第七章空间解析几何与向量代数内容概要习题7-1★★1.填空:(1) 要使b a b a -=+成立,向量b a , 应满足b a ⊥(2) 要使b a b a +=+成立,向量b a , 应满足 //b a ,且同向★2.设c b a v c b a u-+-=+-=3 , 2,试用c b a , , 表示向量v u 32-知识点:向量的线性运算解:c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=-★3.设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ,点R 在线段PQ 上,且nmRQPR =,证明点R 的向径为 n m m n+=+r r r 12知识点:向量的线性运算证明:在OPQ ∆中,根据三角形法则PQ OP OQ =-,又)(21r r -+=+=nm mn m m ,∴nm m n n m mPR OP OR++=-++=+=22r r r r r 111)(★★4.已知菱形ABCD 的对角线b a ==B , ,试用向量b a , 表示 , , , 。
知识点:向量的线性运算解:根据三角形法则, b a ==-==+B D AD , AB AC BC AB ,又ABCD 为菱形,∴=(自由向量),∴222AB AC BD AB CD DC AB --=-=-⇒=⇒=-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b b aa b ∴2b a +==,2DA +=-u u u r a b★★5.把ABC ∆的BC 边五等分,设分点依次为4321 , , , D D D D ,再把各分点与点A 连接,试以a c ==BC AB , 表示向量 , , 321A D A D A D 和A D 4。
知识点:向量的线性运算 解:见图7-1-5,根据三角形法则,)51(51 ,11111a c +-=-=⇒==+AD A D BC BD AD BD AB 同理:)54( ),53( ),52((432a c a c a c +-=+-=+-=D D D习题7-2★1在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限?(2 , 2 , 3)A -; 5) , 3 , 3(-B ; )4 , 2 , 3(--C ; 2) , 3 , 4(--D答:(2 , 2 , 3)A -在第四卦限,5) , 3 , 3(-B 在第五卦限,)4 , 2 , 3(--C 在第八卦限,2) , 3 , 4(--D 在第三卦限★2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征?并指出下列各点的位置:A B C D -(2,3,0); (0,3,2); (2,0,0); (0,2,0)知识点:空间直角坐标答:在各坐标面上点的坐标有一个分量为零,坐标轴上点的坐标有两个分量为零,∴点A 在xoy 坐标面上;B 在yoz 坐标面上;C 在x 轴上;D 在y 轴上。
★3.求点a b c (,,)关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标。
答:(1)a b c (,,)关于xoy 面的对称点的坐标为),,(c b a -;关于xoz 面的对称点的坐标为),,(c b a -;关于yoz 面的对称点的坐标为),,(c b a -。
(2)a b c (,,)关于x 轴的对称点的坐标为),,(c b a --;关于y 轴的对称点的坐标为),,(c b a --;关于z 轴的对称点的坐标为),,(c b a --(3)a b c (,,)关于原点的对称点的坐标为),,(c b a ---★★4.过点P x y z 0000(,,)分别作平行于z 轴的直线和平行于xoy 坐标面的平面,问在它们上面的点的坐标各有什么特点?答:过点P x y z 0000(,,)平行于z 轴的直线上的点x 、y 坐标一定为00,y x ,因此坐标为x y z 00(,,);过点P x y z 0000(,,)平行于xoy 坐标面的平面上的点的竖坐标一定为0z ,因此坐标为x y z 0(,,) ★5.求点M -(5,3,4)到各坐标轴的距离。
解:∵),,(z y x M 到x 轴的距离为22y z +∴M -(5,3,4)到x 轴的距离为516922=+=+y z ;同理M -(5,3,4)到y 轴的距离为41162522=+=+z x ;M -(5,3,4)到z 轴的距离为3492522=+=+y x★★6.在yoz 面上,求与三点A B C --(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)等距离的点。
知识点:空间两点的距离解:∵所求点在yoz 面上,∴设所求点的坐标为),,0(z y ,由条件可知:222222)1()5()2()2(16)2()1(9-+-=++++=-+-+z y z y z y⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=--=+⇒2164543z y z y z y ,∴所求点为)2,1,0(- ★7.已知两点M M -12(0,1,2),(1,1,0),试用坐标表示式表示向量M M M M -u u u u u u r u u u u u u r 1212,2。
知识点:空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算解:}2 , 2,1{21--=M M ;}4 ,4 ,2{}2 , 2,1{2221-=---=-M M★8.求平行于向量=-a{6,7,6}的单位向量知识点:向量的坐标表示及代数运算解:平行于向量=-a {6,7,6}的单位向量有和a 同向和反向两个,∴}116 ,117 ,116{}6,7,6{3649361-±=-++±=±=a a a★★9.已知两点M M 12(3,0,2),计算向量M M u u u u u u r12的模、方向余弦、方向角。
知识点:向量的坐标表示及代数运算解:根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得:22cos ,21cos , 2121}1 , 2 , 1{21-=-==++=⇒--=βαM M 21cos =γ3, 43 , 32πγπβπα===⇒★★10.已知向量a 的模为3,且其方向角αγβ===o o 60,45,求向量a 。
知识点:向量的坐标表示及相关概念解:根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得:}23,223,23{}3cos ,4cos,3{cos3}cos ,cos ,{cos ===πππγβαa a ★★11.设向量a 的方向余弦分别满足αβαβ====(1)cos 0,(2)cos 1,(3)cos cos 0问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何?知识点:向量的方向余弦解:(1)0cos =α表示向量和x 轴正向夹角为2π,因此该向量和x 轴垂直,或平行于yoz 面 (2)1cos =β表示向量和y 轴正向夹角为零,因此该向量和y 轴平行且方向相同 (3)0cos cos ==βα表示向量和x 、y 轴正向夹角都为2π,说明该向量和x 、y 轴都垂直,因此平行于z 轴★12.已知=r r 4,与轴μ的夹角是o 60,求j μr Pr 。
知识点:向量在轴上的投影解:根据投影公式2),cos(Pr ==∧μr r r μj★★13.一向量的终点为B-(2,1,7),它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为-4,4,7,求该向量的起点A 的坐标。
知识点:向量在坐标轴上的投影解:∵向量的坐标分量即为它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影,设起点A 为),,(z y x A ,则:)0 3, ,2(),,(}7 ,4 ,4{}7 ,1 ,2{-=⇒-=----=z y x z y x★★14.求与向量=-a{16,15,12}平行,方向相反,且长度为75的向量b 。
知识点:向量的坐标表示及代数运算解:由条件可得:b a λ=,b 长度为75,∴ 375121516222±=⇒=++±λλ∵b 和a 反向,∴3-=λ⇒b {48,45,36}λ=--a =,习题7-3★★1.设5 , 3==b a ,且两向量的夹角3/πθ=,试求)23()2(b a b a +⋅-。
知识点:向量的数量积及其运算规律解:根据数量积的运算规律:224623)23()2(b a b b a a b a b a -⋅-⋅+=+⋅-22443bb a a -⋅-=,∵103)23()2(215)cos(-=+⋅-⇒=⋅=⋅∧b a b a b a b a b a ★★2.已知(3,1,3)3,3,1),( ),2 ,1,1(321M M M -,求同时与3221 , M M M M 垂直的单位向量知识点:向量的向量积解:∵由向量积性质:b b a a b a ⊥⨯⊥⨯ ,,}2 ,2,0{ , }1{2,4,3221-=-=M M M M∴k j i kj i4462201423221--=--=⨯M M M M 为同时与3221 , M M M M 垂直的向量 ∴所求单位向量为}172 , 172,173{}2 ,2,3{2231222--±=--++±★3.设力k j i f 532+-=作用在一质点上,质点由1,1,2)(1M 沿直线移动到3,4,5)(2M ,求此力所做的功(设力的单位为N ,位移的单位为m )知识点:数量积的物理意义解:数量积的物理应用之一:力沿直线作功。
位移为}3,3,2{21=M M ,∴)(10)332()532(21m N M M ⋅=++⋅+-=⋅=k j i k j i f W★4.求向量3,4)4,{-=a在向量2,2,1}{=b 上的投影。
知识点:向量在轴上的投影解:根据公式2),cos(Pr =⋅=⨯⋅==∧bba b a b a ab a a a b j 。
★★5.设2,1,4}{ , }23,5,{=-=b a,问λ与μ有怎样的关系能使b a μλ+与z 轴垂直?知识点:两向量垂直的充要条件解:根据两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为零,取z 轴的单位向量)1,0,0{,则(){0,0,1}2402λμλμλμ+⋅=-+=⇒=a b★★★6.在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为1x 的点1P 处,有一与1成角1θ的力1F 作用着,在O 的另一侧与点O 的距离为2x 的点2P 处,有一与2OP 成角2θ的力2F 作用着,如图,问1θ,2θ,1x ,2x ,1F ,2F 符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡?知识点:向量积的物理应用解:1P 处1F 作用产生的力矩11F M ⨯=1,2P 处2F 作用产生的力矩22F M ⨯=2OP ,要使杠杆平衡,只要21M M =2211sin sin θθ21F F x x =⇒★★7.设j i c k j i b k j i a 2 , 3 , 32-=+-=+-=,求(1)b c a c b a )((⋅-⋅); (2))()(c b b a +⨯+; (3)c b a ⋅⨯)(知识点:向量运算的坐标表示解(1)}24 ,8 , 0{88)((--=-=⋅-⋅b c b c a c b a )(2)k j kj ic b b a--=--=-⨯-=+⨯+332443}3 ,3,2{}4 ,4,3{)()((3)2}0 ,2,1{1} ,5 ,8{)311132()(=-⋅--=⋅--=⋅⨯c kjic b a★★★8.直线L 通过点2,1,3)(-A 和,2)1,0(-B 求点10,5,10)(C 到直线L 的距离。