圆的有关概念与性质◆课前热身1.如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误．．的是（）D．OD＝DE2.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是（）A． B． C． D．3．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．24．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．53，则弦CD 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为cm的长为（）A ．3cm 2B ．3cmC ．D ．9cm【参考答案】 1. D 2. D 3. A 4. A 5. B ◆考点聚焦1．圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一． 2．掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点．3．理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、•四边形等结合的题型也是中考热点． ◆备考兵法“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理结合起来常以计算题出现. ◆考点链接1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又 是 对称图形， 是它的对称中心.3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .6. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 . ◆典例精析例1（山西太原）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，若以点C 为圆心， CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ）A． B ．5 C． D ．6【答案】A【解析】本题考查圆中的有关性质，连接CD ，∵∠C＝90°，D 是AB 中点，AB ＝10，∴CD ＝12AB ＝5，∴BC＝5，根据勾股定理得AC＝，故选A ． 例2（黑龙江哈尔滨）如图，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长为 ．【答案】8【解析】主要利用垂径定理求解.连接OA ，根据垂径定理可知AM ＝4，又OA ＝5，则根据勾股定理可得：OM ＝3。

又OD ＝5，则DM ＝8.例3（贵州贵阳）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上， 且AB=13，BC=5．（1）求sin∠BAC 的值；（2）如果OD⊥AC，垂足为点D，求AD的长；（3）求图中阴影部分的面积．（精确到0．1）【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴sin∠BAC=513 BCAB=．（2）在Rt△ABC中，=．又∵OD⊥AC于点D，∴AD=12AC=6．（3）∵S半圆=12π×（2AB）2=12π×1694=1698π．S△ABC=12AC×BC=12×12×5=30，∴S阴影=S半圆－S△ABC =1698π－30≈36.3点评“直径所对的圆周角为90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来．因此对这部分知识应加以重视．◆迎考精练一、选择题1.（湖北孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是( )A．15° B．30° C．45° D．60°2.（山东泰安）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O 的一条弦，且AB＝3，则弦AB所对圆周角的度数为（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°3.（浙江嘉兴）如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．若阴影部分的面积为 9，则弦AB 的长为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．94.（天津市）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ）A ．28°B ．56°C ．60°D ．62°5.（安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝BD AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56.(浙江温州)如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB ＝80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°7.（四川遂宁）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70o，∠C ＝50o， 那么sin ∠AEB 的值为( )A. 21 B. 33 C.22 D. 238.（甘肃兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A．5米 B．8米 C．7米 D．53米9.（湖北十堰）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB，若∠ABO＝25°，则∠C的度数为（）A．55° B．60° C．65° D．70°10.（山东青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）．A．0.4米 B．0.5米 C．0.8米D．1米11.（山西太原）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA AB BO--的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（）二、填空题1.（河南）如图，AB为半圆O的直径，延长AB到点P，使BP＝12AB，PC切半圆O于点C，OA．B．C．D．点D 是AC 上和点C 不重合的一点，则D ∠的度数为.2.(广东梅州)如图，在⊙O 中，∠ACB ＝20°，则∠AOB ＝______度.3.（山西省）如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，17040A ∠=∠=°，°，则C ∠= 度．4.(湖北鄂州)在⊙O 中，已知⊙O 的直径AB 为2，弦AC 长为3，弦AD 长为2．则DC2＝______5.（福建福州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD ∥AC ，若BD ＝1，则BC 的长为6.（广东中山）已知O ⊙的直径8cm AB C =，为O ⊙上的一点，30BAC ∠=°，则BC ＝ _ cm ．7.(山东济南)如图，O 的半径5cm OA =，弦8cm AB =，点P 为弦AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离是 cm ．ABCD18.（北京市）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA＝28，则∠ABD＝°.B9.(福建宁德)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠A CO＝32°，则∠COB的度数等于．三、解答题1.（广西柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝2，⊙O的半径为3，求BC的长．2.（广西钦州）已知：如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标．求⊙O 1的半径．图23.（湖北宜昌）已知：如图，⊙O 的直径AD ＝2，BC CD DE ==，∠BAE ＝90°． (1)求△CAD 的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P ，那么点P 落在四边形ABCD 区域的概率是多少？4.(湖北黄冈)如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC ，AC ，过点C 作直线CD⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：BF BG BC ⋅=2.【参考答案】 选择题 1. B 2. D 3. C 4. D 5. B 6. A 7. D 8. B 9. C 10. D 11. C【解析】本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点P 从点O 向点A 运动，OP 逐渐增大，当点P 从点A 向点B 运动，OP 不变，当点P 从点B 向点O 运动，OP 逐渐减小，故能大致地刻画s 与t 之间关系的是C ． 填空题 1. 30° 2. 40 3. 304. 3232-+或5. 26. 47. 38. 289.64º解答题1.证明：（1）连结AC，如图。

∵C是弧BD的中点∴∠BDC＝∠DBC又∠BDC＝∠BAC在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB∴ ∠BCE＝∠BAC∠BCE＝∠DBC∴ CF＝BF因此，CF＝BF．（2）证法一：作CG⊥AD于点G，∵C是弧BD的中点∴ ∠CAG＝∠BAC ，即AC是∠BAD的角平分线．∴ CE＝CG，AE＝AG在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE＝CG ， CB＝CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG∴BE＝DG∴AE＝AB-BE＝AG＝AD+DG即 6-BE＝2+DG∴2BE＝4，即 BE＝2又 △BCE∽△BAC∴ 212BC BEAB ==· 32±=BC （舍去负值）∴32=BC（2）证法二：∵AB 是⊙O 的直径，CE⊥AB ∴∠BEF＝︒=∠90ADB ， 在Rt ADB △与Rt FEB △中， ∵FBE ABD ∠=∠ ∴ADB △∽FEB △，则BFABEF AD =即BFEF 62=， ∴EF BF 3= 又∵CF BF =， ∴EF CF 3= 利用勾股定理得：EF EF BF BE 2222=-=又∵△EBC∽△ECA 则CEBE AE CE =，即则BE AE CE ⋅=2∴BE BE EF CF ⋅-=+)6()(2即EF EF EF EF 22)226()3(2⋅-=+∴22=EF ∴3222=+=CE BE BC .2.解：过点O 1作O 1C ⊥AB ，垂足为C ， 则有AC ＝BC ．图2由A （1，0）、B （5，0），得AB ＝4，∴AC ＝2．在1Rt AO C △中，∵O 1， ∴O 1C．∴⊙O 1的半径O 1A3． 3. 解：（1）∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD＝∠BAE＝90°．∵ BC CD DE ==，∴ ∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ． ∴∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ＝30°．∵在Rt△ACD 中，AD ＝2，CD ＝2sin30°＝1， AC．∴S △ACD ＝12AC×CD ＝2．(2) 连BD ，∵∠A BD ＝90°， ∠BAD ＝ ＝60°， ∴∠BDA ＝∠BCA ＝ 30°，∴BA ＝BC. 作BF⊥AC，垂足为F ，（5分） ∴AF＝12AC2，∴BF＝AFtan30°＝12，∴S △ABC ＝124， ∴S ABCD4．∵S ⊙O ＝π ，∴P 点落在四边形ABCD区域的概率＝4π4π．（2）解法2：作CM⊥AD，垂足为M ．∵∠BCA＝∠CAD（证明过程见解法），∴BC∥AD． ∴四边形ABCD 为等腰梯形．2，∴S ABCD ＝12(BC+AD)CM4．∵S ⊙O ＝π， ∴P 点落在四边形ABCD区域的概率＝4π4π．4. 证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90° 又∵CD⊥AB 于点D ，∴∠BCD ＝90°－∠ABC ＝∠A ＝∠F ∵∠BCD ＝ ＝∠F ，∠FBC ＝∠CBG ∴△FBC ∽△CBG ∴CBFBBG BC =∴BF BG BC ⋅=2。