2018年茂名市一模文科数学试题与答案绝密★启用前试卷类型：A2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）2018.1本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，23小题，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将答题卡上交.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60f (x 2)=0，若|x 1–x 2|min =12，且f (12) =12，则f (x )的 单调递增区间为( )A. 51[+2,+2],66k k k Z -∈B. 51[+2,+2],.66k k k Z -∈ C. 51[+2,+2],66k k k Z ππ-∈ D. 71[+2,+2],66k k k Z ∈8||e ()3xf x x=9．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（ ）盏灯.A.24B.48C.12B 1 1 O x y 1 1 O D x y 1 1 O A x y 11 O C x y 否 S = 是 结输k ＜开11S S=- k =k =k 第10题图10．执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值是( )A.2 018B. −1C.12D.211．右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF ⊥GC ； ②BD 与GC 成异面直线且夹角为60︒；③BD ∥MN ；④BG 与平面ABCD 所成的角为45︒. 其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.412．定义在R 上函数(2)y f x =+的图象关于直线x =−2对称，且函数(1)f x +是偶函数. 若当x ∈[0,1]时，()sin 2f x x π=，则函数||()()x g x f x e -=-在区间[−2018,2018]上零点的个数为( )A. 2017B. 2018C. 4034D.A B D EN C GF M第11题图第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．已知(2,1),2(1,1),a a b =-=则•a b = ． 14．曲线ln(1)y x =+在点(1, ln2)处的切线方程为 ． 15．从原点O 向圆C : 2212270xy y +-+=作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 ．16．如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC 中，AB 3， ∠ACB =60︒，∠BCD =90︒，AB ⊥CD ，CD =22，则该球的体积为 ．三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题. 解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）D C B A第16题图已知△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,且2cos 2c B b a ⋅-=.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）设角A 的平分线交BC 于D ，且AD 3b 2ABC 的面积.18. （本小题满分12分）在四棱锥P −ABCD 中，AD ∥BC ，平面PAC ⊥平面ABCD ，AB =AD =DC =1，∠ABC =∠DCB =60︒，E 是PC 上一点.（Ⅰ）证明：平面EAB ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若△PAC 是正三角形，且E 是PC 中点，求三棱锥A −EBC 的 体积.B A PED C 第18题图19．（本小题满分 12 分）一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：温度x /︒C 21 23 24 27 29 32 产卵数y /个6 11 20 27 57 77经计算得：611266ii x x ===∑，611336ii y y ===∑，61()()557iii x x y y =--=∑，621()84i i x x =-=∑，621()3930ii y y =-=∑，线性回归模型的残差平方和621ˆ()236.64=-=∑iii y y ，e 8.0605≈3167，其中x i , y i 分别为观测数据中的温度和产卵数，i =1, 2, 3, 4, 5, 6.(Ⅰ)若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆy=ˆb x +ˆa （精确到0.1）； (Ⅱ)若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程为ˆy =0.06e 0.2303x ，且相关指数R 2=0.9522.( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R 2说明哪种模型的拟合效果更好.( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35︒C 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据(x 1,y 1), (x 2,y 2), ...,(x n ,y n ), 其回归直线ˆy=ˆb x +ˆa 的斜率和截距的最小二乘估计为 121()()ˆ,()nii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑ˆa=y −ˆbx；相关指数R 2=2121ˆ()1()nii i n ii yy yy ==---∑∑．20．（本小题满分 12 分）已知椭圆C 1以直线50mx y +=所过的定点为一个焦点，且短轴长为4.（Ⅰ）求椭圆C 1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C 2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C 1的长轴和短轴的长的λ倍(λ＞1)，过点C (−1,0)的直线l 与椭圆C 2交于A ，B 两个不同的点，若2AC CB =，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程.21.（本小题满分 12 分）已知函数()ln 2a g x x x x=++(a ∈R ).（Ⅰ）讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）若11()[()2]1a f x g x x x x x=--++. 证明：当0x ＞，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(−2,0)，其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为4cos0ρθ-=．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求3x的取值范围．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||5|=--+．f x x x（Ⅰ）求不等式()2f x≥的解集；（Ⅱ）设函数()f x的最大值为M，若不等式22x x m M++≤有解，求m的取值范围．绝密★启用前 试卷类型：A2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 C D A C C D B C A C B D 提示：2．【解析】2i12i iz +==-，|z 5，故选D. 3．【解析】在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 6),(2, 3, 6)共4个，则数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1, 2, 3) 1个. 因此，数字2是这三个不同数字的平均数的概率是14p =. 故选A. 4．【解析】由约束条件2,4,1,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立{2,4,y x y =+=，解得A (2, 2)， 4 1 O A xy x +y y =x −y 4 2 z =3化目标函数z =3x +y 为y = −3x +z ，由图可知，当直线y = −3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为z =3×2+2=8．故选C. 5．【解析】由等差数列的性质得，a 1+a 9=a 2+a 8=10，S 9=199()9104522a a +⨯==.故选C. 6．【解析】抛物线的准线方程为2x =-，准线与x 轴的交点为(2,0)D -，ADF ∆为等腰直角三角形，得||||4AD DF ==，故点A 的坐标为(2,4)-，由点A 在双曲线221x y m-=上，可得22(2)41m --=，解得417m =，即2417a =，所以221117cm =+=，故双曲线的离心率21214c e a===.故选D.7．【解析】：设f (x )的周期为T ，由f (x 1)=1，f (x 2)=0，|x 1 –x 2|min =12,得212422T T πωπ=⇒=⇒==, 由f (12) =12，得sin(12π +ϕ)=12，即cos ϕ=12，又0＜ϕ＜2π，∴ϕ =3π，f (x )=sin(πx 3π+). 由+22k ππ-3x ππ≤++22k ππ≤，得51+2+2,66k x k k Z -≤≤∈. ∴ f (x )的单调递增区间为51[+2,+2],.66k k k Z -∈故选B. 8．【解析】由f (x )为奇函数，排除B ，(1)3e f =＜1，排除A. 当x ＞0时，e ()3xf x x=，2(1)e ()3x x f x x -'=，∴在区间(1,+∞)上f (x )单调递增，排除D ，故选C.9．【解析】由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列,设首项为a ,则7(21)38121a -=-,解之得a =3，则该塔中间一层灯盏数有3⨯23=24. 故选A.10．【解析】依题意，执行如图所示的程序框图可知初始S ＝2，当k =0时，S 0＝−1，k =1时，S 1＝12，同理S 2＝2，S 3＝−1，S 4＝12，…，可见S n 的值周期为3.∴当k ＝2017时，S 2017＝S 1＝12， 此时k ＝2018，退出循环. 输出S ＝12. 故选C. 11．【解析】：将正方体纸盒展开图还原成正方体，①如图知AF 与GC 异面垂直，故①正确；②显然BD 与GC 成异面直线,连接EB ，ED .则BM ∥GC ，在等边△BDM 中，BD 与BM 所成的60︒角就是异面直线BD 与GC 所成的角，故②正确；③显然BD 与MN 异面垂直，故③错误；④显然GD ⊥平面ABCD ，所以在Rt△BDG 中，∠GBD 是BG 与平面ABCD 所成的角，Rt△BDG 不是等腰直角三角形.所以BG 与平面ABCD 所成的角不是为45 ︒，故④错误. 故选B. 12．【解析】函数||()()x g x f x e -=-在区间[−2018,2018]上零点的个数，就是函数()sin 2f x x π= 的图象与||x y e -=的图象交点个数. 由(2)y f x =+的图象关于直线x = −2对称，得()f x 是偶函数，即()()f x f x -=.又∵函数(1)f x +是偶函数，∴(1)(1)f x f x +=-+，故(2)()()f x f x f x +=-=，因此，()f x 是周期为2的偶函数.∵当x ∈[0,1]时，()sin 2f x π=，作出()y f x =与||1()x y e=A BDM (E ) N CG Fx O −− 2 1 1y图象如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数||()()x g x f x e -=-在区间[−2018,2018]上零点的个数为2018⨯2=4036. 故选D.第二部分 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．1 14. 212ln 20x y --+= 15. 12 16. 43π提示： 13．【解析】∵(2,1),2(1,1),a a b =-=∴2(1,1)(2,1)(1,1)(1,0)b a =-=-=，∴1(,0)2b =，∴•101a b =+=. 14．【解析】由所求切线斜率1111||12x x k y x =='===+，得曲线在点(1, ln2)处的切线方程为1ln 2(1)2y x -=-，即212ln 20x y --+=. 15．【解析】把圆的方程化为标准方程为22(6)9x y +-=，得到圆心C的坐标为(0, 6),圆的半径3r =,由圆切线的性质可知,∠CBO =∠CAO =90︒，且AC =BC =3，OC =6，则有∠ACB =∠ACO +∠BCO =60︒+60︒=120︒12(写成O C x y BA1:2也对). 16．【解析】以△ABC 所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为3112=，依题意得CD ⊥平面ABC ， 故球心到截面的距离为1=22CD 221(2)3+=所以球的体积为34(3)433ππ=. 三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解: (Ⅰ)法一：由已知及余弦定理得222222a c b c a b ac +-⨯=+，整理得222ab c ab+-=-. …2分2221cos 222a b cab C abab +--===-， ………………3分 又在△ABC 中，0＜C ＜π， ………………4分∴23C π=，即角C 的大小为23π. .………………5分 法二：由已知及正弦定理得2sin cos sin 2sin C B B A ⋅-=， 又在△ABC 中，sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C , . ......……2分 ∴2sin C cos B – sin B =2sin B cos C +2cos B sin C ， 即2sin B cos C = – sin B ，又sin B ≠0， ………………3分∴1cos 2C =-，又0＜C ＜π， ………………4分∴23C π=，即角C 的大小为23π. .………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)23C π=，依题意得如图，在△ADC 中，AC =b 2，B A DCAD 3由正弦定理得322sin sin 3AC C CDA AD ⋅∠===， .………………7分 ∵在△ADC 中，0＜CDA ∠＜π，C 为钝角， ........………....………8分∴4CDA π∠=，故23412CAD ππππ∠=--=. .………………9分∵在△ABC 中，AD 是角A 的平分线，∴6CAB π∠=, .……….……10分 ∴△ABC 是等腰三角形，2BC AC ==分 故△ABC 的面积33211sin 22232S BC AC π=⋅=. .…………….…12分 18.解：(Ⅰ)证明：依题意得四边形ABCD 是底角为60︒的等腰梯形，………1分∴∠BAD =∠ADC =120︒. ...........................2分 ∵ AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA =30︒， . (3)分∴∠BAC =∠BAD −∠DAC =120︒−30︒=90︒，即AB ⊥AC .…...........…4分∵平面PAC ⊥平面ABCD , 平面PAC ∩平面ABCD =AC ， ∴AB ⊥平面PAC ， ..........................………………...5分B P E D又平面AB ⊂平面EAB ， ∴平面EAB ⊥平面PAC ； ..........................……………...6分(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)及已知得，在Rt △ABC 中，∠ABC =60︒，AB =1， ∴AC = AB ∙tan60︒=3，BC =2AB =2，且AB ⊥平面PAC ，.........……………7分 ∴AB 是三棱锥B −EAC 的高，正△PAC 的边长为3分∵E 是PC 的中点，∴S △EAC ＝12S △PAC ＝233311sin60(3)44AC AP ⋅︒=⨯=. ………10分∴三棱锥A −EBC 的体积为33311133A EBC B EAC EAC V V S AB --∆==⋅== (12)分 (Ⅱ)解法二：过P 作PO ⊥AC 于点O ，∵平面PAC ⊥平面ABCD , 平面PAC ∩平面ABCD =AC ， ∴PO ⊥平面ABC ， 过E 作EF ⊥AC 于点F ，同理得EF ⊥平面ABC ， ∴EF 是三棱锥E −ABC 的高，且PO ∥EF ， (7)分又E 是PC 中点，∴ EF 是△POC 的中位线，故12EF PO =. 由(Ⅰ)及已知得，在Rt △ABC 中，∠ABC =60︒，AB =1， ∴BC =2AB =2, AC = AB ∙tan60︒3即正△PAC 的边长为3………….........…8分∴PO =32, 故EF =34. ............................................................................O F B AP ED C.….........9分 在Rt △ABC 中，S △ABC ＝3111322AB AC ⋅=⨯=....…10分∴三棱锥A −EBC 的体积为33311334A EBCE ABCABCV V S EF --∆==⋅==. ...................12分 19.解：(Ⅰ)依题意，n =6，61621()()557ˆ 6.6,84()iii ii x x y y bx x ==--==≈-∑∑ (2)分ˆa≈33−6.6⨯26=−138.6，....…...................…………3分∴y 关于x 的线性回归方程为ˆy=6.6x −138.6． ....……………4分(Ⅱ) ( i )利用所给数据, 621ˆ()236.64=-=∑ii i y y , 621()3930ii y y =-=∑得,线性回归方程ˆy =6.6x −138.6的相关指数R 2=621621ˆ()236.641110.06020.9398.3930()ii i ii yy yy ==--=--=-∑∑≈ .................….......6分 ∵0.9398＜0.9522， .............................................….......…………7分因此，回归方程ˆy =0.06e 0.2303x比线性回归方程ˆy=6.6x −138.6拟合效果更好. ....……..……8分 ( ii)由( i )得温度x =35︒C 时，ˆy =0.06e0.2303⨯35=0.06⨯e 8.0605. ....……..……..…9分 又∵e 8.0605≈3167， ......................................……….....……10分∴ˆy≈0.06⨯3167≈190（个）. .....................................………...……11分所以当温度x =35︒C 时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. ....……….......……12分20.解：(Ⅰ)所给直线方程变形为5y mx =-+, …......……………1分 可知直线所过定点为5). ...............………2分∴椭圆焦点在y 轴, 且c =5，依题意可知b =2，∴a 2=c 2+b 2=9. ……………3分椭圆C 1的方程标准为22194yx +=. ………………4分(Ⅱ)依题意，设椭圆C 2的方程为2222194y x λλ+=，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，………………6分∵λ＞1，∴点C (-1, 0)在椭圆内部，直线l 与椭圆必有两个不同的交点.当直线l 垂直于x 轴时，AC CB =(不是零向量)，不合条件；故设直线l 为y =k (x +1) (A ，B ，O 三点不共线，故k ≠0), ……………..…7分由{222(1)4936y k x y x λ=++=，，得222918(4)9360y y k kλ+-+-=. 由韦达定理得1221894k y y k+=+. ………………8分∵2AC CB =，而点C (−1, 0)， ∴(-1-x 1, -y 1)=2(x 2+1,y 2)，∴y 1=-2y 2， ………………..…9分 即y 1+y 2= -y 2故221894k y k-=+. ………………10分∴△OAB 的面积为OAB AOC BOC S S S ∆∆∆=+12121111||1||||222y y y y =⨯⨯+⨯⨯=-23||2y ==218||3294||k k ⨯+2794||||k k =+2794236≤=. .......................……11分上式取等号的条件是29||=4k ，即k =±32时，△OAB 的面积取得最大值94. 所以直线的方程为3(1)2y x =+或3(1)2y x =-+. ………………12分21. (Ⅰ)解：由已知得()g x 的定义域为(0, +∞)， 22221()2a x x a g x x x x+-'=+-=. ...........……1分方程220x x a +-=的判别式18a ∆=+. …………....…......…2分 ①当18a ≤-时，△≤0，()0g x '≥，此时,()g x 在(0, +∞)上为增函数；…………..............…3分 ②当18a -＞时，设方程220x x a +-=的两根为12118118a ax x --+-++== 若108a -<≤, 则120x x <≤, 此时, ()0g x '＞, ()g x 在(0, +∞)上为增函数； ……......…4分若a ＞0，则x 1＜0＜x 2，此时, g (x )在(0, x 2]上为减函数，在(x 2, +∞)上为增函数，…..……5分综上所述：当0a ≤时，()g x 的增区间为(0, +∞)，无减区间；当0a ＞时，()g x 的减区间为2(0,]x ，增区间为2(,)x +∞. ………....…...……6分 (Ⅱ)证明：由题意知ln 1(),1x f x x x =++ ………………..........................................7分 ∴()22ln 11()2ln 11x x f x x x x x --=---， …………….............................................…8分 考虑函数21()2ln (0)x h x x x x -=->， 则222222(1)(1)2()x x x h x x x x ---'=-=- ………………...............................................9分所以x ≠1时，()0h x '＜，而(1)0h = ………………................................................10分故(0,1)x ∈时，21()0,01h x x -＞＞，可得ln ()1x f x x -＞， (1)x ∈+∞，时，21()0,01h x x -＜＜，可得ln ()1x f x x -＞， …………….................…...11分 从而当0x ＞，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-． ……………..................…12分请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.解：(Ⅰ)法一： 由曲线C 的极坐标方程得24cos 0ρρθ-=，又cos ,sin ,x y ρθρθ==∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，即22(2)4x y -+= ………....…1分∴曲线C 是圆心为C (2, 0)，半径为2的圆.∵直线l 过点P (−2,0)，当l 的斜率不存在时，l 的方程为x = -2与曲线C 没有公共点，…2分∴直线l 的斜率存在，设直线l ：(2)y k x =+，即20kx y k -+=. 直线l 与圆有公共点，则圆心C 到直线l 的距离221d k =≤+ ...........………3分 解得33k ≤…...............………4分∵[0,)απ∈，∴α的取值范围是5[0,][,)66πππ ....................…………5分法二：由曲线C 的极坐标方程得24cos 0ρρθ-=，又cos ,sin ,x y ρθρθ==∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=， …....................................................………1分∵直线l 经过点P (−2,0)，其倾斜角为α，∴直线l 的参数方程为{2cos sin x t y t αα=-+=，，（t 为参数）， ……......................................……2分将{2cos sin x t y t αα=-+=，，代入2240x y x +-=整理得：28cos 120t t α-+=. .............….………3分∵直线l 与曲线C 有公共点，∴264cos 480α∆=-≥即3cos α≥或3cos α≤…....4分 ∵[0,)απ∈，∴α的取值范围是5[0,][,)66πππ. ....…….......................5分(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，故其参数方程为{22cos 2sin x y θθ=+=，， （θ为参数） . ……….............…7分∵M (x,y )为曲线C 上任意一点，∴322cos 2324sin()6x πθθθ=++=++ …........8分 ∵1sin()16πθ-≤+≤，∴224sin()66πθ-≤++≤， 因此，3x +的取值范围是[2,6]-. ………….........................10分法二：设3x y m +=. …………..........................6分由(Ⅰ)知曲线C 即圆C :22(2)4x y -+=, 依题意, 圆C 与直线30x y m +-=有交点，…7分∴圆心C 到直线30x m +-=的距离2221(3)d =≤+， .................................……9分解得26m -≤≤, 即3x 的取值范围是[2,6]-. ……............................... .................……10分23. 解：(Ⅰ)当3x ≥时，()8f x =-，此时()2f x ≥无解； ….......................……………1分当53x -＜＜时，()22f x x =--，由()2f x ≥解得52x --＜≤；………….................……3分当5x -≤时，()8f x =，此时()2f x ≥恒成立. …………......................................……4分综上，不等式()2f x ≥的解集是{|2}x x ≤-. …………….....................................…5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知8,3,()22,53,8,5,x f x x x x -≥⎧⎪=---<<⎨≤-⎪⎩ ……………….......................................6分易知函数()f x 的最大值M =8， ………………............................................7分若228x x m ++≤有解，得228m x x ≤--+有解. ………………............................................8分即2max(1)9]9m x ≤-++=[. …………….............................................…9分因此，m 的取值范围是9m ≤. ……………...........................................…10分。