2．推导 OLS 的不一致性 误差项和 x1，x2，…，xk 中的任何一个相关，通常也会导致所有的 OLS 估计量都失去 其一致性。 总结为：如果误差与任何一个自变量相关，那么 OLS 就是有偏而又不一致的估计。它 就意味着，随着样本容量的增加，偏误将继续存在。
βˆ1 的不一致性为：
plimβˆ1 β Cov x1,u /Var x1
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

第 5 章 多元回归分析：OLS 的渐近性
5.1 复习笔记
一、一致性
1．定理 5.1：OLS 的一致性
在假定 MLR.1～MLR.4 下，对所有的 j＝0，1，2，…，k，OLS 估计量 βˆ j 都是 βj 的一
致估计。
其次，零条件均值假定意味着已经正确地设定了总体回归函数（PRF）。也就是说，在 假定 MLR.4 下，可以得到解释变量对 y 的平均值或期望值的偏效应。如果只使用假定 MLR.4＇，那么，β0＋β1x1＋β2x2＋…＋βkxk 就不一定代表了总体回归函数，也就面临着 xj 的某些非线性函数可能与误差项相关的可能性。
三、OLSHale Waihona Puke 的渐近有效性4 / 162
圣才电子书

1．简单回归模型
标准正态分布在式中出现的方式与 tn－k－1 分布不同。这是因为这个分布只是一个近似。
实际上，由于随着自由度的变大，tn－k－1 趋近于标准正态分布，所以如下写法也是合理的：
βˆj βj
/ se
βˆ j
a
~ tnk 1
2．其他大样本检验：拉格朗日乘数统计量
（1）包含 k 个自变量的多元回归模型
①假定 MLR.4＇是一个更自然的假定，因为它直接得到普通最小二乘估计值。
②使用假定 MLR.4 的原因
1 / 162
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

首先，如果 E（u｜x1，x2，…，xk）＝0 与任何一个 xj 相关，那么，在假定 MLR.4＇ 下，普通最小二乘估计量都是有偏误（但一致）的。
LM 统计量仅要求估计约束模型。于是，假定进行了如下回归
y= β%0+ β%1x1+ β%kq xkq＋u%
式中“～”表示估计值都来自约束模型。u%表示约束模型的残差。如果被排除变量 xk－
q＋1 到 xk 在总体中的系数都为零，那么应该与样本中这些变量中的每一个都不相关，至少近
似无关。
进行 u%对 x1，x2，…，xk 的辅助回归，辅助回归是用来计算一个检验统计量，但回归系
（2）σ2 是 σ2＝Var（u）的一个一致估计量。
（3）对每个 j，都有：
βˆj βj
/ se
βˆ j
a
~ Normal 0,1
其中， se βˆ j 就是通常的 OLS 标准误。
定理 5.2 的重要之处在于，它去掉了正态性假定 MLR.6。对误差分布唯一的限制是，
它具有有限方差。还对 u 假定了零条件均值（MLR.4）和同方差性（MLR.5）。
因为 Var（x1）＞0，所以，若 x1 和 u 正相关，则 βˆ1 的不一致性就为正，而若 x1 和 u 负相关，则 βˆ1 的不一致性就为负。如果 x1 和 u 之间的协方差相对于 x1 的方差很小，那么这
种不一致性就可以被忽略。由于 u 是观测不到的，所以甚至还不能估计出这个协方差有多 大。
二、渐近正态和大样本推断 1．定理 5.2：OLS 的渐近正态性 在高斯-马尔可夫假定 MLR.1～MLR.5 下， （1）
y＝β0＋β1x1＋…＋βkxk＋u 检验这些变量中最后 q 个变量是否都具有零总体参数。
虚拟假设：H0：βk－q＋1＝0，…，βk＝0，它对模型施加了 q 个排除性约束。 对立假设：这些参数中至少有一个异于零。
3 / 162
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

数没有直接意义。
样本容量乘以辅助回归式的 R2，渐近服从一个自由度为 q 的 χ2 随机变量的分布。LM
统计量有时也被称为 n－R2 统计量。
（2）q 个排除性约束的拉格朗日乘数统计量
①将 Y 对施加限制后的自变量集进行回归，并保留残差；
②将对所有自变量进行回归，并得到 R2，记为 Ru2 ；
③计算 LM nRu2 ；
2 / 162
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

n
βˆ j β j
a
~ Normal
0, σ 2
/
a
2 j
σ 2 / a2j 0 是 n βˆ j β j 的渐近方差；斜率系数，
a2
plim
n1
n
rˆij2
i1
rˆ 其中 ij 是 Xj 对其余自变量进行回归所得到的残差。 βˆ j 为渐近正态分布的。
④将
LM
与
χ
2 q
分布中适当的临界值
c
相比较，如果
LM＞c，就拒绝虚拟假设。
（3）与 F 统计量比较
与 F 统计量不同，无约束模型中的自由度在进行 LM 检验时没有什么作用。所有起作用
的因素只是被检验约束的个数（q）、辅助回归 R2 的大小（ Ru2 ）和样本容量（n）。无约束 模型中的 df 不起什么作用，这是因为 LM 统计量的渐近性质。但必须确定将 Ru2 乘以样本容 量以得到 LM，如果 n 很大， Ru2 看上去较低的值仍可能导致联合显著性。
给定 Var（x1）≠0，因为 Cov（x1，u）＝0，可以使用概率极限的性质得到：
p lim βˆ1 β1 Cov x1,u / Var x1 β1
（2）假定 MLR.4＇（零均值和零相关）
对所有的 j＝1，2，…，k，都有 E（u）＝0 和 Cov（x1，u）＝0。
假定 MLR.4＇与假定 MLR.4 的比较：
（1）证明过程
写下 βˆ1 的公式，然后将 yi＝β1＋β1X1＋ui 代入其中便得到：
n
n
xi1 x1 yi
n1 xi1 x1 ui
βˆ1
i 1 n
β1
i 1 n
xi1 x1 2
n1
xi1 x1 2
i 1
i 1
在分子和分母中应用大数定律，则分别依概率收敛于总体值 Cov（x1，u）和 Var（x1）。