ｅｓｌｉｍａｔｉｏｎ ｔｏ ｄｅａｌ ｗｉｔｈ ｍａｔｒｉｘ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ Ｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉｔｈ ｏｔｈｅｒ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ｌａｎｇｕａｇｅ．ＭＡＴＬＡＢ ｈａｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｓ ｏｆ ｓｉｍｐｌｅ ａｎｄ ｄｉｒｅｃｔ ｐｒｏ— ｇｒａｍ ａｎｄ ｈｉｇｈ ｓｐｅｅｄ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．ｉｔ ｉｓ ｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｔｈａｔ ｈｏｗ ＭＡＴＬＡＢ ｓｏｆｔｗａｒｅ ｉｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｏｎ— ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌｓ．Ｗｈａｔ ｉｓ ｍｎｒＰ。ｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｉｍｐｌｅｘ ｓｅａｒＩ，ｈ ｔｏ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｒｌｏｎｌｌｎｅａｒ ｍｏｄｅｌｓ ｉｓ ｇｉｖｅｎ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｍａｔｒｉｘ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ；ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌｓ；ｓｉｍｐｌｅｘ ｓｅａｒｃｈ
语言相比，具有简单直观、速度快等特点＝＝本文将ＭＡＴＬＡＢ语言运用于非线性模型参数估计，井给出了单纯影法进行非线性
参数估计的函数程序
关键词：ＭＡＴＩ．ＡＢ；非线性最小二乘；单纯形法
中图分类号：１０２０８
文献标识码：Ｂ
文章编号：１６７２—５８６７（２００４）０３—００３５—０４
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ＭＡＴＬＡＢ Ｓｏｆｔｗａｒｅ ｔｏ Ｐａｒａｍｅｔｅｒ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｍｏｄｅｌｓ
收稿日期：２００４—０４—２６
于科学运算中，包括数值计算、符号计算、数据拟 合、图形图像处理、系统模拟和仿真以及动画设计、 有限元分析等。
以ＭＡＴＬＡＢ程序代码所编写的文件通常以 “ｍ”为扩展名，所以又称为“Ｍ文件”。Ｍ文件分为 两类：脚本和函数。当在ＭＡＴＬＡＢ命令窗口直接输 入脚率文件的主文件名时，ＭＡＴＬＡＢ就可以逐一执 行此文件里的所有命令，而且所产生的变量均保留 在基本工作空间中，很容易进行变量查看及调试。 函数文件可以接受输入变量，并将运算结果送至输 出变量，运算过程中所产生的变量都存放在函数本 身的工作空间，并不会和ＭＡＴＬＡＢ基本工作空间的 变量相互覆盖，因此特别适用于大型程序代码，会 使程序代码模块化，并易于维护和改进。 ｌ非线性最，ｉｘ－－莱估计
ｅｌｓｅ
Ｘ（ｉｎｄｅｘ（ｔ＋１），：）＝Ｘｓ；
ｅｎｄ
ｅｌｓｅ ｉｆＲｒ＞Ｒｌ＆Ｒｒ＜Ｒｕ
Ｘ（ｉｎｄｅｘ（ｔ＋１），：）＝Ｘｒ； ｅｎｄ ｅｎｄ
ｅｎｄ
ｅｎｄ；
函数４：确定反射点 ｆｕｎｃｔｉｏｎ［斯，勋］＝ｆｒｅｆｌｅｃｔ（Ｘ，ｉｎｄｅｘ） ｔ＝ｌｅｎｇｔｈ（ｉｎｄｅｘ）一１；ｉ＝１：￡； Ｘｃｌ＝ｓｕｍ（Ｘ（ｉｎｄｅｘ（１“），ｉ））；Ｘｃ＝Ｘｅｌ／ｔ； Ｘｒ＝２十Ｘｃ—Ｘ（ｉｎｄｅｘ（ｔ＋１），：）； 函数５：确定伸长点 ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｘｅ＝ｆｅｘｔｅｎｄ（舶，Ｘｒ，ｃｇｅｎｅ） （ｃｇｅｎｅ：伸长因子） ｉｆ ｎａｒｇｉｎ＜３
ｆｏｒｊ＝１：ｍ
ｉ＝１：ｎ；
ｄ１（Ｊ）＝ｓｕｍ（ｅｘｐ（２｝ｉ＿ｘ２（Ｊ）））；ｄ２ （ｊ）＝ｓｌｉｍ（１．｛ｅｘｐ（ｉ·ｚ２（ｊ）））；
Ｒ（ｊ）＝ｘｌ（ｊ－）＾２｝ｄｌ（Ｊ）一２｝ｘｌ（Ｊ）十ｄ２
（Ｊ）； Ｅｎｄ 算例：已知非线性模型为Ｌ．＝ｘ．ｅ“。其中参数
ｘ．和托的真值为Ｘ＝（５．４２０ １３６ １８７，一０．２５４ ３６１ ８９），Ｌ。的５个中真值（用参数的真值算得）和相应 的５个同精度观测值如表１所示：
ＩＶｌＡ＇Ｉ＇ＩＡＢ与其他编程语言相比，其编程效率 高，语句简单而内涵丰富，具有高效的矩阵和数组 运算能力，用户使用方便。不需要编程者有很强的 计算机编程技巧，使我们使用起来就像在使用草稿 纸一样，只要在主窗口中输入数据，就可以直接得 到计算结果。而且，ＭＡＴＩＡＢ的工具箱提供了与其 他高级语言如Ｃ．ｙＦＯＲＴＲＡＮ的接口，所以在实际的
ｅｇｅｎｅ＝２； ｅｎｄ
Ｘｅ＝（１＋ｃｇｅｎｅ）｝肼一ｃｇｅｎｅ·Ｘｃ； 函数６：确定缩短点 ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｘｓ＝ｆｓｈｏｒｔｅｎ（‰，册，ｄｇｅｎｅ） （ｄｇｅｎｇ：缩短因子）
ｉｆ ｎⅡｇｌｎ＜３
ｄｇｅｎｅ＝０．５： ｅｎｄ
Ｘｓ＝（１一ｄｇｅｎｅ）十Ｘｃ＋ｄｇｅｎｅ·Ｘｒ； 函数７：确定缩小点 ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＸＸ＝ｆｓｈｒｉｎｋ（Ｘ．ｉｎｄｅｘ） ｎ＝ｌｅｎｇｔｈ（ｉｎｄｅｘ）； ＸＸ＝（Ｘ＋ｏｎｅｓ（ｎ，Ｉ）｝Ｘ（ｉｎｄｅｘ（Ｉ），：））／２； ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｒ；ｔＩｌｓｈｕ（１，ｘ） ｎ＝ｌｅｎｇｔｈ（１）；ｘｌ＝ｘ（：，１）；ｘ２＝＊（：，２）； ｍ＝ｌｅｎｇｔｈ（ｘ２）；
ｄ｝ｏｎｅｓ（ｔ）＋（ｃ—ｄ）｝ｅｙｅ（￡）； ｚ＝Ｏｌｌｅ８（ｔ，１）十ｘ０＋ｃｄ；Ｘ＝［加；ｘ］； 函数２：搜索终止条件 ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｓｔ＝ｆｓｔｏｐ（Ｒ，ｓｇｅｎｅ） （注：ｓｇｅｎｅ：给定的误差限）
ｉｆ ｎｍ？ｇｉｎ＜２ ｓｇｅｎｅ＝Ｉｅ一５：
ｅｎｄ
ＲＩ＝ｍｉｎ（Ｒ）；ｎ＝ｌｅｎｇｔｈ（Ｒ）； Ｓｔｏｐ。ｓｑｒｔ（ＳＵｍ（（Ｒ—ＲＩ＋Ｏｇｌｅｓ（１，ｎ））．２）／Ｈ）； ｉｆ Ｓｔｏｐ＜ｓｇｅｎｅ
【ＳｏｒｔＲ，ｉｎｄｅｘ］＝ｓｏｒｔ（Ｒ）；
Ｓｔ＝ｆｓｔｏｐ（Ｒ）；ＲＩ＝ＳｏｒｔＲ（１）；Ｘｌ＝Ｘ
（ｉｎｄｅｘ（１），：）；
Ｒｕ＝ＳｏｒｔＲ（ｔ＋１）；地＝Ｘ（ｉｎｄｅｘ（ｔ＋
１），：）；
［肼，Ｘｃ］＝ｆｒｅｆｌｅｅｔ（Ｘ，ｉｎｄｅｘ）；Ｒｒ＝ｆ｝ｌｓ．
ｈｕ（１，肼）；
ｉｆＲｒ（＝Ｒ，
‰）：
Ｘｅ＝ｆｅｘｔｅｎｄ（＆，肼）； Ｒｅ＝ｆｈｓｈｕ（１，
值可以算得％（５．４２８，一０．２５６）。此例目标函数
为：
Ｒ（ｘ）＝，（ｘ），（ｘ）一２，（ｘ）Ｌ
５
５
＝ｘｉ∑ｅ“２—２ｘ：∑Ｌ．ｅ”
用ＭＡＴＩＡＢ构造目标函数程序如下： ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｒ＝ｆ｝ｌｓｈｕ（１，＊） ｎ＝ｌｅｎｇｔｈ（１）；ｘｌ＝ｘ（：，１）；ｘ２＝ｚ（：，２）； ｍ＝ｌｅｎｇｔｈ（ｘ２）； ｆｏｒｊ＝１：ｍ
Ｓｔ＝１： ｅｌｓｅ
Ｓｔ＝０：
ｅｎｄ；
函数３：单纯形法求最小二乘估值
ｆｕｎｅｔｉｏｎ ｘｌ＝ｆｍｉｎｓｅｈ（加，１）
（注：ｍ：待估参数的初始近似值；１：观测值；ＸＩ：
待估参数的非线性最小二乘估计值）
Ｘ＝ｆｅｓｈｉ（柏，５）；Ｓｔ＝０；
Ｗｈｉｌｅ（Ｓｔ＝＝０）
Ｒ＝ｔｈｓｈｕ（１，Ｘ）；ｔ＝ｌｅｎｇｔｈ（Ｒ）一ｌ；
线性最小二乘估值的程序。其函数源代码如下： 函数１：选取初始单纯形 ｆｕｎｃｔｉｏｎＸ＝ｆｅｓｈｉ（如，ｓ） （注：如：待估参数的初始近似值㈣单纯形棱
长） ｔ＝ｌｅｎｇｔｈ（加）；ｃ＝（ｓｑｒｔ（ｔ＋１）＋ｔ一１）｝ｓ／
（ｓｑｒｔ（２）女ｔ）； ｄ＝（ｓｑｒｔ（ｔ＋１）一１）十ｓ／（ｓｑｒｔ（２）｛ｔ）；ｃｄ＝
ｉ＝１：ｎ：
ｄ１（ｊ）＝ｓｕｍ（ｅｘｐ（２十ｉ｝ｘ２（ｊ）））；ｄ２ （ｊ）＝ＳＵｌＩＩ（１－＋ｅｘｐ（ｉ｝＊２（ｊ）））；
尺（ｊ）＝ｘｌ（Ｊ）“２女ｄｌ（，）一２＋ｘｌ（Ｊ）＋ｄ２ （Ｊ）；
Ｅｎｄ
现在只需在ＭＡＴＩＡＢ主窗口中输入初值Ｘ。， 及观测值厶，并设定好必要的参数，即可得到计算 结果。如输入本例中的ｌ＝［４．２，３．２５，２．５２，１．９５， １．５１］；ｘ０：［５．４，一０．３］；Ｘ１＝ｆｍｉｎｓｃｈ（加，１）；，即 可得到结果Ｘｌ＝（５．４２２ ３，一０．２５５ ８）。参数估值 的中误差为：ｌＭ０９ｌＩ＝Ｏ．００２ ６。 ４小结
衰１ Ｌ；的真值和相应的观测值 Ｔａｂｌｅ ｌ ｔｈｅ ｔｌｌｌｌｅ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ也ｅｌｒ
∞Ｈ唧蚰ｄｌＩＩｇ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｍ
真值４．２０２ ８３４ ３ ２５８ ９２４ ２．５２７ ００６ １．９５９ ４６９ １ ５１９ ３９４
观测值４ ２０
３．２５
２ ５２
１．９５
１．５１
本例中，取单纯形棱长为ｌ＝５，用前两个观测
ｉｆＲｅ＜Ｒ，
Ｘ（ｉｎｄｅｘ（￡＋１），：）＝Ｘｅ；
ｅｌｓｅ
Ｘ（ｉｎｄｅｘ（ｔ＋１），：）＝Ｘｒ； ｅｎｄ
万方数据
第３期
张 庆等：ＭＡＴＬＡＢ语言在非线性最小二乘估计中的应用
３７
ｅｌｓｅ ｉｆＲｒ＞＝Ｒｕ
（１，‰）；
施＝ｆｓｈｏｒｔｅｎ（‰，Ｘｒ）；ＲｓＸＸ＝ｆｓｈｆｉｎｋ（Ｘ，ｉｎｄｅｘ）：Ｘ＝ＸＸ；
０引 言 在科学研究和工程应用中，往往要进行大量的
数学汁算，其中包括矩阵运算。这些运算一般米说 难以用手工精确和快捷地进行，而要借助计算机编 制相应的程序做近似计算。现在流行用Ｆｏｒｔｒａｎ、 Ｃ＋＋和ＶＣ语言编制计算程序，既需要对有关算法 有深刻的了解，还需要熟练地掌握所用语言的语法 及编程技巧．，对多数科学工作者『『ｌｉ言，同时具备这 两方面技能有一定困难。为克服上述困难，美国 ＭａｔｈＷｏｒｋｓ公司于１９８４年推出了ＭＡＴＬＡＢ软件包， 其名称是巾”矩阵实验室”（Ｍａｔｒｉｘ Ｉ自ｔｂｏｒａｔｏｒｙ）所合 成的，由此可知其最早的开发理念是提供一套｛Ｅ常 完善的矩阵运算命令。如今它不仅可以提供强大 的科学运算、奠活的程序设计流程功能，还可以提 供高质量的图形可视化｜ｊ界面设计、便捷的与其他 程序和语青接口的功能。ＭＡ。ｎ．ＡＢ被广泛地运用
在测量上，大量的数学模型是非线性模型。现
万方数据
测绘与空间地理信息
２００４年
实世界中严格的线性模型并不多见，它们或多或少 都带有某种程度的近似。对于大地测量中大量的 非线性模型，传统的做法是线性近似，即将其展开 为泰勒级数，并取其一次项。如此线性近似，必然 会引起模型误差。过去由于测量精度不高，线性近 似所引起的模型误差往往小于观测误差，故可以忽 略不计。随着科学技术的不断发展．现在的观测精 度已大大提高，致使因线性近似所产生的模型误差 与观测误差相当，有些甚至还会大于观测误差。例 如，ＧＰＳ载波相位观测的精度很高，往往小于因线 性近似所产生的模型误差。结合测量数据处理的 实际，对非线性模型参数估计的研究是必要的。