状态反馈极点配置定理(3/11) 状态反馈极点配置定理
下面仅对SISO系统进行充分性的证明,对MIMO系统可完 全类似于SISO的情况完成证明过程. 证明过程的思路为: 分别求出开 环与闭环系 统的传递函 数阵 比较两传 递函数阵 的特征多 项式 建立可 极点配 置的条 件
状态反馈极点配置定理(4/11) 状态反馈极点配置定理
状态反馈极点配置定理(11/11) 状态反馈极点配置定理
由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的. 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性. 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不 改变系统的状态能观性.
SISO系统状态反馈极点配置方法 系统状态反馈极点配置方法(1/10) 系统状态反馈极点配置方法
其中
[ K1 K 2 ] = KPc
状态反馈极点配置定理(9/11) 状态反馈极点配置定理
~ 由上式可知,状态完全不能控子系统的系统矩阵 A22 的特征 值不能通过状态反馈改变,即该部分的极点不能配置. ~ 虽然状态完全能控子系统的 A11的特征值可以任意配 置,但其特征值个数少于整个系统的系统矩阵 A 的特 征值个数. 因此,系统 ∑( A, B, C ) 的所有极点并不是都能任意配置.
... 0 ... ... ... 1 ... - a1 - k n
相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式 分别为 b1s n 1 + ... + bn Gk ( s ) = n s + (a1 + k n ) s n 1 + ... + (an + k1 )
f k( s ) = s n + (a1 + k n ) s n 1 + ... + (an + k1 )
本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续 系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极 点. 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全平行的 结论和方法.
反馈控制与极点配置(2/5)
对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很 大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的. 因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平 面上的一组合理的,具有所期望的性能品质指标的极点, 是可以有效地改善系统的性能品质指标的. 这样的控制系统设计方法称为极点配置. 在经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法还 是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指 标,本质上均属于极点配置方法. 本节所讨论得极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵 K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选 择的一组期望极点上.
b1s n 1 + ... + bn G(s) = n s + a1s n 1 + ... + an
状态反馈极点配置定理(5/11) 状态反馈极点配置定理
若SISO被控系统∑(A,B,C)的状态反馈阵K为 K=[k1 k2 … kn] 则闭环系统∑K(A-BK,B,C)的系统矩阵A-BK为
1 0 ... ... A - BK = 0 0 - a - k - a - k n 1 2 n 1
状态反馈极点配置定理(8/11) 状态反馈极点配置定理
证明过程: 证明过程 被控系统∑(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换 x=Pc x ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:
x1′ A11 x′ = 2 0 A12 x1 B1 + u x2 0 A22
SISO系统状态反馈极点配置方法 系统状态反馈极点配置方法(2/10) 系统状态反馈极点配置方法
2. 若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范II形,则由 4.6节讨论的求能控规范II形的方法,利用线性变换x=Tc2 x, 将系统∑(A,B)变换成能控规范II形 ∑( A, B) ,即有
Ch.6 线性系统综合
目录(1/1) 目录(1/1)
目
录
概述 6.1 状态反馈与输出反馈 6.2 反馈控制与极点配置 6.3 系统镇定 6.4 系统解耦 6.5 状态观测器 6.6 带状态观测器的闭环控制系统 6.7 Matlab问题 问题 本章小结
反馈控制与极点配置(1/5)
6.2 反馈控制与极点配置
p2 p1 p3
反馈控制与极点配置(4/5)
基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点 配置问题可描述为: 给定线性定常连续系统
x = Ax + Bu
确定反馈控制律
u = Kx + v
使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环 极点也就是成立
λi ( A BK ) = si* ,
* k i = a n i +1 a n i +1
状态反馈极点配置定理(7/11) 状态反馈极点配置定理
(2) 再证必要性 结论条件 . 再证必要性(结论 条件). 结论 即证明,若被控系统∑(A,B,C)可进行任意极点配置,则该系 统是状态完全能控的. 采用反证法. 采用反证法. 即证明,假设系统是状态不完全能控的,但可以进行任 即证明 意的极点配置. 证明过程的思路为: 证明过程的思路为 对状态不完 全能控开环 系统进行能 控分解 对能控分 解后的系 统进行状 态反馈 其完全不能 控子系统不 能进行极点 配置 与假设 矛盾,必 要性得 证
~ * K = KTc1 = [a2 - a2 2
* a1 - a1 ]Tc1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1 - 1 2 = [5 - (-5) 2 - (-2)] × 6 - 1 8 = [- 7 / 3 26 / 3]
则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为
SISO系统状态反馈极点配置方法 系统状态反馈极点配置方法(6/10) 系统状态反馈极点配置方法
2 - 4 [ B AB] = 1 1
则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置. 2. 求能控规范 形: 求能控规范II形
T1 = [0 1][ B
1 c2
AB]1 = [ 1 / 6 1 / 3]
T1 1 1 2 T = = T1 A 6 1 8 0 1 ~ 1 A = Tc 2 ATc 2 = 5 2
反馈控制与极点配置(3/5)
由于线性定常系统的特征多项式为实 系数多项式,因此考虑到问题的可解性, 对期望的极点的选择应注意下列问题: 1) 对于n阶系统,可以而且必须给出n 个期望的极点; 2) 期望的极点必须是实数或成对出 现的共轭复数; 3) 期望的极点必须体现对闭环系统 的性能品质指标等的要求.
由于线性变换不改变系统特征值,因此系统∑(A,B,C)的极 点并不是都能任意配置的. 这与前面假设矛盾,即证明被控系统∑可任意极点配置,则 是状态完全能控的. 故必要性得证.
状态反馈极点配置定理(10/11) 状态反馈极点配置定理
由能控规范II形的状态反馈闭环系统的传递函数 b1s n 1 + ... + bn Gk ( s ) = n s + (a1 + k n ) s n 1 + ... + (an + k1 ) 表明,状态反馈虽然可以改变系统的极点,但不能改变系统的零点. 当被控系统是状态完全能控时,其极点可以进行任意配置. 因此,当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点重 合时,则闭环系统的传递函数中将存在零极点相消现象. 根据零极点相消定理可知,闭环系统或状态不能控或状态 不能观.
A = Tc1 ATc 2 2 B = Tc1 B 2
对能控规范II形∑~进行极点配置,求得相应的状态反馈阵如 下 * * * K = an an an 1 an 1 a1 a1 因此,原系统∑的相应状态反馈阵K为
K = KTc 2
SISO系统状态反馈极点配置方法 系统状态反馈极点配置方法(3/10)—例2 系统状态反馈极点配置方法
状态反馈极点配置定理(6/11) 状态反馈极点配置定理
如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为 f*(s)=sn+a1*sn-1+…+an* 那么,只需令fK(s)=f*(s),即取 a1+kn=a1* … an+k1=an* 则可将状态反馈闭环系统∑K(A-BK,B,C)的极点配置在特征 多项式f*(s)所规定的极点上. 即证明了充分性. 同时,我们还可得到相应的状态反馈阵为 K=[k1 k2 … kn] 其中
证明过程: 证明过程 设SISO被控系统∑(A,B,C)为能控规范II形,则其各矩阵分 别为
1 0 ... ... A= 0 0 a a n 1 n C = [bn bn 1 ...
且其传递函数为
... 0 ... ... ... 1 ... a1 b1 ]
0 ... B= 0 1
在进行极点配置时,存在如下问题: 被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进 行极点配置的. 下面的定理就回答了该问题.
状态反馈极点配置定理(2/11) 状态反馈极点配置定理
定理3-22 对线性定常系统∑(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能 使闭环系统∑K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为 被控系统∑(A,B,C)状态完全能控. □ 先证充分性(条件 结论). 条件 证明 (1) 先证充分性 条件结论 . 即证明,若被控系统∑(A,B,C)状态完全能控,则状态反馈闭 环系统∑K(A-BK,B,C)必能任意配置极点. 由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被 控系统∑(A,B,C)状态能控,因此一定存在线性变换能将其 变换成能控规范II形. 不失一般性,下面仅对能控规范II形证明充分性.
2 1 11 58 x′ = x + 1 u 3 4 17
通过验算可知,该闭环系统的极点为-1±j2,达到设计要求.