cos cos AB, CD
B
AB CD AB CD
A
C D
L


2、二面角
②法向量法 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。 如图，向量 n ，m ，
则二面角 l 的大小 ＝〈m, n 〉 m, n
m
Hale Waihona Puke n uv ) 若二面角 l 的大小为 (0 , 则 cos . u v
则 A1 E CF a sin ， BF a cos AE
cos cos EA1 ， cos A1 E ， FC CF
A1 E CF | A1 E || CF |
A1 B1 C B F C1
D E

( A1 A AE ) (CB BF ) a 2 sin2
C1
对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的
夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦 值吗？ 分析：如图，设以顶点 A 为端点的对角线
长为 d ，三条棱长分别为 a ， ，， b c 各棱间夹角为 。
则 d A1C ( AB AC CC1 ) 2
2 2
a 2 c 2 b 2 2(ab bc ac) cos
1. 已知正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的边长为2， DD O为AC和BD的交点，M为 1 的中点 B1O （1） 求证： 直线 面MAC （2）求二面角B1 MA C 的余弦值
分析：由 AB ( AC CD DB ) 2
2

AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB )
2
2
2
a 2 c 2 b2 2ab cos
∴ 可算出 AB 的长。
（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条
D1
A1 B1 D A B C

C D B
进行向量运算

2
A 图3
d AB ( AC CD DB )
2
2
AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB )
a 2 c 2 b 2 2 AC DB a 2 c 2 b 2 2CA DB 于是，得 2CA DB a 2 b 2 c 2 d 2
L


注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量 夹角的补角；一进一出， 二面角等于法向量夹角

例2 正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，D是AC的 中点，当 AB1 BC1时，求二面角 D BC1 C 的余弦值。
C1
A1
B1
C D A
B
解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设 底面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则 C(0,0,0) 3 1 3 1 a, a,0) A( a, a,0) B(0, a,0) C1 (0,0, b) B1 (0, a, b) D( 4 4 2 2 故 AB1 ( 3 a, 1 a, b) BC1 (0,a, b) AB1 BC1 , 2 2 z 1 2 2 2 AB1 BC1 a b 0 b a C1 B1 2 2 A1 2

d 2 a 2 b2 c 2 cos 2(ab bc ac)
（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 a ，并且以某一顶
点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻 D1 两个夹角的余弦值吗？ 分析： 二面角 平面角 向量的夹角 回归图形 解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A A1E⊥AB 于点 E， 在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。
F1
取 BC CA CC1， A1B1、AC1的中点D1、F1， 1
C1
C
B1
D1
A1
A
B
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C xyz 如图所示，设 CC1 1 则： z
A(1,0,0), B(0,1,0),
1 1 1 F1 ( , 0, a), D1 ( , ,1) 2 2 2 1 所以： AF1 ( , 0,1), 2
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考： （1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知，

C D A 图3 B
其他条件不变，可以计算出AB的长吗？
A x
By
练习： 在长方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， = 5，AD 8, AB
AA1 4, M 为B1C1上的一点,且B1M 2,点N 在线段A1D上，
A1 D AN . (1)求证：A1D AM .
A1 B1 M
z
N
C1
D1
AM (5, 2, 4), A1 D (0,8, 4), AM A1 D＝0 A1D AM .
a 2 cos a 2 cos cos( ) a 2 cos cos( ) a 2 cos 2 a 2 sin2 cos 1 cos ∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。
空间“夹角”问题
1.异面直线所成角
设直线 l , m 的方向向量分别为a , b
m n 方向朝面外， 方向朝 ∴二面角 D BC1 C 的大小等于〈 m, n〉 面内，属于“一进一出” C
m 的情况，二面角等于法向 n 3 2 x ∴ cos〈 m, n〉= 量夹角 2 3 2 mn
即二面角 D BC1 C 的余弦值为
2 2
B D A
y
巩固练习
2
(0 ≤ ≤ ) , 则 若两直线 l , m 所成的角为
ab cos a b
l
l
a

m
a b
m
例2 Rt ABC中，BCA 90 , 现将 ABC沿着
0
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
求BD1与AF1所成的角的余弦值.
向量的有关知识：
两向量数量积的定义：a· b=|a|· cos〈a,b〉 |b|·
a b 两向量夹角公式：cos 〈a,b〉 = ab
直线的方向向量：与直线平行的非零向量 平面的法向量：与平面垂直的向量
(课本第107页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直 线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知 AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长. 解: CA 6 , AB 4 , BD 8 且 CA AB, BD AB , CA, BD 120
A(0,0,0), A1 (0,0, 4),D(0,8,0), M (5, 2, 4)
A
D
C
y
x
B
2、二面角
①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的 方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱） 的夹角。如图（2），设二面角 l 的大小为 其中AB l , AB , CD l , CD
2
，则B(0,1,0)
E F B D A
y
x
1 2 1 2 EC (0, , ) E (0, , ) 3 3 3 3
由于 BD AC 且 CC1 面ABC ，所以 BD C1 D
1 2 ) 在 RtC1 BD 中，同理可求 F (0, , 2 4
z A1 E F C x D A B B1
F1
C1
C
B1
D1
A1
1 1 AF1 BD1 30 4 cos AF1 , BD1 . 10 5 3 | AF1 || BD1 | 4 2
30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10
1 1 BD1 ( , ,1) 2 2
则可设 a =1，b
作 CE BC1于E, DF BC于F， 1 则〈 EC, FD 〉即为二面角 D BC1 C 的大小 C
C1 E CC1 b2 1 2 在 RtCC1 B 中， 2 EB BC a 2
1 即E分有向线段 C1 B的比为 2
2
2 3 1 C1 (0,0, ) D( , ,0) 4 4 2
3 1 2 ∴ FD ( , , ) 4 4 4
C1
∴ cos〈 EC, FD 〉=
2 2 3 6 EC FD 3 4 EC FD 1 4
y
即二面角D BC1 C 的余弦值为 2
2
解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz
CC1B 在坐标平面yoz中
2
2
2
设向量 CA 与 DB 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。
因此
2ab cos a 2 b 2 c 2 d 2 .
所以
a 2 b2 c 2 d 2 cos . 2ab
回到图形问题
a 2 b2 c 2 d 2 库底与水坝所成二面角的余弦值为 . 2ab
C
B A

D
∵ CD CA AB BD 2 2 2 2 ∴ CD CA AB BD 2CA AB 2 AB BD 2CA BD
空间“角度”问题