d x + n lx + n d x + n = ⋅ = n px ⋅ qx + n n| q x = lx lx lx + n
9.
n |m
qx :
x岁的人在 岁的人在
x + n ~ x + n + m 之间死亡的概率。 之间死亡的概率。
lx + n − lx + n + m = n px − n + m px n |m q x = lx
【例2】
已知： 已知：
q40 = 0.04
p42 = 0.92
l 43
q41 = 0.06
l 40 = 100
求：
l x +1 解： Q p x = lx
∴l41 = p40 ⋅ l40 = (1 − q40 ) ⋅ l40 = (1 − 0.04) *100 = 96
l42 = p41 ⋅ l41 = (1 − q41 ) ⋅ l41 = (1 − 0.06) * 96 ≈ 90
x + n岁的人口数 l x + n = n px = x岁的人口数 lx
n =1
时，简记为
px
因为
lx − lx+n n qx = lx
n x
lx+n n px = lx
所以
q +n px =1
5.
n
Lx :
x 岁人群在
x ~ x+n
岁生存的人年数。 岁生存的人年数。 人年数
1 (lx + lx+n ) ⋅ n n Lx ≈ 2
0
x
定义式
死亡 时点
ω −1
105
时间
s( x) = Pr( X > x)
s ( 0) = 1
s (105) = 0
lx s( x) = l0
s ( x ) = x p0
s( x) = 1 − F ( x)
岁的人在0～ 之间存活的概率 之间存活的概率） （表示0岁的人在 ～x之间存活的概率） 表示 岁的人在
l43 = p42 ⋅ l42 = 0.92*90.24 ≈ 83
习题： 习题： 1 2 第 5 、6 题。 s ( x ) = 1 − x 100 补充： 补充：给出生存函数 P.35 求： 人在50 50岁 60岁之间死亡的概率 岁之间死亡的概率； （1） 人在50岁～60岁之间死亡的概率； 50岁的人在60岁以前死亡的概率 岁的人在60岁以前死亡的概率； （2） 50岁的人在60岁以前死亡的概率； 50岁的人能活到70岁的概率 岁的人能活到70岁的概率。 （3） 50岁的人能活到70岁的概率。
qx :
x岁的人在 岁的人在
x ~ x+n
岁之间死亡概率。 岁之间死亡概率。
x ~ x + n岁的死亡人数 n d x l x − l x + n = = n qx = 活到x岁的人口数 lx lx
n =1
时，简记为
qx
d0 = q0 ⋅ l0 d1 = q1 ⋅ l1
M dω −1 = qω −1 ⋅ lω −1
定义式
s ( x ) − s ( x + h) s′( x) µ x = lim =− h →0 h ⋅ s ( x) s ( x)
d µx = − ln s( x) = −[ln s( x)]′ dx
∫ µ dy = ∫ − [ln s( y)]′dy
0 y 0
x
x
ln s ( y ) | = − ∫ µ y dy
5 x 岁人的整值余寿 K(x) 的概率分布函数 岁人的整值余寿 的概率分布函数
K ( x) = k
( k ≤ T ( x ) ≤ k + 1; k = 0,1, 2 L)
岁零6个月时死亡 【例】某年龄 50岁 的人，在55岁零 个月时死亡，求他的余 岁 的人， 岁零 个月时死亡， 寿和整值余寿。 寿和整值余寿。 余寿： 余寿： 整值余寿： 整值余寿：
0 0
=∫
∞ t
0
p x dt
20岁的生存人数为1000人 21岁的 岁的生存人数为1000 【例1】 已知 20岁的生存人数为1000人，21岁的 生存人数为998 998人 22岁的生存人数为992人 岁的生存人数为992 生存人数为998人，22岁的生存人数为992人。 求20岁的人在21-22岁之间死亡的概率。 20岁的人在21-22岁之间死亡的概率。 岁的人 岁之间死亡的概率
0
x
岁前死亡的概率函数
死亡 时点
x
ω −1
105
时间
定义式
F ( x) = Pr( X ≤ x)
F ( 0) = 0
F (105) = 1
d 0 l0 − l x F ( x) = = l0 l0
x
F(x) =x q0
岁的人在0～ 之间死亡的概率 之间死亡的概率） （表示0岁的人在 ～x之间死亡的概率） 表示 岁的人在
n
d x = lx − lx+n
dx
n =1
时，简记为
d x = l x − l x +1
d0 d 0 = l0 − l1 d1 = l1 − l2
表示0-1岁之间的死亡人数 岁之间的死亡人数 表示
如果最高年龄为 ω
l 0 = d 0 + d 1 + L d ω −1 =
∑d
x=0
ω −1
x
3.
n
t
s(x) − s(x + t) G (t ) = s(x)
4 x 岁余寿 T (x) 的生存函数
表示
x
岁人在
t
时间内存活的概率
T (x)
0
（随机变量） 随机变量）
x
t
x +t
死亡 时点
ω − 1 时间
105
定义式
1− G(t ) = Pr[T ( x) > t ]
l x +t s ( x + t ) 1 − G (t ) = t p x = = lx s( x)
7.
& ex :
x 岁人群的平均余寿。 岁人群的平均余寿 余寿。
Tx & ex = lx
x=0
8.
n|
时，
& e0
表示出生时平均余寿。 表示出生时平均余寿。
qx :
x岁的人在 x岁的人在
x + n ~ x + n + 1 之间死亡的概率。 之间死亡的概率。
dx+n lx+n − lx+n+1 = n| qx = lx lx
寿险精算基础（ 第一章 寿险精算基础（3）
§1.1 利息理论
累积函数、实际利率与名义利率、年金 累积函数、实际利率与名义利率、
§1.2 生命表
生命表、生命函数、多减因表（自学） 生命表、生命函数、多减因表（自学）
1.2 生命表
以表格形式表示同时出生的一组人在每个年龄的死亡率。 表格形式表示同时出生的一组人在每个年龄的死亡率。 形式表示同时出生的一组人在每个年龄的死亡率
dx qx = lx
d x = qx ⋅ lx
l1 = l 0 − d 0 l 2 = l1 − d 1
lω −1
M = lω − 2 − d ω − 2
生命表就是以死亡概率为 生命表就是以死亡概率为 就是以死亡概率 基础编制出来的。 基础编制出来的。
4.
n
px : x 岁的人在 x + n 岁时仍生存的概率。 岁时仍生存的概率。
n =1
时，简记为
年数） （人年数 = 人数 × 年数）
Lx
1 Lx = (lx + lx+1 ) 2
6.
Tx :
x 岁人群未来累积生存人年数。 岁人群未来累积生存人年数 未来累积生存人年数。
Tx = Lx + Lx +1 + Lx + 2 + L + Lω −1
Tx =
ω −1− x
t =0
∑L
x +t
1 0.8
0.6
0.4
0.2
20
40
60
80
100
3 x 岁余寿 T ( x ) 的分布函数 G(t)
表示
x
岁人在
t
时间内死亡的概率
随机变量） T (x)（随机变量）
0
x
t
死亡 时点
x +t
ω −1
时间
105
定义式
G(t) = Pr[T ( x) ≤ t]
d x l x − l x+t G (t ) = t q x = = lx lx
0.005000 0.004500 0.004000
死亡率
0.003500 0.003000 0.002500 0.002000 0.001500 0.001000 0.000500 0.000000
12
16
20
24
28
32
36
40龄
1.2.1 基本函数（生命表的基本内容） 基本函数（生命表的基本内容）
s( x + t ) s′( x + t ) g (t ) = ⋅ − s( x) s( x + t )
g (t ) =t px ⋅ µ x +t
n
qx :
x岁的人在 岁的人在
n
x ~ x + n 岁之间死亡的概率。 岁之间死亡的概率。
n
qx = ∫ t px ⋅ µx+t dt