2008年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷一. 填空题（本大题满分48分）1．已知集合{1A x x =<-或}23x ≤<,{}24B x x =-≤<,则AB = .2．计算：131lim 32n n n n +→∞+=+ .3．函数()f x =的定义域是 .4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内的解是 . 5．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =. 若125a a a 、、成等比数列，则n a = . 6．化简：cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = .8．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图 如右图所示，则该凸多面体的体积V = 9．已知无穷数列{}n a 前n 项和113n n S a =-，则数列{}n a 的各项和为 . 10．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列 中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A 出现的概率是 （结果用数值表示）. 11．已知12,,,n a a a ；12,,,n b b b （n 是正整数），令112n L b b b =+++，223L b b =+,n b ++，n n L b =. 某人用右图分析得到恒等式：1122n n a b a b a b +++=11223a L c L c L +++k k c L +n n c L ++，则k c = (2)k n ≤≤.12．已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=. 设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是 . 二．选择题（本大题满分16分） 13．已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于 [答] ( )（A ）23. （B ）2-. （C ）92-. （D ）23-. 14．已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 [答]（ ）（A ）4. （B ）5. （C ）7. （D ）8.15．已知函数()()f x g x 、定义在R 上，()()()h x f x g x =⋅，则“()()f x g x 、均为奇函数”是“()h x 为偶函数”的 [答] ( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件. 16．已知C z ∈，且22i 1,iz --=为虚数单位，则22i z +-的最小值是 [答] ( )（A ）2. （B ）3. （C ）4. （D ）5.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分12分)已知cos ,,32πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求2cos sin 2sin θθθ-的值. [解]18. (本题满分12分) 在平面直角坐标系xOy 中，A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离. [解]19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数()2()log 21x f x =+.（1）求证：函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增； （2）记1()-fx 为函数()f x 的反函数. 若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，求m 的取值范围. [证明]（1）[解]（2）20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：①凳子高度为30cm，②三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面.面所成的角均为45，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）.[解]（1）（2）21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3在直角坐标平面xOy 上的一列点()()11221,,2,,,A a A a (,),n n A n a ，简记为{}n A . 若由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>=，其中j 为方向与y 轴正方向相同的单位向量，则称{}n A 为T 点列. （1） 判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,,n A n n ⎛⎫⎪⎝⎭，是否为T 点列，并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列，且点2A 在点1A 的右上方.任取其中连续三点1k k A A +、、2k A +, 判断△12k k k A A A ++的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）,并予以证明； （3）若{}n A 为T 点列，正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+，求证： >n q m p A A j A A j ⋅⋅. [解]（1）（2）[证明]（3）22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上； （2）给定圆C ：222()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）. [证明]（1）[解]（2）（3）表一线段s 与线段1s 的关系m r 、的取值或表达式s 所在直线平行于1s 所在直线 s 所在直线平分线段1s线段s 与线段1s 长度相等2008年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分. 1.{}4x x <. 2.13. 3. [2,1)(1,3]-. 4. 712x π=. 5. 21n a n =-. 6. cos α. 7. 5.8. 1. 9. 1-. 10.5525112P ⨯=（金、水、木、火、土；金、土、火、木、水）. 11. 1k k a a --. 12. 32. 二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第17至22题）17. [解] 原式2cos 2sin cos sin θθθθ=-…2分 21cos sin sin cos cos θθθθθ-==. …5分又cos ,32πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，sin θ∴==， …9分2c o s4s i n 2s i n 2θθθ∴-=-. …12分 18. [解] 由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C ， …3分解得抛物线方程为 2y x =. … 6分 于是焦点 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭. … 9分 ∴ 点F 到直线AB 的距离为8=. …12分19. [证明]（1）任取12x x <，则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+，1212,02121x x x x <∴<+<+，11222212101,log 02121x x xx ++∴<<<++， 12()()f x f x ∴<，即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增. …6分[解]（2）()12()log 21(0)x f x x -=->， …9分[解法一]1()()m f x f x -∴=- =()()22log 21log 21x x--+22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ……11分 当12x ≤≤时，222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++， m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. … 14分[解法二] 解方程()()22log 21log 21x x m -=++，得221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭， …11分22112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭， 解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …14分20. [解]（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH .由题意可得，3BH =. 设细钢管上下两段之比为λ.已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+. …… 3分节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.∴ OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠=.303,1BH OH λλ=∴=+，/解得，0.63λ=≈. …6分即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63.（2）设120,24B AB BC ∠=∴==，AC =设△ABC 的重心为H ，则8,8B H A H == …… 10分 由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =. 设过点A B C 、、的细钢管分别为AA BB CC '''、、，则 560.82AA CC OA ''====≈，536.12BB OB '===≈， ∴ 对应于A B C 、、三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ， 36.1cm 和60.8cm . …… 14分21. [解]（1） 1n a n=， 1111(1)n b n n n n -∴=-=++，显然有1n n b b +>， ∴ {}n A 是T 点列. …… 3分（2）在△12k k k A A A ++中，()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-，()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--. (5)分 点2A 在点1A 的右上方，1210b a a ∴=->，{}n A 为T 点列，10n b b ∴≥>，()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<，则1120k k k k A A A A +++⋅<. ∴ 12k k k A A A ++∠为钝角，∴ △12k k k A A A ++为钝角三角形. …… 8分（3）[证明]1,m n p q m q n p ≤<<<+=+，0q p n m ∴-=->. ①1121q p q q q q p p a a a a a a a a ---+-=-+-++- 12()q q p p b b b q p b --=+++≥-. ② 同理n m a a -=121()n n m n b b b n m b ---+++≤-. ③ …12分 由于{}n A 为T 点列，于是1p n b b ->， ④由①、②、③、④可推得q p n m a a a a ->-， … 15分 ∴->-q n p m a a a a ，即 >⋅⋅n q m p A A j A A j . … 16分22. [证明]（1）由题意可得 20b c +=，解方程2220x bx b +-=，得z b =-， … 2分∴ 点(),z P b -或(),z P b -， 将点z P 代入圆1C 的方程，等号成立，∴ z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上. …4分（2）[解法一] 当0∆<，即2b c <时，解得z b =-，∴ 点(),z P b -或(),z P b -，由题意可得222()b m c b r --+-=，整理后得 222c mb r m =-+-， …6分()240b c ∆=-<，222()b m c b r ++-=，(,)b m r m r ∴∈---+. ∴ 线段s 为： 222c mb r m =-+-，[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则实系数方程为222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<，且点(),z P b -、(),z P b -在圆C 上. 10分[解法二] 设i =+z x y 是原方程的虚根，则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ，解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①② 由题意可得，222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-. …6分 以下同解法一.[解]（3）表一线段s 与线段1s 的关系、m r 的取值或表达式 得分 s 所在直线平行于1s 所在直线1m =，1r ≠ 12分 s 所在直线平分线段1s22(1)1r m --=，1m ≠ 15分 线段s 与线段1s 长度相等()22145m r += 18分。