高二期末考试数学试题晁群彦一．选择题(每小题5分，满分６0分)１.设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面”“”“,n l m l l a ⊥⊥⊥且是则内α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件２.对于两个命题:①,1sin 1x R x ∀∈-≤≤， ②22,sin cos 1x R x x ∃∈+>，下列判断正确的是( )。
A. ① 假 ② 真B. ① 真 ② 假C. ① ② 都假D. ① ② 都真３.与椭圆1422=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是( ) A. 1222=-y x B. 1422=-y x C. 1222=-y x D. 13322=-y x ４.已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与A ,B 两点， 则2ABF ∆是正三角形，则椭圆的离心率是( )A2 B 12 C3 D 13５.过抛物线28y x =的焦点作倾斜角为045直线l ，直线l 与抛物线相交与A ，B 两点，则弦AB 的长是( )A 8B 16C 32D 64６.在同一坐标系中，方程)0(0122222>>=+=+b a by ax x b x a 与的曲线大致是( )A ．B ．C ．D ．７.已知椭圆12222=+b y a x (b a >>0) 的两个焦点F 1，F 2，点P 在椭圆上，则12PF F ∆的面积 最大值一定是( )A 2a B ab C 22a a b - D 22b a b -８.已知向量b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(与且互相垂直,则实数k 的值是( )A ．1B ．51C ． 53D ．57９.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B与1D E所成角的余弦值为( )A ．510B ．1010C ．55D ．105１０.若椭圆x y n m ny mx -=>>=+1)0,0(122与直线交于A ，B 两点,过原点与线段AB 中点的连线的斜率为22，则m n的值是( )2.23.22.292. D C B A１１.过抛物线y x 42=的焦点F 作直线交抛物线于()()222111,,,y x P y x P 两点，若621=+y y ，则21P P 的值为 ( )A ．5B ．6C ．8D ．10１２.以12422y x -=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 ( ) A.1121622=+y x B. 1161222=+y x C. 141622=+y x D. 二．填空题(每小题４分)１３．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，给出下列表达式:y x 31++=其中x ，y 是实数，若点M 与A 、B 、C 四点共面，则x+y=___１４．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x 的焦点，且与抛物线相交于A,B 两点，则AB等于___１５．若命题P:“∀x ＞0，0222<--x ax ”是真命题 ，则实数a 的取值范围是___．１６．已知90AOB ∠=︒，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=︒，则直线OC 与平面AE y x D CBAOB 所成角的正弦值为___．三．解答题(解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。
) １７．(本小题满分1４)设命题P :2",2"x R x x a ∀∈->，命题Q :2",220"x R x ax a ∃∈++-=； 如果“P 或Q ”为真，“P 且Q ”为假，求a 的取值范围。
１８．(1５分)如图①在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD=DC=PD=2，E ，F ，G 分别是线段PC 、PD ，BC 的中点，现将ΔPDC 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD(如图②) (Ⅰ)求证AP ∥平面EFG ；(Ⅱ)求二面角G-EF-D 的大小；(Ⅲ)在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，试给出证明．１９．(1５分) 如图，金砂公园有一块边长为2的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上.(Ⅰ)设AD ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式；(Ⅱ)如果DE 是灌溉水管，我们希望它最短，则DE 的位置应在哪里？请予以证明.２０(本小题满分1５分)设21,F F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右两个焦点.(Ⅰ)若椭圆C 上的点21,)23,1(F F A 到两点的距离之和等于4，求椭圆C 的方程和焦点坐标；(Ⅱ)设点P 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点，的最大值求||),21,0(PQ Q 。
２１(本小题满分1５分)如图，设抛物线C:y x 42=的焦点为F ，),(00y x P 为抛物线上的任一点(其中0x ≠0)， 过P 点的切线交y 轴于Q 点．(Ⅰ)证明:FQ FP =；(Ⅱ)Q 点关于原点O 的对称点为M ，过M 点作平行于PQ 的直线 交抛物线C 于A 、B 两点，若)1(>=λλMB AM ，求λ的值．高二(理科)期末考试数学试题参考答案及评分标准一．选择题:ABCCB D CBDB DD二、填空题:１３. １３.8 １４.)4,(-∞１５详解:由对称性点C 在平面AOB 内的射影D 必在AOB ∠的平分线上作DE OA ⊥于E ，连结CE 则由三垂线定理CE OE ⊥，设1DE =1,2OE OD ⇒==，又60,2COE CE OE OE ∠=⊥⇒=,所以222CD OC OD =-=，因此直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值2sin COD ∠=.y ex =三．解答题:１７解:命题P :2",2"x R x x a ∀∈->即222(1)1x x x a -=-->恒成立1a ⇔<- …………3分 命题Q :2",220"x R x ax a ∃∈++-= 即方程2220x ax a ++-=有实数根∴2(2)4(2)0a a ∆=--≥ 2a ⇔≤-或1a ≥ .…………6分 ∵“P 或Q ”为真，“P 且Q ”为假，∴P 与Q 一真一假 …………8分 当P 真Q 假时，21a -<<-；当P 假Q 真时，1a ≥ …………10 ∴a 的取值范围是(2,1)[1,)--+∞ ………1４１８(14分)解法一:(Ⅰ)在图②中 ∵平面PDC ⊥平面ABCD ，AP ⊥CD ∴ PD ⊥CD ，PD ⊥DA ∴PD ⊥平面ABCD如图. 以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DP 分别为yx 、与z 轴建立空间直角坐标系: …………………1分 则()0,0,0D ()0,0,2A ()0,2,2B ()0,2,0C ()2,0,0P()1,1,0E ()1,0,0F ()0,2,1G32()2,0,2-=∴ ()0,1,0-=EF ()1,2,1-=FG ………………3分设平面GEF 的法向量),,(z y x n =，由法向量的定义得: ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=⇒⎩⎨⎧=-•=-•⇒⎪⎩⎪⎨⎧=•=•z x y z y x y EF n 00200)1,2,1()z y,x,(0)0,1,0()z y,x,(00不妨设 z=1， 则………………………………4分 0210212=⨯+⨯+⨯-=⋅ ………………………………5分⊥∴，点P ∉ 平面EFG∴AP ∥平面EFG ………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面GEF 的法向量 ，因平面EFD 与坐标平面PDC 重合 则它的一个法向量为=(1，0，0)8分 设二面角D EF G --为θ.则 …………9分由图形观察二面角D EF G --为锐角，故二面角G-EF-D 的大小为45°。
………10分 (Ⅲ)假设在线段PB 上存在一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，∵P 、Q 、D 三点共线，则设t t +-=)1(，又()0,2,2=，()2,0,0=DP ∴)22,2,2(t t t -=，又()2,0,0= …………11分 若PC ⊥平面ADQ ，又)2,2,0(-=则210)22(2220)22,2,2()0,2,-2(0)0,0,2()0,2,-2(00=⇒=--⨯⇒⎩⎨⎧=-•=•⇒⎪⎩⎪⎨⎧=•=•t t t t t t DQ PC DA PC …………1５分∴）DB DP DQ +=(21， ………………………………13分故在线段PB 上存在一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，且点Q 为线段PB 的中点。
……1５分 解法二:(1)∵EF ∥CD ∥AB ，EG ∥PB ，根据面面平行的判定定理∴平面EFG ∥平面PAB ，又PA ⊂面PAB ，∴AP ∥平面EFG ……………………4分 (2)∵平面PDC ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC∴AD ⊥平面PCD ，而BC ∥AD ，∴BC ⊥面EFD过C 作CR ⊥EF 交EF 延长线于R 点连GR ，根据三垂线定理知 ∠GRC 即为二面角的平面角，∵GC=CR ，∴∠GRC=45°， 故二面角G-EF-D 的大小为45°。
…………………8分 (3)Q 点为PB 的中点，取PC 中点M ，则QM ∥BC ，∴QM ⊥PC在等腰Rt △PDC 中，DM ⊥PC ，∴PC ⊥面ADMQ ……………………1５分 １９(14分)解: (1)在△ADE 中，y 2＝x 2＋AE2－2x ·AE·cos60°2221cos =⋅==θ)1,0,1(=n )1,0,1(=⇒y 2＝x 2＋AE2－x ·AE,①又S △ADE ＝ S △ABC ＝ · 2＝ x ·AE·sin60°⇒x ·AE ＝2.② ……4分②代入①得y 2＝x 2＋ －2(y ＞0), ∴y ＝6分又x ≤2，若1x <，，矛盾，所以x ≥1∴y ＝ ≤2). ………………………7分(2)如果DE 是水管y ＝ = ………………10分当且仅当x 2＝24x ，即x ＝2时“＝”成立， …………………………1５分故DE ∥ BC ，且DE ＝2. ………………………………1５分 ２０解:(Ⅰ)椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2. …….2分又点.1,31)23(21,)23,1(22222===+c b bA 于是得因此在椭圆上 …….4分所以椭圆C 的方程为).0,1(),0,1(,1342122F F y x -=+焦点 …….6分 (Ⅱ)设134),,(22=+y x y x P 则22344y x -=∴ …….8分 222222141117||()423434PQ x y y y y y y =+-=-+-+=--+ …….10分5)23(312++-=y …….12分又33≤≤-y 5||,23max =-=∴PQ y 时当 …….1５分２１解:(Ⅰ)证明:由抛物线定义知1||0+=y PF ，2|00x y k x x PQ ='==， 可得PQ 所在直线方程为000()2x y y x x -=-， 22AE x =>22(x 1212∵2004x y =∴得Q 点坐标为(0, 0y -)∴1||0+=y QF ∴ |PF |=|QF |(Ⅱ)设A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，又M 点坐标为(0, y 0)∴AB 方程为002y x x y +=…….8分。