用ξ表示取球终止时所需要的取球次数． (Ⅰ)求袋中原有白球的个数；(Ⅱ)求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ； (Ⅲ)求甲取到白球的概率．15,复数1i -的虚部是（ ） A ．i - B ．1C ．1-D ． i16,下列四个命题中，不正确的是（ ）A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则00lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→=B ．111lim12x x →=-C ．函数()f x =239x x +-的不连续点是x =3和x =－3D ．若函数()f x 、()g x 满足lim[()()]0x f x g x →∞-=，则lim ()lim ()x x f x g x →∞→∞=17,函数213(10)x y x -=-≤<的反函数是（ ）A ．1)3y x =≥ B ．1(1)3y x =<≤C ．1(1)3y x =<≤D ．1)3y x =≥18,连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．712B ．12C ．512D ．5619,如果消息A 发生的概率为()P A ，那么消息A 所含的信息量为()()21log I A P A =。

若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（ ）A ．王教授在第4排B ．王教授在第4排第5列C ．王教授在第5列D ．王教授在某一排20,将数字3，4，5，6，7排成一行，使得相邻两个数都互质，则可能的排列方法共有（ ）A ．30种B ．48种C ．42种D ．36种试题答案1, 68 2, 4 3, 74, 3[,3]4 5, 2(14)3n ±-6, 若点P 在两渐近线上的射影分别为M 、N ，则PM P N ⋅必为定值2222a b a b +7, ②③8, 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 9, 9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10, 解: (Ⅰ)因为cos 3A =,∴sin 3A =,则tan 2A =22tan tan 21tan AA A ==- (Ⅱ)由sin()23B π+=,得cos 3B =,1sin 3B =sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=由正弦定理,得sin 2sin c Aa C ==,∴ABC ∆的面积为1sin 23S ac B ==11, 解:(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩,解得00a b =⎧⎨=⎩则圆C 的方程为222x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=(Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++ =224x y x y +++-=2x y +-,所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--=因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k --=+同理,22211B k k x k +-=+,所以(1)(1)1B A B ABAB B A B A B Ay y k x k x k k x xk x x x x x x ------+====---=OP k所以,直线AB 和OP 一定平行12, (Ⅰ)解:因为2()(33)(23)(1)x x xf x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅由()010f x x x '>⇒><或；由()001f x x '<⇒<<,所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减欲)(x f 在[]t ,2-上为单调函数,则20t -<≤(Ⅱ)证:因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增,在(0,1)上递减,所以()f x 在1x =处取得极小值e又213(2)f e e -=<,所以()f x 在[)2,-+∞上的最小值为(2)f -从而当2t >-时,(2)()f f t -<,即m n < (Ⅲ)证:因为0'2000()x f x x x e =-,所以0'20()2(1)3x f x t e =-即为22002(1)3x x t -=-,令222()(1)3g x x x t =---,从而问题转化为证明方程222()(1)3g x x x t =---=0在(2,)t -上有解,并讨论解的个数因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-,221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+-所以①当421t t >-<<或时,(2)()0g g t -⋅<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且只有一解②当14t <<时,(2)0()0g g t ->>且,但由于22(0)(1)03g t =--<,所以()0g x =在(2,)t -上有解,且有两解③当1t =时,2()001g x x x x x =-=⇒==或,所以()0g x =在(2,)t -上有且只有一解；当4t =时,2()6023g x x x x x =--=⇒=-=或, 所以()0g x =在(2,4)-上也有且只解综上所述, 对于任意的2->t ,总存在),2(0t x -∈,满足020(1)3xt e =-,且当421t t ≥-<≤或时,有唯一的0x 适合题意；当14t <<时,有两个0x 适合题意(说明:第(Ⅱ)题也可以令2()x x x ϕ=-,(2,)x t ∈-,然后分情况证明22(1)3t -在其值域内,并讨论直线22(1)3y t =-与函数()x ϕ的图象的交点个数即可得到相应的0x 的个数)13, （Ⅰ）解：由题意得=,所以100S=5=（Ⅱ）证:令1n ==,则p =1所以1nn i S ===1）,111n n i S ++==2）,（2）-（1）,化简得121(1)(1)n n n a na a n +++-=≥（3）231(2)(1)(1)n n n a n a a n +++-+=≥（4）,（4）-（3）得1322(1)n n n a a a n ++++=≥在（3）中令1n =,得1322a a a +=,从而{}n a 为等差数列 （Ⅲ）记1k t a +=,公差为d ,则1221k k k T a a a +++=++⋅⋅⋅+=(1)(1)2k k k t d +++则12T kdt k =++,222211()k M a a t t kd +≥+=+-222414()(43)()10210102kd kd t t kd t =++-≥+22()51T k =+则(2k T +≤,当且仅当2432()52t kdkd M t =⎧⎪⎨=+⎪⎩,即1k a t d +⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立14, 解：(Ⅰ)设袋中原有n 个白球,由题意知：2272(1)2767762n C n n C -===⨯⨯，所以(1)n n -=12，解得n=4(舍去3n =-),即袋中原有4个白球(Ⅱ)由题意,ξ的可能取值为1，2，3，44342324432141(1);(2);(3);(4)776776535765435P P P P ξξξξ⨯⨯⨯⨯⨯⨯===========⨯⨯⨯⨯⨯⨯,所以，取球次数ξ的分布列为：ξ1234P472743513585E ξ=(Ⅲ)因为甲先取,所以甲只有可能在第1次和第3次取球,记“甲取到白球”的事件为A ，则()("1"P A P ξ==或 “ξ=3”）,所以24()(1)(3)35P A P P ξξ==+==15, C 16, D 17, C 18, A 19, B 20, D。