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基础练习
1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件中，能判定这 个四边形是正方形的是（ C ）
A.AD∥BC，∠B=∠D
B.AD=BC，AB ＝CD C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D.AO=CO，BO=DO，AB=BC
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2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ C ） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每一条对角线平分一组对角
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°.
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG＋∠DAG＝90°.
∵∠DAG＋∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF.
∴△BAF≌△ADG(AAS)．
∴BF＝AG，AF＝DG.
∵AG＝AF＋FG，
∴BF＝DG＋FG.
∴BF－DG＝FG.
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知识点一
正方形的定义：有一组邻边相等 ，并且有一个角是直角的平行四 边形叫做正方形．
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等， 四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.
面积计算：S＝AB2＝a2(a表示正方形的边长)．
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正方形也是矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.
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4.对称性： 既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有4条对称轴，分别为过 两对边中点的直线和两条对角线所在的直线，它的对称中心是对 角线的交点
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知识点三：正方形的判定
1.定义法：有一组邻边相等 ，并且有一个角是直角的 平行四边形叫做 正方形．
几何语言表示 ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形
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2.如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，
且AE=BF=CM=DN.试判断四边形EFMN是什么图形？并证
明你的结论.
解：四边形EFMN是正方形.
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=DA， ∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 又AE=BF=CM=DN，
几何语言表示 ∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形
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6.对角线互相平分，垂直，相等的四边形是正方形
几何语言表示 ∵AC⊥BD，AC平分BD，BD平分AC，AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形
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知识点四：正方形，菱形矩形平行四边形之间的关系
已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O。 求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形。
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证明：∵四边形ABCD是正方形。
∴AC＝BD，AC⊥BD， OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO，△BCO，△CDO， △DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
几何语言表示：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA,AB∥CD，AD∥BC
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3.对角线： 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；对角线平分一组对角，且 平分正方形为四个全等的等腰直角三角形 几何语言表示：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，AC＝BD AC平分∠DAB与∠BCD，BD平分∠ABC与∠ADC
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正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的 四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角ห้องสมุดไป่ตู้平分一组对角.
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知识点二：正方形的性质（从边，角，对角线，对称性四个方面研究）
1.角：正方形的四个角都是直角； 几何语言表示：在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 2.边：正方形的四条边都相等；对边平行。
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2.有一组邻边相等的矩形是正方形
几何语言： ∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是正方形
3.对角线互相垂直的矩形是正方形
几何语言表示：
∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形
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4.有一个角是直角的菱形是正方形
几何语言表示 ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形 5.对角线相等的菱形是正方形
人教版八年级数学
第十八章平行四边形
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课标解读
1. 理解正方形的概念以及它与平行四边形，矩形，菱形之间的 区别和联系。 2.掌握正方形的性质，体会正方形不仅是特殊的平行四边形， 还是特殊的菱形和矩形，它具有矩形，菱形，平行四边形的所 有性质。 3.掌握正方形的判定方法，能灵活运用这些方法解决问题。
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3.如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且AE
＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为( B )
A．20°
B．22.5°
C．25°
D．30°
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拓展延伸
1．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，
作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.
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归纳总结：正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩
形、特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质． 判定正方形有两个思路：(1)先判定四边形是矩形，再判定
这个矩形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形 是矩形．
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例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的 等腰直角三角形.
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例2.如图，在正方形ABCD中，E，F分别在BC，CD上，BE＝CF.AE与 BF之间有怎样的关系？请说明理由．
解：AE＝BF且AE⊥BF. 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠C. 又∵BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF(SAS)． ∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF. 又∵∠BAE＋∠AEB＝90°， ∴∠CBF＋∠AEB＝90°. ∴∠BOE＝90°. ∴AE⊥BF.