专题复习图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．类型1 三角形中的折叠问题1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】A ．150°B ．210°C ．105°D ．75°2.已知，如图,Rt △ABC 中,∠C=90º,沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC,使C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A=________.3．(2014·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE 的度数为________．4.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________．5.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________． A D B EC6.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是 ．7.如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C ，则∠B ．8.如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若C(3/2，√3/2)，则该一次函数的解析式为________．9.如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（ ）A.3/4B.4/5C.5/6D.6/7 10.如图，将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边上的A ′点处，且DE ∥BC ，下列结论：①∠AED ＝∠C ；②A 1D/DB=A 1E/EC ；③BC=2DE ；④ BD A E A C AD A E S S S ∆'∆''=+四形边。

其中正确结论的个数是 个。

11.如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，BC=3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 .D 'C 'B 'DA B C M EF类型2 四边形中的折叠问题一．求角1.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在'B M或'B M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（ ）A 、85°B 、90°C 、95°D 、100°2.如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C′处，BC′交AD 于E ，若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个3/如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点恰好落在BC 边上的F 处，如果∠BAF=70º,那么∠DAE=______.4.如图2,将正方形纸片ABCD 折叠,使边AB,CB 均落在对角线BD 上,得折痕BE,BF,则∠EBF=5.如图3,把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个内角为120º的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）A.15º或30ºB.30º或45ºC.45º或60ºD.30º或606.如图7，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A 1处，连接A 1C,则∠BA 1C=A B F C E D图2图3图4C B A M D F ED A B C 图3图4C B AM D B C图7A E A 1B C D D二．求边1.如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 的点F 处．若AE ＝5，BF ＝3，则CD 的长是【 】A ．7B ．8C ．9D ．102.如图所示，矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8 cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 长为【 】 A.25/8 B. 25/4 C. 25/2 D. 83.如图，正方形纸片ABCD 的边长为3，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，将AB 、AD 分别和AE 、AF 折叠，点B 、D 恰好都将在点G 处，已知BE=1，则EF 的长为【 】A ．3/2B ．5/2C ．9/4D ．34.如图，沿AE 折叠长方形，使D 点落在BC 边上的F 处，已知AB=8,BC=10.求CE 的长.A B F CED5.如图，矩形纸片ABCD 中,AB=6cm,BC=8cm,现将其沿AE 对折，使得B 点落在AD 上的点B1处，折痕与BC 交于点E,则CE=_____.6. 如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=12 cm,EF=16cm,求AD 的长.7.如图，将一长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在E 的位置上，AE 交DC 于点F,已知AB=8cm,BC=4cm,求线段CF 的长.8.如图，点O 是矩形ABCD 的中心,E 是AB 上的点，沿CE 折叠，点B 恰好与点O 重合，若BC=3,则折痕CE=_________.9. 如图2,正方形ABCD 的边长为6cm,M,N 分别为AD,BC 边的中点，将点C 折至MN 上，落在点P 处，折痕BQ 交MN 于点E,则BE 的长等于___________. BA EB 1C D图 21B F C G EA D HBC A FDE E O B C A D图2B NC E QD P M A10.如图,矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,E 是BC 边上一点，连接AE,∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B1处.当△CEB 1为直角三角形时，BE=________. 或B 1D CE B A B 1D CE B A B 1AB E CD11.将一张矩形纸片ABCD 按如图4的方式折起，使顶点C 落在点F 处,其中AB=4,若∠FED=30º,则折痕ED 的长为（ ）A.4 B. 4√3 C.8 D.4.5 12.如图3，在Rt △ABC 中,∠C=90º,D 为AC 上一点，且DA=DB=5,又△DAB 的面积为10，那么DC 的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 3.513.如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF=1，FD=2，则BC 的长为（ ）A ．3√2 B ．2√6 C ．2√5 D ．2√314.如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于（ ）A ．4√3 B ．3√3 C ．4√2 D ．8图 4A B E C D F图 图 3A E B CO DD AEF B CB15．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，E 为CD 上一点，分别以EA ，EB 为折痕将两个角(∠D ，∠C)向内折叠，点C ，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD ＝2，BC ＝3，则EF 的长为________．16．如图，有一矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝17，将此矩形纸片折叠，使顶点A 落在BC 边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB 、AD(包括端点)，设BA′＝x ，则x 的取值范围是_．17．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB/BC=2/3，那么tan ∠DCF 的值是 ．三．求周长1.如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为【 】A.15 B.20 C.25 D.302.如图，已知正方形ABCD 的对角线长为2√2，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为 .3. 如图，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．30四．求面积 1.如图，沿对角线BD 折叠矩形ABCD ，使得点A 落在点E 处，DE 交BC 于点F.若AD=8,AB=4,求△DBF 的面积。

2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4,AD=3,折叠纸片，使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG,则△A 1BG 的面积与该矩形的面积比为_________。

3.把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图所示方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF.若AB=3cm,BC=5cm.则重叠部分△DEF 的面积是_________cm 2.4.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A①②③B①②④C②③④D①②③④123FE C DBAG A1CBD AA1FEC BD A5.如图5,在一矩形ABCD中,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB上，折痕为AE,再将△AED以ED为折痕向右折叠,AE与BC交于点F,则△CEF的面积为（）A.4B.6C.8D.106.如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G 处，折痕为EF，若EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：①∠BEF=90°②DE=CH；③BE=EF；④△BEG和△HEG的面积相等；⑤若AD/CD=2，则BG/BC=5/6．以上命题，正确的有（）A.2 B.3 C.4 D.5图5ECFABDCEBDADCBA7.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12 3 D．16 38.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（）A．9：4B．3：2C．4：3D．16：99.如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则MN/BM 的值为（）A．2 B．4 C．2√5 D．2√610．(2015·泸州)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tanC＝2，如果将△ABC沿直线l 翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（）A．13 B.15/2 C.27/2 D．12类型3圆与折叠1.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（） A．2cm B．2√5C．√3D．2√32.如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为E F上的任意一点，则PA+PC的最小值为.3.如图，在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD ．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（ ）A ．80° B ．70° C ．60° D ．50°4.如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧上一点，则∠APB 的度数为（ ）A ．45° B ．30° C ．75° D ．60°类型4函数与折叠1．(2015·德阳)将抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3在x 轴上方的部分沿x 轴翻折至x 轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y ＝x ＋b 与此新图象的交点个数的情况有（ ） A ．6种 B ．5种 C ．4种 D ．3种2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠与x 轴交于(3,0)A ，B 两点．（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标；（2）当23x -<<时的函数图象记为G ，求此时函数y 的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若经过点(4,2)C 的直线(0)y kx b k =+≠与图象M 在第三象限内有两个公共点，结合图象求b 的取值范围．3. 如图，抛物线y=ax 2+bx+2交x 轴于A （﹣1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D 坐标；（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标；（3）若P 点只在y 轴右侧，过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q′．是否存在点P ，使Q′恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，说明理由．类型5折叠解答题1.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，连接AE ，求证:AE ∥BD. F A B C DE2.如图5,把矩形ABCD 折叠，使点C 落在AB 上的C 1处（不与A,B 重合），点D 落在D 1处，此时，C 1D 1交AD 于E,折痕为MN.(1)如果AB=1,BC=43,当C1在什么位置时，可使△NBC 1≌△C 1AE?(2)如果AB=BC=1,使△NBC 1≌△C 1AE 的C 1还存在吗？若存在，请求出C 1的位置，若不存在，请说明理由.3. 如图15，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 与AD 相交于点F.(1)线段BF 与DF 相等吗？请说明理由。