初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们(或一部分)所组成的图形,因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法,叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条:⑴经过两已知点可以画一条直线;⑵已知圆心和半径可以作一圆;⑶两已知直线;一已知直线和一已知圆;或两已知圆,如果相交,可以求出交点;以上三条,叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线;用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题,不管多么复杂,如果能反复应用上述三条作图公法,经过有限的次数,作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题;否则,就称为尺规作图不能问题.历史上,最著名的尺规作图不能问题是:⑴三等分角问题:三等分一个任意角;⑵倍立方问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍;⑶化圆为方问题:作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年,万芝尔(Pierre Laurent Wantzel)首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题;1882年,德国数学家林德曼(Ferdinand Lindemann)证明π是一个超越数(即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数),由此即可推得根号π(即当圆半径1r=时所求正方形的边长)不可能用尺规作出,从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此,仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题:⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规,作正五边形.·只使用直尺和圆规,作正六边形.·只使用直尺和圆规,作正七边形——这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规,是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决:高斯,大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积,解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规,将一个已知圆心的圆周4等分.这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的,向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸:用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图,已知两点A、B,找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B,只用半径固定的圆规,求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图,是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的,能更简洁的表达吗?顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图.1672年,有人证明:如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”,那么凡是尺规能作的,单用圆规也能作出!从已知点作出新点的几种情况:两弧交点、直线与弧交点、两直线交点,在已有一个圆的情况下,那么凡是尺规能作的,单用直尺也能作出!.五种基本作图:初中数学的五种基本尺规作图为:1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线 4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法:⑴ 轨迹交点法:解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的,先放弃其中一个条件,那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹;若改变放弃另一个条件,这个点就在另一条轨迹上,故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法,或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔,如下图,按照设计要求,发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等,到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等,发射塔P 应修建在什么位置?m【分析】 这是一道实际应用题,关键是转化成数学问题,根据题意知道,点P 应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分线上,所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ;⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ;则射线OD ,OE 与直线FG 的交点1C ,2C 就是发射塔的位置.【例2】 在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(4,0),O 是坐标原点,在直线3y x =+上求一点P ,使AOP∆是等腰三角形,这样的P 点有几个?【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件,一是点P 在3y x =+上;二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次,寻找P 点要分情况讨论,也就是当OA OP =时,以O 点为圆心,OA 为半径画圆,与直线有两个点1P 、2P ;当OA AP =时,以A 点为圆心,OA 为半径画圆,与直线无交点;当PO PA =时,作OA 的垂直平分线,与直线有一交点3P ,所以总计这样的P 点有3个.【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离,半径分别为R 与'R ,求作半径为r 的圆,使其与O ⊙及'O ⊙外切.rr【分析】 设M ⊙是符合条件的圆,即其半径为r ,并与O ⊙及'O ⊙外切,显然,点M 是由两个轨迹确定的,即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上,又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上,因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ,当2r b <时,该题无解,当2r b =有唯一解;当2r b >时,有两解.【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ,2r b >时为例:⑴ 作线段OA R r =+,''O B R r =+.⑵ 分别以O ,'O 为圆心,以R r +,'R r +为半径作圆,两圆交于12,M M 两点. ⑶ 连接1OM ,2OM ,分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点. ⑷ 分别以12M M ,为圆心,以r 为半径作圆. ∴12,M M ⊙⊙即为所求.【思考】若将例3改为:“设O ⊙与'O ⊙相离,半径分别为R 与'R ,求作半径为r ()r R >的圆,使其与O ⊙ 内切,与'O ⊙外切.”又该怎么作图?⑵ 代数作图法:解作图题时,往往首先归纳为求出某一线段长,而这线段长的表达式能用代数方法求出,然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】 只用圆规,不许用直尺,四等分圆周(已知圆心).【分析】 设半径为1..我们的任务就是做出这个长度..1长度自然就出来了.【解析】 具体做法:⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径,分别以两个相对的等分点为圆心,同向作弧,交于一点.(“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦!两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2,角形..) ⑷【例5】 求作一正方形,使其面积等于已知ABC ∆的面积.【分析】 设ABC ∆的底边长为a ,高为h ,关键是在于求出正方形的边长x ,使得212x ah =,所以x 是12a 与h 的比例中项.【解析】 已知:在ABC ∆中,底边长为a ,这个底边上的高为h ,求作:正方形DEFG ,使得:ABC DEFG S S ∆=正方形haDCBANM作法:⑴ 作线段12MD a =;⑵ 在MD 的延长线上取一点N ,使得DN h =; ⑶ 取MN 中点O ,以O 为圆心,OM 为半径作O ⊙;⑷ 过D 作DE MN ⊥,交O ⊙于E , ⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG . 正方形DEFG 即为所求.【例6】 在已知直线l 上求作一点M ,使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线,其切线长为a .al【分析】 先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ,再以O 为圆心,d 为半径作圆,此圆与直线l 的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆,使得:90A ∠=︒,OA r =,AB a =.⑵ 以O 为圆心,OB 为半径作圆.若此圆与直线l 相交,此时有两个交点1M ,2M . 1M ,2M 即为所求.若此圆与直线l 相切,此时只有一个交点M .M 即为所求.若此圆与直线l 相离,此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线,其切线长为a .⑶ 旋转法作图:有些作图题,需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度,以使已知图形与所求图形发生联系,从而发现作图途径.【例7】 已知:直线a 、b 、c ,且a b c ∥∥.求作:正ABC ∆,使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c ba D'DCB Acba【分析】 假设ABC ∆是正三角形,且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ,将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后,置于'ACD ∆的位置,此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒,B 点又可以确定,故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法:⑴ 在直线a 上取一点A ,过A 作AD b ⊥于点D ; ⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ; ⑶ 过'D 作''D C AD ⊥,交直线c 于C ;⑷ 以A 为圆心,AC 为半径作弧,交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧). ⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.【例8】 已知:如图,P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作:PCD ∆,使得90P ∠=︒,PC PD =,且C 在OA 上,D 在OB 上.OD'O【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .⑵ 过P 作直线l OB ∥;⑶ 在直线l 上取一点M ,使得PM PE =(或'PM PE =); ⑷ 过M (或'M )作MC l ⊥(或'M C l ⊥),交OA 于C (或'C )点;⑸ 连接PC (或'PC ),过P 作PD PC ⊥(或''PD PC ⊥)交OB 于D (或'D )点. 连接,PD CD (或',''PD C D ). 则PCD ∆(或''PC D ∆)即为所求.⑷ 位似法作图:利用位似变换作图,要作出满足某些条件的图形,可以先放弃一两个条件,作出与其位似的图形,然后利用位似变换,将这个与其位似得图形放大或缩小,以满足全部条件,从而作出满足全部的条件.【例9】 已知:一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ,使得D 、E 在BC 边上,F 在AC 边上,G 在AB 边上.C BAG'F'E'D'G FED CBA【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件,作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ,然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大(或缩小)得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法:⑴ 在AB 边上任取一点'G ,过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ,且使'E 在'BD 的延长线上. ⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ;作''FE F E ∥交BC 于E . ⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D . 则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图:对于等积变形的作图题,通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形,再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形,使面积不变,从而完成所作图形.【例10】 如图,过ABC ∆的底边BC 上一定点,P ,求作一直线l ,使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积,所以首先作中线AM ,假设PQ 平分ABC ∆的面积,在AMC ∆中先割去AMP ∆,再补上ANP ∆.只要NM AP ∥,则AMP ∆和AMP ∆就同底等高,此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法:⑴ 取BC 中点M ,连接,AM AP ; ⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ; ⑶ 过P 、N 作直线l . 直线l 即为所求.【例11】 如图:五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ,使直线l 平分五边形ABCDE 的面积; ⑵ 这样的直线有多少条?请你用语言描述出这样的直线.FED CBAMFDCBFD CB【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ,再取矩形BCDF 对角线的交点'O ,则经过点O ,'O 的直线l 即为所求;⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l 交AE 于Q ,交BC 于R ,过线段RQ 中点P ,且与线段AE、NM P CB Al。