V2k、V3k和V4k四个点， 该四点构成u向的一个特
d1
征多边形，定义一条新 2
的曲线P(u,vk)；
d11
v
d14
d13
C1 d22
d23
C2 d32
d21
d31
u
d24 d33 C3 d4
2
d41
d34
d44 d43
C4
v
C1
C2 C3
V1k
V2k V3k
u
C4
V4k
✓当参数vk在[0,1] 之间取不同值时， P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由 给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4) 定义的双三次均匀B样条曲面片 P(u,v)。
t [0,1]
1
2
3
4
5
t
四段二次(三阶)均匀B样条基函数
曲线的起点和终点值：
pi
(0)
1 2
(Pi
Pi 1 ),
pi
(1)
1 2
(Pi1
Pi2 )
均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：
pi(0) Pi1 Pi , pi(1) Pi2 Pi1
P1
P2
P0
P3
四个控制点的二次周期性B样条曲线
第七章 B样条曲线曲面
Bezier曲线有许多优越性，但有几点不足： 一、控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的
阶次； 二、不能作局部修改； 三 、Bezier曲线的拼接比较复杂。
• 1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了 1946年Schoenberg提出的样条方法 , 提出 了B样条方法，在保留Bezier方法的优点， 克服了Bezier方法的弱点。
tj+1-k
tj
tj+q-1
tj+q
k 阶B样条曲线上参数为 t [0,1] 的一点至多与k 个控制顶点 Pj ( j i k 1, ,i)有关，与其它控制 顶点无关；
移动该曲线的第i个控制顶点Pi至多影响到i~i+k 段上那部分曲线的形状，对曲线的其余部分不发 生影响。
P1
P2
P4
P7 P6
给定16个顶点dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4)构成的特征网格，可以定义一张曲面片。 ✓用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4 )构建四条V向曲线C1、C2、C3和C4(图中虚线);
✓参数v在[0,1] 之间取值
vk ，对应于vk曲线C1、
C2、C3和C4上可得到V1k、
• 对于高次多项式，起点和终点是k-1个控制点 的加权平均值点。
7.2 B样条曲线函数的性质
(1)局部支撑性
B样条基函数有
0, Bi,k (t) 0,
ti t tik 其它
即Bi,k (t)只在区间(ti , tik ) 中为正，在其它地方 Bi,k (t) 的 值均为零(k>1)。
tj-k
三次B样条曲线
三次B样条曲线表达式为
Pi
(t)
1 6
(t 3
3t 2
3t
1) Pi
1 6
(3t 3
6t 2
4)Pi1
1 6
(3t 3
3t
2
3t
1) Pi 2
1 6
t
3 Pi 3
,
0t 1
1 3 3 1 Pi
pi (t) t3
t2
t
1
1
3
6 3
6 0
1
4
3 3 1
0
Pi1
B样条凸包
B样条曲线
m=3 Bezier凸包
B样条凸包
Bezier曲线
m=4 Bezier凸包
B样条凸包 m=5
Bezier曲线
Bezier凸包
B样条曲线
(a) B样条曲线和Bezier曲线的凸包比较
(b) B样条曲线和Bezier曲线的比较
B样条曲线与Bezier曲线的凸包性比较
7.3 B样条曲面
1 2
t
2 Pi2
,0
t
1
pi (t)
1 2
t2
t
1 1 2
2 2
1 Pi
0
Pi1
1 1 0Pi2
i [0,1]
二次B样条基函数
B0,3 (t)
1 2
(1
t)2
B1,3 (t)
1 2
(1
2t
2t
2)
B2,3 (t)
1 2
t2
Bk,3(t)
1
B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t)
P0 P3
P′4 P5
P″4
B样条曲线的局部支柱性
(2)凸包性 (3)连续性
0
Bi,k
(t)
1
k1
Bi,k (t) 1
i0
t [0,1]
k次B样条在节点处为k-1次连续，在每一区间处 也为k-1次连续，即整条k次B样条曲线k-1次连续。
(4)几何不变性
(5)保凸性
(6)交互能力
(7)变差缩减性
t [0,1]
0 0
PPii32
三次周期性B样条的边界条件为：
pi
(0)
1 6
(Pi
4Pi1
Pi2 )
1 pi (1) 6 (Pi1 4Pi2 Pi3 )
pi(0)
1 2
( Pi 2
Pi
)
P1
P2
pi(1)
1 2
( Pi 3
Pi 1 )
P0
P3
四个控制点的三次均匀B样条曲线
结论：
• 对于由任意数目的控制点构造的二次B样条曲 线来说，曲线的起始点位于头两个控制点之 间，终止点位于最后两个控制点之间。
0
1 2 0 1 2 0
1 2 1
1 6 1
2
1 v
1 2 0
1 2 1
v2 v3
6 2 2 6
6
d24
v
d14 d23
d13
C2
Cd122
d32
d12 V1k
V2k P(u,vK)
d33 C3
d34
d44 d43
d42 C4 V3k
V4k
d21
d31
d11
u
d41
作业
实验
双三次均匀B样条曲面P(u,v)的矩阵表1
u3)
2 1
2
1
21
36 01
2 1 1
2 1 1
0
d11
0
d21
0 1
d31 d41
d12 d22 d32 d42
d13 d23 d33 d43
1
d14 d24
6 2
3
d34 d44
1 6
7.1 B样条曲线
1．定义
给定空间n+1个顶点Pi（i=0，1，2，…，n），则k 阶B样条曲线可定义为：
Pi
(t)
k 1
j0 Pi
jB
j,k
(t),
t [0,1](i 0,..., n k)
二次B样条曲线
二次B样条曲线表达式为
Pi
(t)
1 2
(t
1)2
Pi
1 2
(2t
2
2t
1) Pi 1
用二次或三次B样条或Bezier曲线算法生成 曲线。
大作业
给定一组不相交的曲线，由曲线构造曲面