若作用面外法向逆坐标轴方向,
则正的切应力逆坐标轴方向；
8.1 黏性流体中的应力
流体内一点的应力有九个分量
pxx pxy pxz
P
p yx pzx
p yy pzy
p yz pzz
其中
应力张量
pij p ji 切应力互等定律
由微元体的力矩平衡可证切应力的对称性
8.1 黏性流体中的应力
二、广义牛顿内摩擦定律
定解条件 1、非定常流动的初始场 2、边界条件
在特殊条件下可得到N-S方程的解析解 例如:两平行平板间的定常层流流动
第8章 黏性不可压缩流体的流动
§8.3 N-S方程的解析解 一、斜平面上液膜的定常流动
§4-9 缝隙流动 §4-10 边界层流动、 边界层分离及物体阻力
边界条件
U
u 0, y 0
常微分方程
f 2 f 0
边界条件
f (0) 1 f () 0
用相似性变量
y 2 t
u f
U
相似性解
u 1 2 e2 d 1 erf
U
0
8.3 N-S方程的解析解 例：两平行平板间的定常层流流动
y
U
h o
u（y）
x
h
由于板 压的 强运梯动度产和生压的强流梯动度产生的流动 均质不可压缩,不计质量力
vr=vz =0, v= u(r)
fr = f= fz=0
/= 0
r、方向运动方程
边界条件
u=0，r=R2 外壁面无滑移
u=R1，r=R1
内壁面同速
u2 r
1
dp dr
d2u dr2
1 r
du dr
u r2
0
u
R12
R22 R12
R22
r2 r
8.3 N-S方程的解析解 三、无限大平板在自身平面内启动所带动的流体运动
vu仅uy 是wyuz的函fx数
1
p x
(
2u x2
2u y 2
2u z 2
)
v t
u
v x
v
v y
w v z
fy
1
p y
(
2v x2
2v y 2
2v z 2
)
w u w v w w w t x y z
fz
1
p z
(
2w x2
2w y 2
w z2 )
8.3 N-S方程的解析解 需要求解的方程组成为
意义：1. 建立应力与变形速度的关系
2. 测量速度比测量应力方便
例如: xoy平面内的切应力与角变形速度关系
pxy 2 xy
即有
xy
1 2
( v x
u ) y
角变形速度
pxy
pyx
( v
x
u ) y
8.1 黏性流体中的应力
二、广义牛顿内摩擦定律（流体的本构方程）
牛顿流体正应力
pxx
p
2 3
( u
§8.2 不可压缩黏性流体运动的基本方程
一、Navier-Stokes (N-S)方程
1. 黏性流体微团受力分析
2. 应力形式的运动方程
3. N-S方程
pyy
p y y y
dy 2
8.2 不可压缩黏性流体运动的基本方程
pxy
pyx
( v x
u ) y
2. 应力形式的运动方程
pxx
p
2 3
( u x
第八章 黏性不可压缩流体的流动
8.1 黏性流体中的应力 8.2 不可压缩黏性流体运动的基本方程 8.3 N-S方程的解析解 8.4 边界层的基本概念及基本方程 8.5 平板层流边界层的相似性解 8.6 边界层动量积分方程 8.7 湍流边界层与混合边界层 8.8 边界层分离及物体阻力 8.9 自由淹没射流
v y
w) z
2
u x
du dt
f x
pxx x
pyx y
pzx z
dv dt
f y
pxy x
pyy y
pzy z
dw dt
f z
pxz x
pyz y
pzz z
代入本构关系式后得到运动方程
8.2 不可压缩黏性流体运动的基本方程 3. N-S方程
不可压缩粘性流体的运动方程
du
dt
fx
1
p x
(2u
壁面流体无滑移
二阶偏微分方程 需要两个边界条件
uuU0,, yyhh
y
忽液略体液上面表摩面擦与力板同速
8.3 N-S方程的解析解
习题8-5：解N-S方程求平板间的速度分布
由流动的特性 u 0, w 0, 0, f g
z
t
充分发展流动 二u元、0定，常由连续性方程 v 0
x
u t
u
u x
8.3 N-S方程的解析解
解N-S方程求平板间的速度分布
由流动的特性 u 0, w 0, 0, f 0
z
t
充分发展流动 u二，维0由、连定续常性、方不程计质量力v 0
x
u t
u
u x
vu仅uy 是wyuz的函fx数
1
p x
(
2u x2
2u y 2
2u z 2
)
v t
u
v x
v
v y
p= C v= w= 0, u=u(y, t) /x= /z= 0
x方向运动方程
定解条件
u t
2u y2
t 0, y 0, u 0 t 0, y 0, u U y , u 0
量纲分析 u/U= f (, y, t)
8.3 N-S方程的解析解 三、无限大平板在自身平面内启动所带动的流体运动
第8章 黏性不可压缩流体的流动
§ 8.1 黏性流体中的应力
一、黏性流体中的应力
二、广义牛顿内摩擦定律 应力正方向的规定:
pzz
正的正应应力力沿的作符用号面p外ij （法或向；ij ）
ppxzzx pxx
pzy pyz
pxy pyx
若作用面外i 法应向力沿作坐用面标方轴向方向,
p则yy 正的切j 应应力力沿方坐向标轴方向；
2u
y
2
g
sin
1
p x
p
y
g
cos
p g
cos
y
f
(x)
p
z
0
边界条件
u 0, y 0; u U, y h
已知u 仅是 y 的函数，而 p/ x 仅是x 的函数
2u y2
1
( p x
g sin )
C
u
C 2
y2
C1 y
C2
8.3 N-S方程的解析解 二、无限长同心圆柱面之间的定常流动。
x 2
2u y 2
2u ) z 2
dv
dt
fy
1
p y
(
2v x 2
2v y 2
2v z2 )
dw
dt
fz
1
p z
(
2w x 2
2w y 2
2w z2 )
连续性方程
u v w 0 x y z
8.2 不可压缩黏性流体运动的基本方程 二、求解N-S方程的定解条件
求解N-S方程的途径 1、精确解 2、近似解 3、数值解
x
v y
w) z
2
u x
p yy
p
2 3
( u
x
v y
w) z
2
v y
pzz
p
2 3
( u
x
v y
w) z
2
w z
其中
p
1 3(pxxFra bibliotekp yy
pzz )
不可压缩流体的正应力?
牛顿流体切应力
pxy
pyx
( v
x
u ) y
pzx
pxy
( u
z
w) x
pyz
pzy
( w
y
v ) z
第8章 黏性不可压缩流体的流动