湖南省永州市2018届高考第二次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数1ii+对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.已知集合{}{}320,21x A x R x B x R =∈+>=∈<，则A B ⋂=（ ） A ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()0,+∞3.若方程()22120162018x y k Z k k +=∈--表示双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．0x y ±=4.如图是2017年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙 两名选手打出的分数的茎叶图（其中m n 、均为数字09中的一个），在去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,a a ，则有（ ）A ．12a a >B ．12,a a 的大小与m 的值有关C ．21a a >D ．12,a a 的大小与,m n 的值有关5.已知向量()()3,2,1,1a x b =-=，则“1x >”是“a 与b 夹角为锐角”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．0B ．22 C ．2+12D ．2+1 7.函数cos sin 23y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭具有性质（ ）A ．最大值为3，图象关于,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B.最大值为1，图象关于,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．最大值为3，图象关于直线6x π=-对称 D.最大值为1，图象关于直线6x π=-对称8.我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．5059.已知点12F F 、是椭圆22312x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +的最小值是（ ）A ．0B ．4C ．42D ．4310.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．27432++B ．27+10C ．107+D ．1243+ 11.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2sin sin c b a B C+=，则ABC ∆是（ ） A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形12．函数()()2,,x x a k a x a f x e x a a x⎧----≤⎪=⎨>⎪-⎩，若(]0,x a ∃∈-∞，使得()1,x a ∀∈+∞都有()()10f x f x ≤，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．[)1,+∞C ．(],2-∞D ．[)2,+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设102a xdx =⎰，则二项式621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 ．14. 若某正方体的表面积为6，则该正方体的外接球的体积为 ．15. 不等式组1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域与22104x y x y ++-+≤表示的平面区域的公共部分面积为 ．16.某同学在研究函数()224820f x x x x =++-+的性质时，受到两点间距离公式的启发，将()f x 变形为()()()()()2222002402f x x x =-+-+-++，设()()(),0,0,2,4,2P x A B -，则()f x PA PB =+.下列关于函数()f x 的描述： ①()f x 的图象是轴对称图形；②()f x 的图象是中心对称图形；③方程()()225f f x =+无实数解；④函数()f x 的值域为)42,⎡+∞⎣.则描述正确的是 ．(填上你认为正确的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在数列{}n a 中，()21111,31n n a a a n N n ++⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭.（1）证明数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）令113n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 某市为迎接“国家义务教育均衡发展”综合评估，市教育行政部门在全市范围内随机抽取了n 所学校，并组织专家对两个必检指标进行考核评分.其中x y 、分别表示“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”两项指标，根据评分将每项指标划分为A (优秀)、B (良好)、C (及格）三个等级，调查结果如表所示.例如：表中“学校的基础设施建设”指标为B 等级的共有2021243++=所学校.已知两项指标均为B 等级的概率为0.21.（1）在该样本中，若“学校的基础设施建设”优秀率是0.4，请填写下面22⨯列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关；（2）在该样本的“学校的师资力量”为C 等级的学校中，若18,1115a b ≥≤≤，记随机变量a b ξ=-，求ξ的分布列和数学期望. 附表:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多面体中，四边形ACDF 是菱形，60,,//FAC AC BC AB DE ∠=︒⊥， //,2,1,5BC EF AC BC BF ===.（1）求证：BC ⊥平面ACDF ； （2）求二面角C AE F --的余弦值.20.已知()0,6P -，点R 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 在直线RQ 上，且30,2PR RM RM MQ ⋅==-，记点M 的轨迹为曲线Γ. （1）求曲线Γ的方程；（2）已知横坐标不为0的点G 在直线2y =-上，过G 作直线,GA GB 与曲线Γ相切于,A B 两点，直线AB 与y 轴交于点E ，直线GE 与曲线Γ交于,C D 两点，且四边形ABCD 的面积为4003，求直线AB 的斜率. 21.已知函数()()()211,2x f x x a e g x x ax =--=-. （1）曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值； （2）记()()()()1F x f x a g x =-+. （¡）讨论()F x 的单调性；（ⅱ）若314a -<<-，()h a 为()F x 在()()ln 1,a ++∞上的最小值，求证：()0h a <.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(其中α为参数)，曲线()222:11C x y -+=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）若射线()06πθρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲已知不等式2234x x a a -+-<+. （1）若1a =，求不等式的解集；（2）若不等式的解集不是空集，且*a N ∈，求满足条件的最小整数a 的值.试卷答案一、选择题1-5: ACDAA 6-10: BDDBB 11、12：CC二、填空题13. 15 14.32π 15. 16π16.①③④ 三、解答题17.解:（1）由条件得()122131n n a a n n +=⋅+，又1n =时，21na n =，故数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成首项为1，公比为13的等比数列.从而2113n n a n -=，即213n n n a -=.（2）由()22121333n nn n n n n b ++=-=得 2231521135212113333333n n n nn n n n S S ++-+=+++⇒=++++， 两式相减得：2312111211233333n nn n S ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭， 111112221412131139333313n n n n n n n S -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+-=---12423n n ++=-，故223n nn S +=- 18.解：（1）依题意得210.21n =，得100n =，由20120.4100a ++=，得8a = 由20201122112100ab ++++++++=得15b =()2210020392021 2.23240604159K ⨯-⨯==⨯⨯⨯ 因为2.027 2.232 2.706<<，所以没有90%的把握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关. （2）8,1115a b ≥≤≤，得到满足条件的(),a b 有：()()()()()8,15,9,14,10,13,11,12,12,11 故ξ的分布列为故211117135755555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19.（1）证明：连结CF四边形ACDF 是菱形，60FAC ∠=︒得2CF = 在BCF ∆中，2,1,5CF BC BF === 满足222BF CF BC =+得BC CF ⊥ BC CF BC BC AC ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面ACDF（2）分别以CA 为x 轴，以CB 为y 轴，连结C 与CB 中点作为z 轴()()()()0,0,0,2,0,0,1,0,3,2,1,3C A F E -，得()()2,0,0,2,1,3CA CE ==-，取AF 的中点G ，则33,0,22G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 面AEF 的法向量为：33,0,22m CG ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 设面ACE 的一个法向量为：(),,n x y z =00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20230x x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩得()0,3,1n = 由312cos 432m n m nθ⋅===⨯⋅20.解：（1）设(),M x y ，则由32RM MQ =-得,02x R ⎛⎫- ⎪⎝⎭又由0PR RM ⋅=得3,6,022x x y ⎛⎫⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即28x y =（2）设()()()1122,,,,,2A x y B x y G m -由28x y =得：4xy '=，12,44GA GB x x k k ==直线GA 的方程为：()1114x y y x x -=-即：114xy x y =-直线GB 的方程为：()2224x y y x x -=- 即：224xy x y =-所以直线AB 的方程为24x m y -=- 即：24my x =+令0y =，得()0,2E ，4GE k m =-，又4AB mk =，所以AB CD ⊥ 令4mk =，则:2AB l y kx =+，2:8x y Γ= 联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，消y 整理可得28160x kx --=12128,16x x k x x +==- ()22121214AB k x x x x =++-()2221646481k k k =++=+用1k -代k 得，2181CD k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()2211400321123ABCD S AB CD k k ⎛⎫==++= ⎪⎝⎭解得223k =，232k =，即63k =±或62k =±21.解：（1）()()x f x x a e '=- ()()11f a e '=-因为()f x 在()()1,1f 处的切线平行于x 轴，所以()10f '=，所以1a =； （2）()()()()211112x F x x a e a x a a x =---+++ （ⅰ）()()()()111x x F x e x a e a x a a '=+---+++()()()()()11x xx a e a x a x a e a ⎡⎤=--+-=--+⎣⎦若10a +≤，即1a ≤-时，则由()0F x '=得x a =当(),x a ∈-∞时，()0F x '<；当(),x a ∈+∞时，()0F x '>； 所以()F x '在(),a -∞单调递减，在(),a +∞单调递增. 若1a >-，则由()0F x '=得x a =或()ln 1x a =+ 构造函数()()()ln 11k a a a a =-+>-，则()1ak a a '=+ 由()0k a =得0a =，所以()k a 在()1,0-单调递减，在()0,+∞单调递增. ()()min 00k a k ==，所以()ln 1a a ≥+ (当且仅当0a =时等号成立）①若()()0,0,a F x F x '=≥在(),-∞+∞单调递增. ②若10a -<<或0a >，当()()ln 1,x a a ∈+时，()0F x '<；当()()(),ln 1,x a a ∈-∞+⋃+∞时，()0F x '>； 所以()F x 在()()ln 1,a a +单调递减，在()()(),ln 1,,a a -∞++∞单调递增.（ⅱ）若314a -<<-，()F x 在()()ln 1,a a +单调递减，在(),a +∞单调递增.()()()32min 12a F x f a a a e ==+-，令()()3212a h a a a e =+- 则()232a h a a a e '=+-，令()()232a a h a a a e ϕ'==+-，()310a a a e ϕ'=+-< ()232a h a a a e '=+-在31,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，()11102h e '-=->，34330432h e -⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭ 所以存在唯一的031,4a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭使得()00h a '=，所以()h a 在()01,a -单调递增，在03,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减故当031,4a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()()0max h a h a = 又()02000302a h a a a e '=+-=所以()()()32200000max 1322h a h a a a a a ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭()200012202a a a =--<所以当31,4a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()()32102a h a a a e =+-<22.解：（1)由3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩得2213x y +=，所以曲线1C 的普通方程为2213x y += 把cos ,sin x y ρθρθ==，代入()2211x y +=- 得()()22cos 1sin 1ρθρθ-+= 化简得曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ= （2）依题意可设12,,,66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线1C 的极坐标方程为2222sin 3ρρθ+=^ 将()06πθρ=>代入曲线1C 的极坐标方程得22132ρρ+=，解得12ρ= 将()06πθρ=>代入曲线2C 的极坐标方程得23ρ= 所以1232AB ρρ=-=-23.解：（1）当1a =时，不等式即为2342x x -+-< 若4x ≥，则3102x -<，得4x <，舍去； 若 34x <<，则 22x -<，得 34x <<； 若3x ≤，则1032x -<，得833x <≤. 综上，不等式的解集为843x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（2）设()234f x x x =-+-，则()310,42,34103,3x x f x x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤⎩易得()min 1f x =，∴21a a +> 解得：152a -+>或152a --<∵*a N ∈，所以，满足条件的最小的整数a 的值为1.。