竞赛中的数论问题的思考方法一. 条件的增设对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。
1. 大小顺序条件与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x <y ，则必有y ≥x +1，也可以写成y =x +t ，其中整数t ≥1。
例1. （IMO-22）设m ，n 是不大于1981的自然数，1)(222=--m nm n ，试求22n m +的最大值。
解：易知当m =n 时,222=+n m 不是最大值。
于是不访设n >m ,而令n =m +u 1，n >u 1≥1，得-2(m -1mu 1)(22112=--u mu m 。
同理，又可令m = u 1+ u 2，m >u 2≥1。
如此继续下去将得u k+1= u k =1，而11+-+=i i i u u u ，i ≤k 。
故n m u u u u k k ,,,,,,121 +是不大于1981的裴波那契数，故m =987，n =1597。
例2. （匈牙利—1965）怎样的整数a ，b ，c 满足不等式?233222c b ab c b a ++<+++@解：若直接移项配方，得01)1()12(3)2(222<--+-+-c b b a 。
因为所求的都是整数，所以原不等式可以改写为：c b ab c b a 234222++≤+++，变形为：0)1()12(3)2(222≤-+-+-c b ba ，从而只有a =1，b =2，c =1。
2. 整除性条件对于整数x ，y 而言，我们可以讨论其整除关系：若x |y ，则可令y =tx ；若x ∤y ，则可令y =tx +r ，0<r ≤|x |-1。
这里字母t ，r 都是整数。
进一步，若a q |，b q |且a b >，则q a b +≥。
结合高斯函数，设n 除以k ，余数为r ，则有r k k n n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=。
还可以运用抽屉原理，为同余增设一些条件。
整除性与大小顺序结合，就可有更多的特性。
例3. 试证两相继自然数的平方之间不存在自然数a <b <c <d ，使得ad =bc .解：在假定了22)1(+<<<<<n d c b a n 之后，可设1),(,===q p qp b d a c 。
（显然p >q ）由p ，q 的互素性易知必有q |a ，q |b 。
这样，由b >a 即得q a b +≥。
（有了三个不等式，就可对q p 的范围进行估计），从而qn n q a d b d q p q q q ++<+≤=<+=+22)1(111。
于是将导致矛盾的结果：0)(2<-q n 。
这里，因为a ，b 被q 整除，我们由b >a 得到的不仅是b ≥a +1，而是更强的条件b ≥a +q 。
例4. （IMO-25）设奇数a ，b ，c ，d 满足0<a <b <c <d ，ad =bc ，若m k c b d a 2,2=+=+，这里k ，m是整数，试证a =1。
解：不难证明k ，m 的大小关系k >m 。
[22)(4)(a d ad d a -+=+22)()(4)(4c b b c bc a d bc +=-+>-+=22)()(c b b c +=-+。
所以m k 22>。
]b c a d m k -=-=2,2，代入ad =bc 中，有 )2()2(b b a a m k -=- （1），由（1）可得2222a b a b k m -=•-•。
即2222a b a b k m -=-，))(()2(2a b a b a b m k m -+=-- （2）已知a ，b 都是奇数，所以a +b ，a -b 都是偶数，又a b a b a 2)()(=-++是奇数的2倍，故b +a ，b -a 中必有一个不是4的倍数。
由（2）必有⎩⎨⎧=-=+-f a b e a b m 221或⎩⎨⎧=+=--fa b e a b m 221。
其中，e ，f 为正整数，且m k a b ef -⋅-=2是奇数。
[ef b a b a m 2)()(=-++，与（2）比较可得]由于k >m ，故a b a b ef 22=-<-≤ }f a b a 22=-<。
从而e =1，m k a b f -⋅-=2。
考虑前一情况，有⎩⎨⎧⋅-==-=+--)2(2221m k m a b f a b a b 由第二式可得 a a b m k -+=+12，故 a m k m -+-=1122，所以奇数a =1。
对于后一情况，可作类似的讨论。
显然，上述解题思路中有两个技巧：一是用放缩法证明k <m ；第二个是（2）式的分解，然后运用整除的条件。
例5. 设)(n r 为n 分别除以1，2，┅，n 所得的余数之和。
证明存在无穷多个正整数n ，使得)1()(-=n r n r 。
解：把n 除以k 的余数记为k r ，则有k k n n r k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=。
故可得)(n r r 的表达式∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==n k n k k n k k n n r n r 211)()( ∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=n k nk k k k n n k k n n r 121)(。
由此易得∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-1121)1()1(n k k k n n n r 。
则∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--111()1()1()(n k k n k n n n r n r ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11)1()1()1n k k k n k n n ，因此，)1()(-=n r n r 等价于∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-11)1()1(n k k k n k n n 。
注意到⎩⎨⎧/=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡n k n k k n k n |,0|,11 ⎩⎨⎧/=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤n k n k k n |,0|,11，因此题中的条件等价于n 的所有真因子之和等于n -1。
显然，取l n 2=(l 为正整数)，则n 的所有真因子之和为n -1，而这样的n 有无穷多个。
例6. 试证对于任给的m 个整数m a a a ,,,21 ，必有)1(,m j s j s ≤<≤，使得)(|1j s s a a a m ++++ ]解：令i i a a a b +++= 21（m i ,,2,1 =）。
若m b b b ,,,21 中有一个数被m 整除，则结论成立。
否则，各i b 均不能被m 整除，此时可设)11(-≤≤+=m r r mq b i i i i 。
这样，m 个余数m r r r ,,,21 只能从1至m -1这m -1个数中取值，由抽屉原理知，必有)1(,m j k j k ≤<≤，使得j k r r =，于是)(k j k j q q m b b -=-，故)()(|21j k k k j a a a b b m +++=-++ 取1+=k s 即得到结论。
3. 互素性的条件当（a ，b ）=d >1时，我们总是作如下考虑：令d b b d a a 11,==，则必有1),(11=b a 。
这种互素条件的增置往往对解题有很大作用。
例7. （波兰64—65）设整数a ，b 满足b b a a +=+2232，试证b a -及122++b a 都是完全平方数。
解：b b a a +=+2232变形可得：2)122)((b b a b a =++-，故只要能证一个，则另一个必是。
我们在排除了字母取零或相等的情况后，可设d b a b a b a =≠≠),(,,0,。
这时令d b b d a a 11,==，1),(11=b a ，从而方程变为21112132db b a da =-+。
显然有)(|11b a d -。
另一方面又212111(223d da db b a -=-=- 21212121211)(223db b a d da db b +--=-=，有2111|)(db b a -。
注意到1),(),(11111==-b a b b a ，于是有d b a |)(11-。
这样就有||11b a d -=。
至此已十分容易获得命题的结论了。
这里，由a 1与b 1互素导出a 1—b 1与b 1互素，是证明d b a |)(11-的关键。
二. 从特殊到一般例8. （IMO-18）试求和为1978的正整数之积的最大值。
《解：我们可通过减少加法运算的次数来选择特例，例如考虑求正整数,,,,21n a a a 满足,1021=+++a a a n ,10,1021≤=+++n a a a n 使n a a a 21最大。
显然，最特殊且最简单的正整数是1。
例如取a 1=1，这里由n n n a a a a a a a )1(2221+<=知乘积不是最大的值。
对于某些正整数取2的情况，注意到2+2=4，2×2=4；2+2+2=6=3+3，2×2×2<3×3。
我们发现诸a i 中不能取多于两个2。
对于a i =5，有2+3=5，2×3>5。
因此不如把一个5拆成2与3的和，从而使乘积变大，对于6，7等有类似的结论。
这样，我们已大致可确定诸a i 只应取2或3，且2的个数不超过两个。
依此估计，由1978=658×3+2+2，即可猜测最大的积为658232⨯。
例9. （IMO —31备选题）设a ，b 是给定的正整数，现有一机器人沿着一个有n 级的楼梯上下升降，每上升一次恰好上升a 级，每下降一次恰好下降b 级。
为使机器人经过若干次上升下降后，可以从地面升到楼梯顶，然后再返回地面，问n 的最小值是多少？解：为了探讨解法和结论，不妨设b a ≥。
我们分b |a 与a ∤b 两种情况进行讨论。
对于b |a 的情况结论是显而易见的：可令a =sb , 机器人上升一次，然后再连续下降s 次即达到要求，故n =a .现考虑a ∤b 。
例如，特例a =5，b =3。
这时机器人先上升一次达到第五级，为使n 最小，机器人就不应再上升，而是尽量下降。
下降1次至第2级。
此时，再上升一次到第2+5=7级，然后再一降两次到第1级，又上升至1+5=6级，再下降二次至0级，从而机器人已完成了上升下降的全过程，故n =7。