3.3幂函数基础练习题一、单选题1．幂函数的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的单调增区间是（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．[0,)+∞D ．(,)-∞+∞ 2．已知幂函数()223()22m m f x m m x -+-=--⋅在(0,)+∞上单调递减，则m =（ ）A ．3B ．1-C ．1-或3D ．1或3- 3．下列函数中是偶函数且在（0，1）上单调递减的是（ ）A ．13y x =-B ．4y x =C ．12y x =D ．2y x 4．若幂函数()y f x =的图象过点()4,2，则()2f 的值为（ ）A ．2B ．12CD ．45．已知幂函数y = f (x )的图像过(36， 6)，则此幂函数的解析式是（ ）A ．13y x =B ．3y x =C ．12y x =D ．2y x6．已知点⎝⎭在幂函数()y f x =的图象上，则()f x 的表达式（ ） A ．()3x f x = B ．3()f x x = C ．2()f x x -= D ．1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 7．已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为偶函数，且在(0,)+∞上递减，则a =（ ）A ．1-，12- B ．1，3 C ．2- D ．12，2 8．幂函数()a f x x =的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3f =（ ） A ．3- B ．13- C ．13 D ．39．幂函数223a a y x --=是奇函数，且在()0,∞+是减函数，则整数a 的值是（ ）10．已知322a -=，325b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小顺序正确的是（ ） A ．c a b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >> 11．幂函数()f x kx α=过点()4,2，则k α+=（ ）A ．32B ．3C ．12D ．212．幂函数()y f x =的图象经过点()2,2，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在()0,∞+上单调递增B ．是偶函数，且在()0,∞+上单调递减C ．是奇函数，且在()0,∞+上单调递减D ．既不是奇函数，也不是偶函数，在()0,∞+上单调递增二、填空题13．已知幂函数()122()2n f x n n x -=-在(0,)+∞上为增函数，则n =_________．14．已知幂函数()f x 的图象经过点(4,2)，若(2)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是__________．15．若幂函数()f x 的图象经过点()2,8，则()3=f -__________．16．有四个幂函数：①1()f x x -=；②2()f x x -=；③12()f x x =；④3()f x x =．某同学绘制了这四个函数的图象如图所：则函数①②③④对应图象序号为________．三、解答题17．函数2()(31)m f x m m x =--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上为增函数，则实数m 的值是多少？18．判断函数3y x -=与2y x 的奇偶性.19．已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域.20．已知幂函数2()m y x m -=∈N 的图像与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出函数的图像.21．已知幂函数()()2157m f x m m x -=-+为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若()()3g x f x ax =--在[]1,3上不是单调函数，求实数a 的取值范围.22．已知幂函数()f x 的图象经过点13,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()()2g x x f x =-⋅，试判断函数()g x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，并求函数()g x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．参考答案1．A【分析】由幂函数a y x =过定点，可求出a ，进而判断其单调区间.【详解】设幂函数为a y x =，由图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，知： 124a =，得2a =-， ∴幂函数为2y x 故其单调增区间为(,0)-∞.2．C【分析】根据幂函数的定义以及幂函数的性质即可求解.【详解】幂函数()223()22m m f x m m x -+-=--⋅在(0,)+∞上单调递减，则2222130m m m m ⎧--=⎨-+-<⎩，解得1m =-或3. 故选：C3．D【分析】根据幂函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A ，13y x =-，函数为奇函数，故A 不选；对于B ，4y x =，函数为偶函数，但在（0，1）上单调递增，故B 不选；对于C ，12y x =，函数为非奇非偶函数，故C 不选；对于D ，2y x ，函数为是偶函数且在（0，1）上单调递减，故D 可选.故选：D4．C【分析】设()f x x α=，利用()y f x =的图象过点()4,2，求出()y f x =的解析式，将2x =代入即可求解.【详解】设()f x x α=， 因为()y f x =的图象过点()4,2，所以24α=，解得：12α=， 所以()12f x x =，所以()1222f ==故选：C.5．C【分析】设()a f x x ，代入已知点坐标求解即得． 【详解】由题意设()a f x x ，∴366a =，12a =，∴12()f x x =． 故选：C ．6．B【分析】设()a f x x ，代入已知点的坐标可得． 【详解】设()a f x x，由题意3242a ⎛⎛== ⎝⎭⎝⎭，所以3a =，所以3()f x x =． 故选：B ．7．C【分析】利用幂函数的性质即可求解.【详解】112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭若幂函数()f x x α=为偶函数，且在(0,)+∞上递减，则0α<且2,k k Z α=∈，所以2a =-.故选：C8．C【分析】本题首先可以根据幂函数()f x 经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭求出1a =-以及()1f x x -=，然后代入3x =，即可得出结果.【详解】因为幂函数()a f x x =的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以122a =，解得1a =-，()1f x x -=， 则()11333f -==， 故选：C .【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法以及求幂函数值，考查幂的相关运算，考查计算能力，是简单题.9．D【分析】由题意得出2230a a --<，解出a 的取值范围，可得出整数a 的可能取值，再对幂函数223a a y x --=是否为奇函数进行验证，由此可得出整数a 的值.【详解】因为幂函数223a a y x --=在()0,∞+是减函数，则2230a a --<，解得13a -<<， 所以，整数a 的可能取值有0、1、2.当0a =时，幂函数2233aa y x x ---==为奇函数，合乎题意； 当1a =时，函数2234a a y x x ---==为偶函数，不合乎题意；当2a =时，函数2233aa y x x ---==为奇函数，合乎题意. 故选：D.10．D【分析】 把各个数都转化为3x 的形式，结合幂函数3y x =在()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】33222a -⎛⎫= ⎝=⎪⎪⎭，又3y x =在()0,∞+1225>>，a c b ∴>>. 故选：D.11．A【分析】根据幂函数可得1k =，代入()4,2得12α=，从而得解. 【详解】幂函数()f x kx α=过点()4,2， 所以()1,442k f α===，解得12α=， 所以32k α+=. 故选：A.12．D【分析】设幂函数方程y x α=，将点坐标代入，可求得α的值，根据幂函数的性质，即可求得答案.【详解】设幂函数的解析式为：y x α=，将(代入解析式得：2α=，解得12α=， 所以幂函数12y x =(0)x ≥，所以12y x =既不是奇函数，也不是偶函数， 且102>，所以在()0,∞+上单调递增. 故选：D .13．1【分析】根据幂函数可得：221n n -=，即可得解.【详解】由题意可得：221n n -=，解得：1n =或12n =-（舍）， 所以12()f x x =，满足条件，故答案为：1.14．3[1,)2【分析】先由已知条件求出幂函数的解析式，再由幂函数的单调性解不等式即可【详解】解：设()f x x α=，则42α=，解得12α=， 所以12()f x x =，因为()f x 在定义域[0,)+∞上单调递增，所以由(2)(1)f a f a ->-得，201021a a a a -≥-≥->-⎧⎪⎨⎪⎩，解得312a ≤<， 所以实数a 的取值范围为3[1,)2， 故答案为：3[1,)215．27-【分析】设幂函数的解析式为()f x x α=，根据函数过点()2,8，求出α，进而可求出结果. 【详解】由题意，设()f x x α=，因为幂函数()f x 的图像经过点()2,8， 所以28α=，解得3α=，因此()3f x x =，所以()327f -=- 故答案为：27-.16．A B D C【分析】根据常见幂函数的性质即可得出答案.【详解】①1()f x x -=，②2()f x x -=， 则两函数单调递减，当12x =时， 则121122--⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1()f x x -=为图像A ；2()f x x -=为图像B . ③12()f x x =；④3()f x x =； 两函数为增函数，且12()f x x =上凸， 3()f x x =下凹，所以12()f x x =为图像D ，3()f x x =为图像C .故答案为：A B D C17．1m =【分析】根据幂函数的概念，得到2311m m --=，求解，得出m ，再由幂函数单调性，即可得出结果.【详解】因为函数2()(31)m f x m m x =--是幂函数，所以2311m m --=， 解得23m =-或1m =， 当23m =-时，23()f x x -=在(0,)x ∈+∞上为减函数，不满足题意，舍去； 当1m =时，()f x x =在(0,)x ∈+∞上为增函数，满足题意.故1m =.【点睛】本题主要考查由幂函数单调性求参数，属于基础题型.18．奇函数，偶函数.【分析】分别求出两个函数的定义域，然后根据函数奇偶性的定义直接判断即可.【详解】 解：331()y f x xx -===的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 而33311()(),()()f x f x y f x x x x --==-=-∴==-是奇函数. 221()y g x x x -===的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 而22211()(),()()g x g x y g x x x x --===∴==-是偶函数. 【点睛】 本题考查了函数奇偶性的判断，考查了数学运算能力，属于基础题.19．3y x -=或0y x =，{|0}x x ≠.【分析】由幂函数的概念求解．【详解】2223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠；当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠.【点睛】本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题．20．0m =或2m = 图像见解析【分析】先由题得2m ≤，再根据幂函数的奇偶性得到0m =或2m =．再画出幂函数的图象.【详解】幂函数2m y x -=的图像与x 轴、y 轴都无交点，20m ∴-≤，即2m ≤．又N m ∈，0m ∴=，1，2．幂函数2m y x -=的图像关于y 轴对称，0m ∴=或2m =．当0m =时，幂函数为2y x ，图像如图①所示；当2m =时，幂函数为()010y x x ==≠，图像如图②所示．【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，考查幂函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．(1) ()2f x x =;(2) ()2,6a ∈. 【解析】试题分析：()1根据幂函数的定义求出m 的值，再根据偶函数的定义求出()f x 的解析式；()2若函数()()3g x f x ax =--在[]1,3上不是单调函数，对称轴在区间内，即可求出实数a 的取值范围．解析：（1）由2571m m -+=⇒ 25602m m m -+=⇒=或3m =又()f x 为偶函数，则：3m =此时：()2f x x =. （2）()()3g x f x ax =--在[]1,3上不是单调函数，则()g x 的对称轴2a x =满足 13262a a <<⇒<<即：()2,6a ∈. 22．(1) ()()10f x x x =≠ (2)增函数，[]3,1-- 【分析】（1）设()a f x x =，再求出1a =-即得解；（2）求出()21g x x=-，易得函数()g x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，再求函数的值域.【详解】（1）设()a f x x =，则11333a -==，则1a =-， 所以()()110f x x x x-==≠． （2）因为()()()2221x g x x f x x x -=-⋅==-， 所以函数()g x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数， 所以1x =时，()g x 有最大值1-；12x =时，()g x 有最小值3-． 所以函数()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]3,1--．【点睛】本题主要考查幂函数的解析式的求法，考查函数的单调性的判断和值域的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。