i.e. T {i} 是一个 h 可分离
系统，计算时的二维问题就变成行和列的两次一维计算。
6.1.1 空间域图像退化模型（Image Degraded Model） 实际问题中，我们还要考虑图像噪声，if image noise is 为加性的，得图像退化模型
+∞
n ( x , y ) ,且
g ( x, y ) =
2
第六章 图像复原
6.1 图像退化模型[1
－4]
设一成像系统的物像映射关系（或说退化图像）为
g ( x, y ) = T { f ( x, y )}
式中
g ( x, y ) ：输出的退化函数或称退化图像；
f ( x, y ) ：输入的图像函数；
T {i} ：成像系统作用的运算符，可以认为是线性算子。
第六章 图像复原
第六章 图像复原（Image Restoration）
图像增强：用适当方式改善图像质量，增强图像的视觉效果，以适 应人眼的视觉和心理， 不用考虑增强处理后的图像是否符合原有图像， 是 否失真。 图像复原：试图利用退化过程的先验知识，去恢复已被退化图像的 本来面目。 成像系统受各种因素的影响，导致了图像质量的降低，或者说是退 化。由于获得图像的方法不同（光学、光电子或电子等） ，有多种退化形 式，都使成像的分辨率和对比度退化，例如： 传感器噪声 摄像机聚焦不佳 物体与摄像机之间的相对移动 随机大气湍流 光学系统的象差 成像光源和射线的散射
+∞
− j 2 π ux
dx = G ( u ) F ∗ ( u )
可证
G (u ) → F ∗ (u ) →
证明：
−∞ +∞
∫
g ( s )e − j 2 π us ds
。
−∞
∫
f (α )e j 2π uα d α
9
第六章 图像复原
+∞
−∞
∫ [ f ( x)
g ( x)] e
− j 2π ux
⎡ +∞ ⎤ − j 2π ux dx = ∫ ⎢ ∫ f (α ) g ( x + α )dα ⎥e dx −∞ ⎣ −∞ ⎦ +∞ ⎡ +∞ ⎤ = ∫ f (α ) ⎢ ∫ g ( x + α )e− j 2π ux dx ⎥dα −∞ ⎣ −∞ ⎦
+∞ +∞
=
这里因为
+∞
−∞
∫
f (α )e j 2π uα G (u )dα = G (u ) F ∗ (u )
g ( x, y ) = ∫ f [ x − Δx(t ), y − Δy (t ) ] dt
0
T
且在曝光时间 T 内的 再简化一次， 令物体仅在 x 方向上作匀速直线运动， 总位移量为 a ，物体沿 x 方向的变换分量为
Δx(t ) =
a t, T
5
第六章 图像复原
有
g(x, y )= ∫ f ( x −
若 f ( x ) = g ( x ) ，是同一函数， f ( x ) g ( x ) 表示自相关函数
f ( x ) f ( x ) ⇔ F (u ) F (u ) = [ F (u ) ]
∗
2
。
对二维的情况， 如果 函数，相关定义为
f ( x, y ) and g ( x, y ) 是连续变量 x, y 的
x 方向移动时的图像退化模型为：
0≤ x≤a elsewhere
。
⎧T ⎪ h( x ) = ⎨ a ⎪ ⎩0
h(x)
0
a
x
或因成像系统的离焦造成点像弥散成一个圆盘:
6
第六章 图像复原
⎧h Δ 2 x(t ) + Δ 2 y (t ) ≤ r0 ⎪ 0 h ( x, y ) = ⎨ elsewhere ⎪ ⎩0 h0为点光强；r0为圆盘半径
按照线性系统的性质： 复杂激励
f ( x, y ) ＝无数个 δ 函数激励之和 f ( x, y ) 用二维 δ ( x, y ) 函数的二
利用 δ 函数的选择性，可以把图像 维卷积表示出来
+∞
f ( x, y ) =
退化图像：
−∞
∫ ∫ f (α , β )δ ( x − α , y − β )dα d β 。
+∞
g ( x, y ) =
−∞
∫ ∫ f (α , β )h( x − α , y − β )dα d β
f ( x, y ) ∗ h ( x, y )
（卷积形式）＝
正是点扩散函数 h 使图像退化。 这就是近代光学中用成像概念来描述 的退化图像（degraded image）的数学表达式。 If
h( x,α , y, β ) = h1 ( x,α )h2 ( y, β ) ，
8
第六章 图像复原
3）大气湍流模糊的传递函数[5] 在长时间曝光时，大气湍流将使图像产生模糊，这种传递函数可近似 为高斯函数
5 ⎡ 2 2 H (u, v) = exp ⎢ −c ( u + v ) 6 ⎤ ⎥ ⎣ ⎦
式中 c 为与湍流性质相关的常数。 6.1.3 能量域的退化模型 相关定理――卷积定理的一个特例[6] 这个定理构成了函数在空域与频域的一种联系。 两个函数相关―互相关函数，这里
把 f ( x, y ) and g ( x, y ) 看成是大小分别为
A × B and C × D
的离散数列，在 x, y 方向上延拓这些数列为每个周期 M , N 。为了避免 交叠效应的产生，令周期为：
M = A + C −1 N = B + D −1
此时，
f ( x, y ) and g ( x, y ) 有如下形式：
图像退化的主要表现形式： 图像模糊 图像受到干扰 由于成像系统造成图像退化的典型现象是模糊，所以图像复原的一 个基本任务就是去模糊。
1
第六章 图像复原
由于图像复原是建立在比较严格的数学推导之上的，存在较复杂的 数学运算是本章特点。
建模
→
拟合图像
↓
连续数学 离散数学
图像复原的基本思路：先建立退化的数学模型，然后根据该模型对 退化图像进行拟合。 图像复原模型可以用连续数学和离散数学处理，处理项的实现可在空 间域卷积，或在频域相乘。
例 运动模糊的 degraded Model 运动模糊：成像系统与物体间相对运动造成的像模糊。 设只有像函数 f ( x , y ) 相对系统的移动。设
Δx (t ) ： x 方向的移动分量； Δy (t ) ： y 方向的移动分量。
胶片上的总曝光量为在快门开闭时间 T 的积分，即运动模糊成像表示为：
1 1 ⎛ x⎞ J1 ( x ) = ∑ ( − ) ⎜ ⎟ k ! (n + k )! ⎝ 2 ⎠ k =0
k ∞
x x3 x5 = − + − 2 16 384
J1(x) 0.5 0 -0.5 4 7 10 x
该传递函数在以原点为中心， r0 的倍数为半径处存在零点，形成一 些同心暗环， 由离焦图像的频谱上估计出这些同心圆的半径， 即可确立离 焦模糊的传递函数。
结论：首先求出系统对基元 δ 函数的响应（输出）表达式（即系统脉 冲响应） ，再乘以相应权重因子后求和，就可以得到退化图像。 脉冲响应只依赖 ( x − ξ ) 和 ( y − η ) ，是具有移不变性质：
h ( x, α , y , β ) = h ( x − α , y − β )
据此，我们得到
0
T
a t )dt = g ( x) T then
let t1 =
a t, T
g(x, y ) = g ( x)= ∫ f ( x − t1 )
0
a
T dt1 = f ( x) ∗ h( x) a
where:
h( x ) =
T , a
0 ≤ x ≤ a 为沿 x 方向造成运动模糊的点扩散
函数。即，运动物体沿
其中 H (u , v ) 又称系统的传递函数。从频域看，由于系统传递函数的退化 导致输出产生退化。
1) 运动模糊的传递函数
if PSF 为一矩形函数，且是沿 x 方向移动的运动模糊的点扩散函数， 则系统点扩散函数的 FT 代表了系统因运动模糊的传递函数
H (u ) =
T sin π uae − jπ ua π ua
+∞
f ( x) g ( x) =
−∞
∫
f (α ) g ( x + α )dα
，
这里类似卷积计算，但不是 g ( x − α ) ， ∴ 不需要折叠操作 ，只需要直接 使 g ( x ) 移动、与 f ( x) 相乘并积分即可。 对应 Fourier 变换
+∞
−∞
∫ [ f ( x)
g ( x)]e
0 ≤ x ≤ A − 1 and 0 ≤ y ≤ B − 1 A ≤ x ≤ M − 1 and B ≤ y ≤ N − 1 0 ≤ x ≤ C − 1 and 0 ≤ y ≤ D − 1 C ≤ x ≤ M − 1 and D ≤ y ≤ N − 1
⎧ f ( x, y ) f e ( x, y ) = ⎨ ⎩0 ⎧ g ( x, y ) g e ( x, y ) = ⎨ ⎩0
6.1.2 频域退化模型 首先，将空间域退化模型写成卷积形式
g ( x, y ) = f ( x, y ) ∗ h ( x, y ) + n ( x, y )
After Fourier Transform,
G (u , v ) = F (u , v )i H (u , v ) + N (u , v )
ˆ ( x, y ) ― f ( x , y ) 的最佳估计 , 故求 的复原图像（ Restored image ） f