2017年复旦附中自招题1. 已知a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值是（ ）A .恒正B .恒负C .可正可负D .非负 解：选B222222444222a c c b b a c b a ---++2222224)(c b c b a ---=)2)(2(222222bc c b a bc c b a ---+--= ])(][)([2222c b a c b a +---=))()()((c b a c b a c b a c b a --+++--+=∵a 、b 、c 是一个三角形的三边，∴0>-+c b a ，0>+-c b a ，0>++c b a ，0<--c b a ， ∴0))()()((<--+++--+c b a c b a c b a c b a2. 设m ，n 是正整数，满足mn n m >+，给出以下四个结论：① m ，n 都不等于1；② m ，n 都不等于2；③ m ，n 都大于1；④m ，n 至少有一个等于1，其中正确的结论是（ ） A .① B .② C .③ D .④ 解：选D由mn n m >+得()()111<--n m若m ，n 均大于1，则,11,11≥-≥-n m ()()111≥--n m ，矛盾， ∴m ，n 至少有一个等于1。
3. 已知关于x 的方程a x a x +=+2有一个根为1，则实数a 的值为（ ）A .251+- B .251-- C .251±- D .以上答案都不正确 解：选A将1=x 代入，得12+=+a a ，两边平方，得012=++a a ，251±-=a ， 当251--=a 时，1=x 不是原方程的根，舍 ∴251+-=a4. 已知a ，b ，c 是不完全相等的任意实数，若c b a x +-=2，c b a y 2-+=，c b a z ++-=2，则关于x ，y ，z 的值，下列说法正确的是（ ）A .都大于0B .至少有一个大于0C .都小于0D .至多有一个大于0 解：选B0=++z y x ，若x ，y ，z 均小于0，则0<++z y x ，矛盾； 故至少有一个大于0。
5. 已知a ，b ，c 不全为无理数，则关于三个数b a +，c b +，a c +，下列说法错误的是（ ）A .可能均为有理数B .可能均为无理数C .可能恰有一个为有理数D .可能恰有两个为有理数 解：选D若c b a ,,均为有理数，A 正确； 若2=a ，3=b ，0=c ，B 正确； 若2=a ，2-=b ，0=c ，C 正确;6. 关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=--+-+=--0)12()2(0)2)((22y x y x y x y x 的实数解有（ ） A .1组 B .2组 C .3组 D .4组解：选A由①得0=-y x 或02=-y x ， 由②得02=-+y x 且012=--y x ，∴只有⎩⎨⎧==11y x 一组解。
7. 为了得到函数23x y =的图像，可以将函数1632+--=x x y 的图像（ ）A .先关于x 轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位B .先关于x 轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位C .先关于y 轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位D .先关于y 轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位解：选A由于两个函数二次项系数为相反数，故先关于x 轴对称，得到1632-+=x x y ，即()4132-+=x y ，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位，得到23x y =。
8. 若关于x 的方程a b x =--2有四个实数解，则化简bba ab a b a b a b a ++--+++的结果是（ ）A .2-B .0C .2D .4x解：选C画出b x y --=2和a y =的函数图像， ∵有四个交点，∴ b a <<0，∴21111=++-=++--+++bb a a b a b a b a b a 方法二：∵a b x =--2，∴a b x =--2或a b x -=--2， ∴b a x +=-2或a b x -=-2， ∵原方程有四个实数解，∴0>a ，0>+b a ，0>-a b ， ∴0>b ，∴原式21111=++-=9. 如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ ）A .10≤≤mB .43≥m C .143≤<m D .143≤≤m 解：选C设022=+-m x x 的两根为1x ，2x ，则⎪⎩⎪⎨⎧≥∆<->+0112121x x x x 解得143≤<m 。
10. 用同样大小的一种正多边形平铺整个平面（没有重叠），有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙？（ ）.A 2 种 .B 3种 .C 4种 .D 5种 解：选B关键是看正多边形的内角和，如果围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角之和恰是一个周角，则可以铺满整个平面而不留缝隙，只有正三角形、正四边形和正六边形可以。
11. 已知对于满足：3<-b a ，4<-c b 的实数c b a ,,，均有k c b a <--2恒成立，则实数k 的最小值为 （ ）.A 7 .B 8 .C 9 .D 10 解：选D7<-+-<-+-=-c b b a c b b a c a102<-+-<--c a b a c b a ，所以k 最小是1012. 设1)(234+-+-=x x x x x f ，则关于)(x f 的性质，正确的一项为 （ ）.A 对任意实数x ，)(x f 总是大于0 .B 对任意实数x ，)(x f 总是小于0 .C 当0>x 时，0)(≤x f .D 以上均不对解：选A222234)1()1(1)(x x x x x x x x x f +++-=+-+-=恒大于013. 已知实数c b a ,,满足0>>b a ，且0=++c b a ，抛物线02=++=c bx ax y 在x 轴上截得线段长度为l ，则l 的取值范围为 （ ）.A 10<<l .B 20<<l .C 32<<l .D 43<<l 解：选C22212212144)(aacb x x x x x x -=-+=- ∵ 0>a ，)(c a b +-=∴aca c a a acb a ac b -=-=-=-144222 ∵ )(b a c +-=∴ aba c +=-21，∴ 3221<-<x x 14. 已知实数y 、x 满足：062,033=-+=--y y y x 。
则2y yx-的值为（ ）。
0.A 21.B 1.C 23.D解：选D2y y x-23232633==-++=-=y yy y y yy x . 15. 已知二次函数222-+=ax x y .当自变量x 的取值范围为11≤≤-x ，y 的取值既有正值又有负值。
则实数a 的取值范围为（ ）.21.≥a A 21-.≤a B 21.≥a C 或21-≤a .D 以上答案都不正确解：选D显然，二次函数与x 轴有两个交点，令交点横坐标为2,1x x ，21x x <。
由韦达定理得221-=x x 若1121≤<≤-x x ，则121≤x x 与221-=x x 矛盾，∴0)1()1(<-⋅f f ，∴0221)(221(<-+--）a a ， ∴21>a 或21-<a 经检验当21±=a 时，不符合题意。
16. 已知c b a 、、是互不相等的实数，三个方程02=++b ax x ①；02=++c bx x ②；02=++a cx x ③，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则=abc （ ）.1.A 3.-B 1.-C2.D解：将pqr 带入三个方程得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=--=--=c a b a r c b c a q ba b c p ，又由韦达定理得⎪⎩⎪⎨⎧===a qr c pq b pr∴1)(2==pqr abc ，选A17. 甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖。
在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中. 乙：我没有获奖，丙获奖了. 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖. 丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（ ）..A 甲 丁 .B 乙 丙 .C 乙 丁 .D 以上都不正确 解：选D显然乙、丁同对错① 当甲丙对，乙丁错时，乙丙或乙丁获奖 ② 当甲丙错，乙丁对时，无符合情况18. 如图梯形ABCD 中，CD AB ∥,对角线AC 与BD 交于点K ,点L 为BD 的中点。
已知AKB △、ALD △的面积分别为1218、，则ALC △的面积为（ ）.2118KLAC7.A 9.B 11.C 13.D解：由L 为BD 中点可得21==ALD ALB S S △△，∴3=ALK S △ ∴24=ABl S △,由蝴蝶定理得KAD S △=24=KBC S △∴432418====CBK ABK CLK ALK S S KC AK S S △△△△，∴4=CLK S △∴7=ALC S △，选A19. 甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给已，获利%10，而后乙又将这手股票反卖给甲，但乙损失了%10，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖给了乙，甲在上述股票交易中（ ）.A 甲刚好盈亏平衡 .B 甲盈利1元 .C 甲盈利9元 .D 甲亏本1.1元 解：选B甲第一次卖给乙赚了100%101000=⨯元，乙用1100元买入股票，乙卖给甲乙亏了110%101100=⨯元，甲用990元买入股票，甲第二次卖给乙亏了99%10990=⨯元，故甲总共盈利199100=-元。
20. 对于三个一元二次方程：()()02=-+-+c b x b a x 、()()02=-+-+a c c b x 、()()02=-+-+b a a c x （其中c b a ,,为实数），下列说法错误的是（ ）.A 存在实数c b a ,,，使得恰有一个方程没有实数根 .B 存在实数c b a ,,，使得恰有两个方程没有实数根 .C 存在实数c b a ,,，使得三个方程都没有实数根 .D 存在实数c b a ,,，使得三个方程都有实数根解：选C设三个方程判别式为321,,∆∆∆，则()()b a b a ---=∆421，()()a c c b ---=∆422，()()b a a c ---=∆423，()()()0222321≥-+-+-=∆+∆+∆a c c b b a故三个方程中至少有一个方程有实根。