河南省实验中学2021届高三模拟试卷数学（文科）2020．12（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集I R =，集合{}2340A x x x =--≥∣，{}21B y N y x =∈=+，则()I C A B =（ ）A ．{}1,1-B ．{}0,1C ．{}3D ．{}1,32．若复数1Z ，2Z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，11Z i =-，则12Z Z =（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．已知两个命题:p 对任意x ∈R ，总有22xx >；:q “1ab >”是“1a >，1b >”的充分不必要条件．则下列说法正确的是（ ） A ．p q ∨为真命题B ．q ⌝为假命题C ．p q ∧为假命题D ．()p q ⌝∨为假命题4．设平向量(2,3)a =-，(1,2)b =-，则若(2)//(3)a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．32B ．23C ．23-D ．32-5．已知公差不为0的等差数列{}n a 中，26a =，3a 是1a ，9a 的等比中项，则{}n a 的前5项之和5S =（ ）A ．30B ．45C ．63D ．8476．函数1()sin ln1x f x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．斗拱是中国典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是棱台与长方体形凹槽（长方体掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是2400cm ，2900cm ，高为9cm ，长方体形槽的高为12cm ，斗的密度是30.50/g cm ．那么这个斗的质量是（ ）图一 图二 图三 A ．3990gB ．3010gC ．6900gD ．6300g8．若以抛物线()220y px p =>上的点()1,P a 为圆心，2为半径的圆恰好与抛物线的线相切，则a 的值为（ ） A ．2±B ．2C ．2-D ．1±9．已知样本数据点集合(){},1,2,,ii x y i n =，得的回归直线方程为ˆ 1.50.5yx =+，3x =，现发现两个数据点()1.2,2.2和()4.8,7.8误差较大，去除后重新求得的归直线l 的斜率为1.2，则（ ） A ．变量x 与y 具有负相关关系 B ．去除后的回归方程为ˆ 1.2 4.4yx =+ C ．去除后y 的估计值增加速度变快D ．去除后机应于样本点()2,3.75的残差为0.0510．已知函数()f x 定义域为R ，且满足下列三个条件①任意12(4,0)x x ≠∈-，都有()()21210f x f x x x ->-；②()(4)f x f x =-+；③(4)y f x =+为偶函数，则（ ） A ．(2019)(15)(2)f f f >> B ．(2)(2019)(15)f f f >> C ．(2)(15)(2019)f f f >>D ．(15)(2)(2019)f f f >>11．设椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，离心率为34，双曲线22222:1(,0)x y C m n m n-=>的渐近线交椭圆1C 于点P ，12PF PF ⊥，双曲线2C 的离心率是（ ）AB．8C．4D．212．已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为4，E ，F 分别为BB '，C D ''的中点，点P 在平面ABB A ''中，PF =N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（ ）①点P 的轨迹长度为2π；②线段FP 的轨迹与平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP的最小值为105； ④过A 、E 、F作正方体的截面，则该截面的周长为103A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件20201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为________．14．已知数列{}n a 满足()2*12323n a a a na n n +++=∈N ．设()1(1)n n n n b a a +=-+，数列{}n b 的前n项和为n S ，则100S =________．15．已知点()4,1A -，()8,2B 和直线:10l x y --=，动点(),P x y 在直线l 上，则PA PB +的最小值为________．16．已知函数1()xf x e ex =+（其中e 为自然对数的底数）若关于x 的方程2()xm f x e x⋅=有4个实根，则实数m 的取值范围为________．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =． （1）若sin sin 2sin sin C A b B A c--=+，求角B ；（2）若2c b =，当角B 最大时，求ABC ∆的面积．18．华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢．据调查数据显示，2019年度华为手机（含荣耀）在中国市场占有率接近40%！小明为了考查购买新手机时选择华为是否与年龄有一定关系，于是随机调100个2019年购买新手机的人，得到如下不完整的列表．定义30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（1）将列表填充完整，并判断是否有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？（2）若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出6个人，再随机抽2人，求恰好抽到的两人都是非年轻用户的概率．19．已知四边形ABCD 是梯形（如图甲）．//AB CD ，AD DC ⊥，4CD =，2AB AD ==，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（如图乙），2PB =．甲 乙（1）求证：平面PAE ⊥平面ABCE ； （2）求点A 到平面PBE 的距离．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，长轴的长度为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）设()1,0P ，过点P 做两条直线1l ，2l ，直线1l 与椭圆C 交于A 、B 两点，直线2l 与椭圆C 交于D 、E 两点，AB 的中点为M ，DE 的中点为N ；若直线1l 直线2l 的斜率之积为13，判断直线MN 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由． 21．已知函数()2ln 1af x x x=++的图象在()()2,2f 处切线与直线3420x y -+=平行． （1）求实数a 的值，并判断()f x 的单调性；（2）若函数()()21g x f x m =--有两个零点1x ，2x ，且12x x <，证明121x x +>．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分．22．在平面直角坐标系中，已知曲线C 的普通方程为22210250x y x y +--+=，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，线l 的极坐标方程为()4πθρ=∈R ．（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的参数方程；（2）过直线l 上的任意一点G 向曲线C 引切线GQ ，Q 为切点，求切线GQ 的最短长度． 23．已知不等式|22||2|2x x +-->的解集为M ．（1）求集合M ；（2）已知t 为集合M 中的最小正整数，若1a >，1b >，1c >，且(1)(1)(1)a b c t ---=，求证：8abc ≥．河南省实验中学2021届高三模拟试卷文数答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1-5：DACDB6-10：BCABD11-12：AC二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．414．1001011516．21,04e ⎛⎫-⎪⎝⎭三、解答题（本大题满分70分）17．解：（1）由正弦定理可得2c a b b a c--=+， 即c a b ab a c--=+ 所以()()()b a b a c a c +-=-，化简可得222c a b ac +-=，有余弦定理得2cos ac B ac =，即1cos 2B =，因为0B π<<，所以3B π=．（2）在ABC ∆中，2222cos b a c ac B =+-，2c b =，243cos 82b B b +∴=≥，当且仅当3b =时取等号，此时6B π=，2C π=，所以S =18．解：（1）填写列联表为：由表中数据，计算22100(12362428)251.0422.7064060366424K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以没有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关； （2）采用分层抽样法从购买华为手机用户中抽出6个， 年轻用户有126236⨯=人，记为A 、B ，非年轻用户有624-=人，记为c 、d 、e 、f ． 设“从这6人中再随机抽2人，恰好抽到的两人都是非年轻用户”为事件A ， 从这6人中再随机抽2人，基本事件为：AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Af 、Bc 、Bd 、Be 、Bf 、cd 、ce 、cf 、de 、df 、ef 共15种恰好抽到的两人都是非年轻用户的基本事件为：cd 、ce 、cf 、de 、df 、ef 共6种，所以62()155P A ==． 故所求的概率为2519．解：（1）证明：连接BE ，因为//AB CD ，AD DC ⊥，4CD =，E 为CD 的中点，2AB AD ==，所以四边形ABED 是边长为2的正方形，且BE EC =． 取AE 的中点M ，连接PM ，BM ．因为2AP PE ==，所以PM AE ⊥，BM AE ⊥，且AE =PM AM BM ===又2PB =，所以222PM MB PB +=，所以PM MB ⊥． 又AEMB M =，所以PM ⊥平面ABCE ．又PM ⊂平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面ABCE ．（2）解：由（1）知，PM ⊥平面ABCE ，PBE ∆为正三角形且边长为2． 设点A 到平面PBE 的距离为d ， 则1133P ABE ABE PBE V S PM S d -∆∆=⨯⨯=⨯⨯所以21112223234d ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得3d =故点A 到平面PBE的距离为3甲 乙 20．解：（1）由题意知24a =，c e a ==， 所以2a =，c = 由222a b c =+可得21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）由题意知的1l ，2l 斜率必存在设1l 的斜率为1k ，2l 的斜率为2k ，()11,A x y ，()22,B x y设1l 的方程为1(1)y k x =-，联立122(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消元可得()2222111148440k x k x k +-+-=，0∆>恒成立，由韦达定理211221814k x x k +=+；2112214414k x x k -=+ 所以2121414M k x k =+，()1121114M M k y k x k -=-=+同理可得22212221211449411494149N k k x k k k ⨯===+++⨯，21122212113311494149N k k k y k k k ---===+++⨯ ()()()()()1122221111111222221111122113314919414444144944139414MNk k k k k k k k k k k k k k k k k -+-+++++===+-++-++ ()1122211134:9494413k k MN y x k k k ⎛⎫-∴-=- ⎪+++⎝⎭即()121(4)413k y x k =-+∴直线MN 过定点，且定点坐标为()4,021．解：（1）由题知，22()af x x x'=-，((0,))x ∈+∞， (2)14af '∴=-，由题意知，3144a -=， 可解得1a =．221()x f x x-'∴=∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增． （2）证明：由题意知()()210g x f x m =--=，即12ln 2x m x+= 令1()2ln F x x x =+，221()F x x x '=-知()F x 在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭递减，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增． 12102x x ∴<<<112212ln 212ln 2x m x x mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 1122122lnx x x x x x -∴= 设12(01)x t t x =<<， 则112ln t x t -=，2112ln t x t -=，1212ln t t x x t-+= 设1()2ln (01)h t t t t t =--<<，212()10h t t t'=+-≥， ()h t ∴为()0,1上增函数，(1)0h =，()0h t ∴<，又01t <<，ln 0t ∴<，12112ln t t x x t-∴+=>， 综上可知，121x x +>．22．解：（1）依题意得，直线l 的普通方程为0x y -=， 曲线C 的普通方程为22210250x y x y +--+=， 即22(1)(5)1x y -+-=∴曲线C 的参数方程为1cos 5sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）综上，直线l 的普通方程为0x y -=，曲线C 的参数方程为1cos 5sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；（2）因为||GQ ，要使切线长GQ 最短，则需CG 最短，CG 的最小值为圆心()1,5C 到直线l=GQ =∴切线GQ．23．解：（1）|22||2|2x x +-->等价于122(2)2x x x ≤-⎧⎨---->⎩ 或1222(2)2x x x -<<⎧⎨+-->⎩或222(2)2x x x ≥⎧⎨+-->⎩ 解得6x <-或223x <<或2x ≥， 则2(,6),3M ⎛⎫=-∞-+∞ ⎪⎝⎭． （2）证明：由（1）可得1t =，1a >，1b >，1c >，且(1)(1)(1)1a b c ---=，则(1)10a a =-+≥>，（当且仅当2a =时等号成立），(1)10b b =-+≥>，（当且仅当2b =时等号成立），(1)10c c =-+≥>，（当且仅当2c =时等号成立），则8abc ≥=，（当且仅当2a b c ===时等号成立），即8abc ≥。