与圆有关的计算（一）
一、关于弦长的计算。

在圆中，关于弦长、弦心距的计算，通常是利用垂径定理构造出由半径、弦心距以及半弦组成的直角三角形，再根据勾股定理，直角三角形中的边角关系来求未知量。

1．已知⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且BC=BD ，，EB=2，则弦CD 的长为 。

2
．四边形ABCD 是⊙O 的内接梯形，AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，
AB=6cm ，CD=8cm ，则梯形的高为 。

3．在以O 为圆心，半径分别为5cm 和8cm 的两个圆中有点
Q ，OQ=4cm 。

过点Q 分别作大圆的弦AB ，小圆的弦EF ，则AB 的最大值与EF 的最小值的和为 。

4．如图1，⊙O
的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=7cm ，EB=3cm,∠BED=30°，则CD 的长为 。

5．如图2，⊙O
的直径AB=10cm ，C 是⊙O 上一点，点D 平分BC ，OD 交BC 于E,DE=2cm ，则弦AC= 。

6．如图3，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于D ，则AD 的长为 。

7．如图4，一弓形弦AB 的长为cm 64，弓形所在圆的半径为7cm ，HG 为⊙O 的直径，求弓形的高为 。

8．如图5，已知AB 是⊙O 的直径，过A 、B 分别作弦EF 的垂线交直线EF 于C 、D ，AC=2cm ，BD=4cm ，⊙O 的半径为5cm ，则EF 的长为 。

9．如图6，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC 的平分线交⊙O 于D ，交AC 于E ，AB=7，AE=3，DE=1，则AD 的长为 。

10．如图7，已知AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，它们相交于圆内一点P ，圆的半径是5，两条弦长均为8，则OP 的长为 。

图6
图7 图5
图2
图1
图3
图4
二、关于角度的计算。

求圆中角的度数主要是利用圆中有关角的定理来求解。

这些定理包括： （1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

（3）直径所对的圆周角是直角。

（4）同弧或等弧所对的圆周角相等。

（5）圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

（6）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

1．如图1，两圆相交于A 、B 两点，且⊙2O 过⊙1O 的圆心。

若∠D=40°，求则∠C 的度数为 。

2．如图2，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，DC 的延长线交AB 于点A ，∠A=20°，则∠DBE= 。

3．在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角= 。

4．如图3，已知∠BAC=50°，求∠D+∠E 的度数为 。

5．已知：如图4，△ABC 内接于⊙O ，∠A=60°，∠ABC=80°，D 是BC 上一点，AB=AE ，则∠BDE= 。

6．已知：如图5
，A 、B 、E 、D 、C 都在同一圆周上，量得BE 和ED 分别是32°
和48°，则∠P+∠E= 。

7．已知：如图6，延长⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线相交于点E ，且ED=OB ，∠E=20°。

则∠ODC= ，∠AOC= 。

8．已知：如图7，AB 是直径，CD 是弦，过C 点的切线与AD 的延长线交于E 点，若∠A=56°，∠B=64°，则∠CED= 。

9．已知：如图8，BD 、CE 是⊙O 的直径，弦AE ∥BD ，AD 交CE 于F ，∠A=20°。

则∠AFC= 。

10．如图9，∠E=40°，AB=BC=CD ，则∠ACD= 。

图6 图7
图8 图9
图5
E
P 图2
图1
图3
图4
三、半径的求法。

圆半径是圆内的特殊线段，其计算的主要方法包括：勾股定理、相交弦定理、切割线定理、利用相似三角形的对应边成比例等等。

1．如图1，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=4，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，则⊙O 的半径长为 。

2．如图2，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM=MC ，若AM=1.5，BM=4，则半径的长为 。

3．如图3，∠AOC=60°，点B 在OA 上，且OB=32，若以B 为圆心，R 为半径的圆与直线OC 相离，则R 的取值范围是 。

4．如图4，PT 是⊙O 的切线，切点为T ，M 是⊙O
BM=BP=2，
PT=52，OM=3，试求⊙O 的半径。

5．如图5
，⊙O 和⊙O ′相交于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，CA 延长线交⊙O ′于点D ，CB 的延长线交⊙O ′于点E ，又CE=10，DE=AC=6，求⊙O ′半径的长。

6．如图6，已知等腰△ABC 中，点O 在BC 上，以O 为圆心作圆切两腰于D 、E ，
AB=10cm ，BC=12cm ，求⊙O 的半径。

C
D 图1
C
图2
图4 P 图6
图5
O C B
A
图3
7．如图7，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过圆心O 的割线。

已知PA=10，PB=5，求：（1）⊙O 的半径；（2）P sin 的值。

8．如图8，已知⊙1O 与⊙2O 相交于C 、D 两点，连心线1O 2O 和⊙2O 相交于B 、A 两点，AC 、AD 的延长线分别和⊙1O 相交于点E 、F 。

（1）求证：CE=DF 。

（2）如果⊙2O 的半径为2，∠ABC=60°，且EC=CD ，求⊙1O 的半径。

9．已知：如图9，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙O 、⊙O ′分别是△ABC 的外接圆、内切圆，⊙O ′切AB 、BC 、CA 于D 、E 、F 。

求OO ′的长。

10．已知：如图10，⊙O 的直径AB=4cm ，半径OC ⊥AB ，OC 为⊙1O 的直径，⊙2O 与⊙O 内切，与⊙1O 外切，且与OA 相切，求⊙2O 的半径。

B
图9
图10
图8
【本课小结】认真思考并解决以下问题，会有意想不到的收获。

1．看到弦，则作。

2．看到直径，则作。

3．求弦所对的圆周角，注意。

4．看到同弧或等弧，注意。

5．看到切线，则。

6．看到弦切角，注意。

7．看到两圆相交，则作。

8．看到没有给出图形的几何题，小心。

1．如图1，AB是半圆的直径，AC=AD，OC=2，∠CAB=30°，则点O到CD的距离OE= 。

2．已知△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC=120°，则∠BAD= 。

3．如图2，在⊙O中，AB=AC=CD，AB=3,5
=
⋅ED
AE,到EC的长为
4．如图3，ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，F是BC的中点，AF的延长线交⊙O于点E，则AE的长为。

5．△ABC是半径为2cm的圆内接三角形，若BC=3
2cm，则∠A的度数
为。

6．圆内接四边形ABCD中，若∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,则∠D的度数为。

7．A是半径为5的⊙O内一点，且OA=3，过点A且长小于8的弦有条。

8．如图4，AB、BC是⊙O的两条弦，且AB⊥BC，又BE=
3
2
AE，CF=
5
3
BC，若⊙O 半径为5cm，那么EF= cm。

9．如图5，已知半圆的圆心在Rt△ABC的斜边上，且半圆分别切AB、AC于D、E，AB=3cm，AC=4cm，则半圆的半径是。

10．如图6，PC切⊙O于C，PO交⊙O于A，DA切⊙O于A交PC于D，若=
DP
CD:1:3，
图2
图3 图1
AD=2，则⊙O 的半径为 。

11．如图7，点O 为⊙O ′上任意一点，⊙O 与⊙O ′相交于A 、B ，E 是优弧AB 上的一点，EO 交⊙O 于C 、D ，交AB 于F ，且CF=1，EC=2，则⊙O 的半径是 。

12．如图8，点P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PT 切⊙O 于点T ，已知PT=4，PB=2，⊙O 的半径是 。

图7
P
图8
A
图5
图6
P
图4。