计算方法模拟试题
一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0⨯的误差限为（ ）。

A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3
1
)1(34)0(31)(2
0f f f dx x f ++≈
⎰的代数精确度为（ ）。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。

A. 0det ≠A
B. 某个0
det ≠k A
C. )1,1(0det -=≠n k A k
D. ),,1(0det n k A k =≠
4.已知⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=531221112A ，则=∞A （ ）。

A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。

A. 1+k x
B. k k x x 11λ++
C. k x
D. k k x x 11λ-+
二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。

2. 已知近似值21,x x ，则=-∆)(21x x 。

3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。

4．雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。

5．改进欧拉法的公式为 。

三、计算题（每小题12分 ，共60分） 1. 求矛盾方程组；
⎪⎩⎪
⎨⎧=-=+=+2
42321
2121x x x x x x 的最小二乘解。

2．用列主元法解方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++4
26453426352321
321321x x x x x x x x x
3．已知方程组
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----131********x x x a a a a （1） 写出雅可比法迭代公式； （2） 证明2<a 时，雅可比法收敛；
（3） 取1=a ，初始值T X )1,1,1()0(=，求出)1(X 。

4．用4=n 的复化梯形公式计算积分⎰21
1
dx x
，并估计误差。

5．用切线法求方程 0134=+-x x 的最小正根。

（1） 确定含根区间，检验切线法收敛条件 （2） 写出切线法迭代公式； （3） 选初始值0x ，计算出1x 。

四、证明题（本题10分，每小题5分）
1．设1)(max ),(<'==**x x x φρφ
证明 由 ,1,0)(1==+n x x n n φ ，得到的序列{}n x 收敛于*x 。

2．对于初值问题，⎩⎨⎧=-='1)0(10y y
y
证明当2.0<h 时，欧拉法绝对稳定。

计算方法模拟试题答案
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．B ． 2. C. 3. C. 4. D. 5. B 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 3.14
2. 2. 21x x ∆-∆ .
3. 1
4. 全部特征值和特征向量
5. ()()()
[]
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧-==++=+=+++++1,,1,0,...1,0),(),(2),(11101
1N n m y x f y x f h y y y x hf y y m n n n n n m n n n n n . 三、计算题(每题12分，共60分)
1． 解
22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ϕ 6分 由
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0
96209232
12
211
x x x x x x ϕϕ
解得 14
9
,71821==
x x 9分 故该矛盾方程组的最小二乘解为14
9
,71821==x x 。

12分 2.
解 ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110042204264422032104264426453426352 故得方程组的解为 ,1,1,1321==-=x x x 12分 3.
（1） 雅可比法迭代公式为：
,1,0)1(41)3(41)1(4
1)
(2)1(3
)
(3)(1)1(2
)
(2)1(1
=⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧+=++=+=+++m ax x ax ax x ax x m m m m m m m
5分 （2）因为2<a 时，A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。

8分
（3）取1=a ，T X )1,1,1()0(=， 计算得T X )4
2
,45,42()0(= 12分
4.解 697.0]2
1
)746454(21[81121
≈++++≈⎰dx x 8分
用2)(max ,2
)(,1)(,1)(232=''==''-='=
x f M x
x f x x f x x f 所以，96
1
412)(224=
⨯≤M f R 12分
5．（1） 由于04375.0)5.0(,01)0(<-=>=f f 所以]5.0,0[*∈x 在区间]5.0,0[上,012)(,034)(,3≥=''<-='x x f x x f
则由条件,0)()(0≥''x f x f 取5.00=x ，切线法收敛。

4分 （2）切线法迭代公式为： ,1,0,3
4133
41
=-+--=+n x x x x x n n n n n 8分 （3）由,0)()(0≥''x f x f 取00=x ，用上迭代公式计算得3
1
1=x 12分
证明题（每小题5分，共10分）
1.证明 由 ,1,0)(1==+n x x n n φ ，)(**=x x φ 两式相减，应用中值定理得
***1*1*)()()(x x x x x x x x x x n n n n n n n -≤≤-≤-'=-=---ρρξϕϕϕ 由1<ρ 得)(*∞→→n x x n 。

5分 2. 由欧拉公式得
11
~)101(~)101(---=-=n n n n y h y y h y 所以，01101101e h e h e n
n n -==-=- 当2.0<h 时，有0,1101e e h n ≤≤-
所以欧拉法绝对稳定。

5分。