2 线性规划习题答案1、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。
线性规划数学模型特征：（1） 用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量均为非负的连续变量；（2） 存在一定数量（m ）的约束条件，这些约束条件可以用关于决策变量的一组线性等式或者不等式来加以表示；（3） 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数，而该函数是一个线性函数。
2、一家餐厅24小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为：2：00~6：00 3人 6：00~10：00 9人 10：00~14：00 12人 14：00~18：00 5人 18：00~22：00 18人 22：00~ 2：00 4人设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时，问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。
试构造此问题的数学模型。
解：用决策变量1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,6x 分别表示2：00~6：00， 6：00~10：00 ，10：00~14：00 ，14：00~18：00，18：00~22：00， 22：00~ 2：00 时间段的服务员人数。
其数学模型可以表述为：123456min Z x x x x x x =+++++16122334455612345639125184,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x +>=+>=+>=+>=+>=+>=≥3、现要截取2.9米、2.1米和1.5米的元钢各100根，已知原材料的长度是7.4米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。
试构造此问题的数学模型。
方法一解：圆钢的截取有不同的方案，用θ表示每种切割方案的剩余材料。
其切割方案如下所示： 2.9 2.1 1.5 θ 1' 1 1 1 0.9 2' 2 0 0 0.1 3' 1 2 0 0.3 4' 1 0 3 0 5' 0 1 3 0.8 6' 0 0 4 1.4 7' 0 2 2 0.2 8' 0 3 0 1.1目标函数为求所剩余的材料最少，即12345678min 0.90.10.300.8 1.40.2 1.1Z x x x x x x x x =+++++++1234135781245671234567821002231003342100,,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++>=++++>=+++++>=≥方法二解：由题意，因为所有套裁方案有21种，全部写出需考虑因素太多，故需先做简化。
原材料合理利用简化图表又由于目标是使所用原材料最少，所以，仅需考虑最省的五个方案即可。
设x i 是第 i 种套裁方案所用的原材料根数，建立数学模型如下：（料头最省）五种套裁方案实施后，可得的 2.9米钢筋的根数。
五种套裁方案实施后，可得的 2.1米钢筋的根数。
五种套裁方案实施后，可得的 1.5米钢筋的根数。
x 1=30, x 2=10, x 3=0, x 4=50, x 5=0 只需90根原材料，目标函数值最小为90即可。
4、某糖果厂用原料A 、B 、C 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。
已知各种牌号糖果中A 、B 、C 三种原料的含量要求、各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1所示。
问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，才能使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划模型。
12 4 3451235j +2 + 100 2 +2 + 1003++ 2 +3 100 0(j=1,2,,5)x x x x x x x x x x x ≥≥≥≥⋅⋅⋅12345Min = 0+0.1+0.2 +0.3+0.8z x x x x x表1方法一解：设x 1，x 2，x 3分别为甲糖果中A,B,C 的成分；x 4，x 5，x 6分别为乙糖果中A,B,C 的成分； x 7，x 8，x 9分别为丙糖果中A,B,C 的成分。
由题意，有对上式进行整理得到所求问题的线性规划模型：123456789147258369max (3.400.50)()(2.850.40)() (2.250.30)() 2.00() 1.50() 1.00()z x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-++-++-++-++11233123445664569789147258369123456,7890.60.20.150.60.5200025001200,,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++≥≤≥≤≤++≤++≤++≤≥12345678912312345645678914725max 0.9 1.4 1.90.450.95 1.45 0.050.450.950.40.60.600.20.20.800.850.150.1500.60.60.400.50.50.502000z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++-++-++≤--+≤-++≤--+≤--+≤++≤++8369123456,78925001200,,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x ≤++≤≥方法二解：以A 甲表示甲产品中的A 成分，B 甲表示甲产品中的B 成分，C 甲表示甲产品中的C 成分，依此类推。
据表2-16，有：35A >=甲甲，15C <=甲甲，320A >=乙乙，35C <=乙乙，12A <=丙丙．．．．．．① 其中：A +=B C 甲+甲甲甲，A +=B C 乙+乙乙乙，A +=B C 丙+丙丙丙．．．．．．② 把②逐个代入①并整理得：203A -+<=B C 甲+甲甲，40A -+<=B C 甲-甲甲，0A +<=B C 17-乙+乙乙3203A +<=BC -乙-乙乙，0A +<=B C -丙-丙丙原材料的限制，有以下不等式成立：A A 2000A +<=甲+乙丙，B B B 2500+<=甲+乙丙，C C C 1200+<=甲+乙丙在约束条件中共有9个变量，为方便计算，分别用1x ,2x ．．．9x 表示，即令1x =A 甲，2x =B 甲，3x =C 甲，4x =A 乙，5x =B 乙，6x =C 乙，7x =A 丙，8x =B 丙，9x =C 丙由此约束条件可以表示为：1231234564567891472583691234567892-x x x 03-x -x 4x 017-x x x 032-x -x x 03-x -x x 0x +x x 2000x +x x 2500x +x x 1200x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x 0++<=+<=++<=+<=+<=+<=+<=+<=>=我们的目的是使利润最大，即产品售价减加工费再减去原材料的价格为最大。
目标函数为1234567890.9 1.4 1.90.450.95 1.450.050.450.95MaxZ x x x x x x x x x =+++++-++5、某厂在今后4个月需租用仓库存放物资，已知各个月所需的仓库面积如表2所示。
租金与租借合同的长短有关，租用的时间越长，享受的优惠越大，具体数字见表3。
租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。
因此该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同，且每次办理时，可签一份，也可同时签若干份租用面积和租借期限不同的合同，总的目标是使所付的租借费用最小。
试根据上述要求，建立一个线性规划的数学模型。
表2解：设ij x （i ＝1,2,3,4;j=1,2．．．4-i+1）为第i 个月初签订的租借期限为j 个月的合同租借面积（单位：1002m ）；i r 表示第i 个月所需的面积（j 表示每1002m 仓库面积租借期为j 个月的租借费）；则线性规划模型为：即44111i jiji j MinZ C X-+===∑∑4111(1,2,3,4)0(1,2,3,4;1,2...41)k i ij k i j k i ij X r k X i j i-+==-+>==>===-+∑∑6、某农场有100公顷土地及25万元资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季4500人日，春夏季6000人日，如劳动力本身过剩可外出打工，春夏季收入为20元／人日，秋冬季12元／人日。
该农场种植三种作物：大豆、玉米和小麦，并饲养奶牛和鸡。
种作物不需要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资8000元，每只鸡投资2元。
养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入3000元／每头奶牛。
养鸡不占土地，需人工为每只鸡秋冬季0.3人日，春夏季0.1人日，年净收入为每只8元。
农场现有鸡舍允许最多养5000只鸡，牛栏允许最多养50头奶牛，三种作物每年需要的人工及收入情况如表4所示。
试决定该农场的经营方案，使年净收入最大。
11213141122232132314min 2800()4500() 6000()7300z x x x x x x x x x x =+++++++++11121314121314212223131422233132 15 1020 x x x x x x x x x x x x x x x x +++≥+++++≥+++++≥14233241 +120, ,1,2,3,4, 5ij x x x x x i j i j ++≥≥=+≤表4解：设1x ,2x ,3x 分别代表大豆、玉米、麦子的种植数（公顷）；4x ,5x 分别代表奶牛和鸡的饲养数；6x ,7x 分别代表秋冬季和春夏季多余的劳动力（人．日数）则有123456711001500900300081220MaxZ x x x x x x x =++++++124451234561234574512345671.5100(80002250000(2035101000.34500(507540500.14500(50(5000x ,x ,x ,x ,x ,x ,x 0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++<=+<=+++++<=+++++<=<=<=>=土地限制)资金限制）劳动力限制）劳动力限制）牛栏限制）（鸡栏限制）7、用图解法求解下列线性规划问题（1）212m ax x x z += （2）2123m ax x x z +=123421≤+x x4221≤+-x x 8221≤+x x 142321≤+x x 8421≤-x x 321≤-x x 0,21≥x x 0,21≥x x（3）2132m ax x x z += （4）21m ax x x z +=221≤-x x 021≥-x x 4321≤+-x x 3321-≤-x x 0,21≥x x 0,21≥x x解：（1） （2）（3） （4）8、考虑线性规划：43212m ax x x x x z ++-=1x - + 2x + 3x + 4x = 5 1x + 2x + 5x = 221x + 2x + 3x + 6x = 60,,61≥x x（1） 通过观察写出初始的基可行解并构造初始单纯形表；（2） 在保持2x 和3x 为零的情况下，给出非基变量1x 增加一个单位时的可行解，并指出目标函数的净增量是多少?（3） 在模型约束条件的限制下，1x 的最大增量是多少？ （4） 在1x 有其最大增量时，给出一个新的基可行解。