2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.......... 3.第Ⅰ卷共l2小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.一、选择题1.设集合{}1,2,3,4U =,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=)(N M C UA.{}12,B.{}23,C.{}2,4D.{}1,42.函数0)y x =≥的反函数为A.2()4x y x R =∈B.2(0)4x y x =≥C.24y x =()x R ∈D.24(0)y x x =≥3.设向量a ,b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=- ,则2a b +=4.若变量x 、y 满足约束条件6,32,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩则23z x y =+的最小值为A.17B.14C.5D.3 5.下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b >+B.1a b >-C.22a b >D.33a b >6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差2d =,224k k S S +-=,则k =A.8B.7C.6D.57.设函数()cos (0)f x x ωω=>,将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于 A.13B.3C.6D.98.已知直二面角l αβ--,点A α∈,AC l ⊥,C 为垂足,点B β∈,BD l ⊥,D 为垂足,若2AB =,1AC BD ==,则CD =A.2D.19.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有A.12种B.24种C.30种D.36种 10.设()f x 是周期为2的奇函数,当01x ≤≤时,()2(1)f x x x =-,则5()2f -=A.12-B.14-C.14D.1211.设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切,且都过点41(,),则两圆心的距离12C C =A.4B.C.8D.12.已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ,若该球的半径为4,圆M 的面积为4π,则圆N 的面积为 A.7π B.9π C.11π D.13π第Ⅱ卷注意事项:1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答无效.3.第Ⅱ卷共l0小题,共90分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上(注意:在试卷上作答无效)13.10(1)x -的二项展开式中,x 的系数与9x 的系数之差为 . 14.已知3(,)2παπ∈,tan 2α=,则cos α= . 15.已知正方体1111ABCD A B C D -中,E 为11C D 的中点,则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .16.已知1F 、2F 分别为双曲线C:221927x y -=的左、右焦点,点A C ∈,点M 的坐标为(2,0),AM 为12F AF ∠的平分线.则2||AF = .三.解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分l0分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知26a =,12630a a +=,求n a 和n S .18.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效.........) △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .己知sin csin sin sin a A C C b B +-=,(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若75A = ,2b =,求a 和c .19.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.(Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(Ⅱ)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.20.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 如图,四棱锥S ABCD -中,AB CD ∥,BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形,2AB BC ==,1CD SD ==.(Ⅰ)证明:SD SAB ⊥平面;(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小.ASDCB21.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知函数{}32()3(36)124f x x ax a x a a R =++-+-∈.(Ⅰ)证明:曲线()y f x =在0x =处的切线过点(2,2);(Ⅱ)若()f x 在0x x =处取得极小值,01,3x ∈(),求a 的取值范围.22.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知O 为坐标原点,F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为l 与C 交与A 、B 两点,点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明:点P 在C 上;(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q ,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.参考答案及解析1.【答案】D【解析1】直接法.因为{1,2,3}{2,3,4}{2,3}M N == ,所以(){1,4}U M N = ð. 【解析2】反演律.(){4}{1}{1,4}U UU M N M N === 痧 .【解析3】韦恩图法.2.【答案】B【解析1】直接法.由0)y x =≥解得,2(0)4y x y =≥,所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.【解析2】特值法.在原函数0)y x =≥的图像上取一点(1,2)A ,则点(2,1)B 必在反函数上,排除选项C 、D .在函数2()4x y x R =∈的图像上取一点(2,1)C -,但(1,2)D -不在函数0)y x =≥的图形上,排除选项A .【解析3】图像法.先画出函数0)y x =≥的图像,再根据对称性画出0)y x =≥的反函数的图像,函数0)y x =≥的图像及其反函数图像如右图.观察图像可排除选项A 、C ,因为原函数与反函数的图像都经过点4,4(),故选B .3.【答案】B【解析1】解析法.因为||||1a b == ,12a b ⋅=-,所以2a b +===【解析2】数形结合法.如右图所示,设a OA = ,b OB = ,2OC b =,由||||1a b ==,12a b ⋅=- ,知,120a b <>=,则2a b OD +===CAB OD4.【答案】C【解析1】顶点法直线6,32,1x y x y x +=-=-=的交点分别为(1,1),(1,5),(4,2),代入目标函数得:(1,1)21315z =⨯+⨯=,(1,5)213517z =⨯+⨯=,(4,2)243214z =⨯+⨯=,所以z 的最小值为5.【解析2】注:线性规划问题的简易解法 5. 【答案】A【解析1】1a b >+a b ⇒>,且a b >⇒1a b >+. 6.【答案】D【解析1】由224k k S S +-=,得11(2)(1)(1)[(2)][]2422k k k k k a d ka d ++-++-+=,解得5k =.【解析2】22112(21)24k k k k S S a a a k d +++-=+=++=,又因为11a =,公差2d =,所以5k =.7.【答案】C【解析1】由题意得cos cos ()3x x πωω=-,显然ω为6的整数倍.【解析2】由题2()3k k Z ππω=⋅∈,解得6k ω=,令1k =,即得min 6ω=.8.【答案】C【解析1】向量法由22222()AB AC CD DB AC CD DB =++=++ ,得2222CD AB AC DB =--,所以CD =【解析2】公式法.CD ==9.【答案】B【解析1】分步计数原理.第一步,先从4位同学中选2位同学选修课程甲,方法数为246C =种; 第二步,剩下的两位同学选修课程乙或丙,方法数为224=种; 总的方法数为224224C =种.10. 【答案】A【解析1】5111111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=--=-=-=-⨯-=-. 11.【答案】C【解析1】设1(,)C a a ,2(,)C b b ,则222(4)(1)a a a =-+-,222(4)(1)b b b =-+-,不妨设a b <,则5a =-5b =+128C C =. 12.【答案】D【解析1】因为圆M 的面积为4π,所以圆M 的半径2r =.设球心为O,则OM =sin 30ON OM == N的半径R ==N 的面积为13π.13.【答案】0【解析1】因为1111010()T C x C x =-=-,999991010()T C x C x =-=-,所以x 的系数与9x 的系数之差为0. 14.【答案】5-【解析1】公式法.由22tan2tan tan(2)221tan 2αααα=⨯==-,解得1tan 22α=-,所以221tan 2cos 51tan 2ααα-==-+. 【解析2】图示法如右图所示,设α的终边为OA ,过点A 做AB y ⊥轴于点B .因为tan 2α=,所以可设2AB =,1OB =,显然cos OB OA α=-=. 15.【答案】23【解析1】欧几里得法因为BC AD ∥,所以DAE ∠为异面直线AE 与BC所成角,2cos 3ADDAE AE∠====.【解析2】坐标法以点D 为坐标原点,以射线DA 为x 轴的正半轴,以射线DC 为y 轴的正半轴,以射线1DD 为z 轴的正半轴,设1DA =建立空间直角坐标系D xyz -.则(1,0,0)A ,1(0,,1)2E ,(1,1,0)B ,(0,1,0)C ,所以1(1,,1)2AE =- ,(1,0,0)BC =- .12cos ,33||||12AE BC AE BC AE BC ⋅<>===⋅⨯.16.【答案】6【解析1】根据角平分线定理,有1122824F A F M F A F M ===,又因为12236F A F A -=⨯=,所以2||6AF =.三.解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分l0分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 【解析1】基本量法.设{}n a 的公比为q ,由题设得12116,630.a q a a q =⎧⎨+=⎩ 解得13,2,a q =⎧⎨=⎩或12,3,a q =⎧⎨=⎩当13a =,2q =时,132n n a -=⨯,3(21)nn S =⨯-; 当12a =,3q =时,123n n a -=⨯,31nn S =-.18.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 【解析1】(Ⅰ)设R 为△ABC的外接圆的半径.sin csin sin sin a A C C b B +=,利用正弦定理得222222a c b R R R +=,整理得2222a c b ac +-=,即cos B =45B = .(Ⅱ)sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30=+=+=sin sin751sin2ba AB=⋅===+sin sin(1807545)sin2bc CB==⋅=--=19.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效.........)【解析1】(Ⅰ)设事件A={购买甲种保险},B={购买乙种保险},C={至少购买甲、乙两种保险中的1种}.因为()()()0.3P AB P A P B==,()0.5P A=,所以0.3()0.60.5P B==.()()()()()0.50.60.50.60.8P C P A B P A P B P AB==+-=+-⨯=.另解:()1()1(10.5)(10.6)0.8P C P AB=-=---=.(Ⅱ)12223()()3()()()30.50.40.80.384P C P AB P C P A P B P C===⨯⨯⨯=.20.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效.........)【解析1】(Ⅰ)取AB中点E,连接DE,则四边形BCDE为矩形,2DE CB==,连接SE,则SE AB⊥,SE=.又1SD=,故222ED SE SD=+,所以DSE∠为直角.由AB DE⊥,AB SE⊥,DE SE E=,得AB SDE⊥平面,所以AB SD⊥.SD与两条相交直线AB、SE都垂直,所以SD SAB⊥平面.(Ⅱ)由AB SDE⊥平面知,ABCD SDE⊥平面平面.作SF DE⊥,垂足为F,则SF ABCD⊥平面,2SD SESFDE⨯==.作FG BC⊥,垂足为G,则1FG DC==.连接SG,则SG BC⊥.又BC FG⊥,SG FG G=,故BC SFG⊥平面,SBC SFG⊥平面平面.EASD CBF GH作FH SG ⊥,H 为垂足,则FH SBC ⊥平面.SF FG FH SG ⨯==,即F 到平面SBC的距离为7. 由于BC ED ∥,所以ED ∥平面SBC ,E 到平面SBC的距离7d =. 设AB 与平面SBC 所成的角为α,则sin 7d EB α==,sin 7arc α=. 【解析2】以C 为坐标原点,射线CD 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间坐标系C xyz -. 设(1,0,0)D ,则(2,2,0)A ,(0,2,0)B ,又设(,,)S x y z ,则0x >,0y >,0z >.(Ⅰ)(2,2,)AS x y z =-- ,(,2,)BS x y z =- ,(1,,)DS x y z =-,由||||AS BS = 得=解得1x =,由||1DS =得221y z +=,又由||2BS = 得222(2)4x y z +-+=,即22410y z y +-+=,故12y =,2z =.于是1(1,,22S,3(1,22AS =--,3(1,,22BS =- ,1(0,,)22DS = ,0DS AS ⋅= ,0DS BS ⋅=.故DS AS ⊥,DS BS ⊥,又AS BS S = ,所以SD SAB ⊥平面.(Ⅱ)设平面SBC 的法向量(,,)a m n p = ,则a BS ⊥ ,a CB ⊥ ,0a BS ⋅=,0a CB ⋅=,又3(1,2BS =- ,(0,2,0)CB = ,故30,220.m n p n ⎧-=⎪⎨⎪=⎩取2p =得(2)a = ,又(2,0,0)AB =-,cos ,7||||AB a AB a AB a ⋅<>==⋅ . 故AB 与平面SBC所成得角为arcsin7. 【解析3】(Ⅰ)计算1SD =,AD =2SA =,于是222SA SD AD +=,利用勾股定理,可知SD SA ⊥,同理,可证SD SB ⊥,又SA SB S = ,因此SD SAB ⊥平面.(Ⅱ)过点D 做Dz ABCD ⊥平面,如图建立空间直角坐标系D xyz -.(2,1,0)A -,(2,1,0)B ,(0,1,0)C,1(2S ,可计算平面SBC的一个法向量是n = ,(0,2,0)AB =,|||cos ,|||||AB n AB n AB n ⋅<>===⋅ 21.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 【解析1】 (Ⅰ)2()3636f x x ax a '=++-.由(0)124f a =-,(0)36f a '=-得曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(36)124y a x a =-+-,由此知曲线()y f x =在0x =处的切线过点(2,2).(Ⅱ)由()0f x '=得22120x ax a ++-=.(i )当2(2)4(12)0a a ∆=--≤时,11a ≤≤,()f x 没有极小值;(ii )当2(2)4(12)0a a ∆=-->时,1a >或1a <,由()0f x '=得1x a =--,2x a =-故02x x =.由题设知13a <-<.当1a >时,不等式13a <-+<无解;当1a <时,解不等式13a <-+得512a -<<.综合(i )(ii )得a 的取值范围是5(,1)2-. 22.(本小题满分l2分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 【解析1】(Ⅰ)(0,1)F ,l 的方程为1y =+,代入2212y x +=并化简得2410x --=.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)P x y ,则14x =,24x =,122x x +=,1212)21y y x x +=++=,由题意得312()2x x x =-+=-,312()1y y y =-+=-.所以点P 的坐标为(1)-.经验证,点P 的坐标(1)2--满足方程2212y x +=,故点P 在椭圆C 上.(Ⅱ)由(1)2P --和题设知,2Q ,PQ 的垂直平分线1l 的方程为2y x =-. ○1设AB 的中点为M ,则1)2M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为124y x =+. ○2由○1○2得1l 、2l 的交点为1()88N -.||8NP ==,21||||2AB x x =-=,||AM =,||MN ==,||8NA ==, 故||||NP NA =. 又||||NP NQ =,||||NA NB =, 所以 ||||||||NA NP NB NQ ===,由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心,NA 为半径的圆上.。