一.从二次函数的图像看函数零点的性质
• 当函数的图象通过零点且穿过X轴 时,函数值变号. • 两个零点把X轴分为三个区间:
y
(, x1 ),( x1, x2 )( x2 , )
x1
0
在每个区间上函数值保持同号.
x2
x
二求出二次函数的零点及其 顶
点坐标,又能粗略地画出函数 草图,确定二次函数的一些主 要性质.
5、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如 下的x, f(x)对应值表：
x 1 f(x) 23 2 9 3 4 –7 11 5 –5 6 7 –12 –26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（
A 5 B 4 C 3 D 2
）个
归纳、小结
确定函数零点所在大致区间及零点个数的方 法、步骤：
（1）作出x、f(x)的对应值表格； （2）作出y=f(x)的图象； （3）确定y=f(x)的单调性情况 （4）作出判断。
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定 区间内存在零点。
.
.
.
b
.
a
b
x
练一练
A 只有一个零点 B 至少有一个零点
1、对于定义在R上的函数y=f(x),若f(a).f(b)<0 (a,b R,且a<b), 则函数y=f(x)在(a,b)内（ B ） C 无零点 D 无法确定有无零点 2、如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点，则m的取 值范围是（ B ）

A x> – 2
B
x< – 2
C x>2
D x<2
D – 4 ,0,4
3、函数f(x)=x3-16x的零点为( A (0,0),(4,0) B 0,4
D
)
C (– 4 ,0), (0,0),(4,0)
4、函数f(x)= – x3 – 3x+5的零点所在的大致区间为（ A ） 1 A （1，2） B （ – 2 ，0） C （0，1） D （0， ） 2
零点存在性的探索
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象: < > f(1)___0, 在区间[-2,1]上，f(-2) __0, < 则 f(-2)·f(1) ___0 ， 在区间（-2，1）上，x=-1是 x2 －2x－3 ＝0的一个根
y
.
－2 －1
2
.
.
1
－1 －2
.
1
0
2
3 4
x
－3 －4
y
函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象
y
x1 0 x2 x 0 x1
x
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
函数零点的定义：
一般地,如果函数y=f(x)在实数 处的值等于0, 即f()=0,则叫做函数y=f(x)的零点。在坐标系 中表示图像与x轴的公共点是( ,0)点.
方程f(x)=0有实数根 等价关系
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
方程的根与函数的零点之间的关系
对于二次函数y=ax2 +bx+c(a 0): 当 b 2 +4ac>0时,方程ax2 +bx+c=0有两个不相等的实数根, 这时说二次函数y=ax2 +bx+c有两个零点; 当 b 2 +4ac=0时,方程ax2 +bx+c=0有两个相等的实数根(重根) 这时说二次函数y=ax2 +bx+c有一个二重零点或有二阶零点; 当 b 2 +4ac<0时,方程ax2 +bx+c=0没有实数根,这时 二次函数y=ax2 +bx+c没有零点.
.
< < > ，f(2)· 在区间 [2,4]上，f(2)___0 ,f(4)___0 f(4)___0 在区间（2,4）上，x＝3 是 x2－2x－3＝0的另一个根
y
结论：
.
0
a 1
y
.
x
0
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，那么，函
2.4.1 函数的零点
沈阳二中 数学组
思考：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 有什么关系？
判别式△ = b2－4ac△＞0△=0△＜0 没有实根y
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a≠0)的根
小结与思考
函数零点的定义
等价关系 函数的零点或相应方程的根的存 在性以及个数的判断
作业
成才之路： ２．４．１函数零点 Ｐ９１－－Ｐ９２
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主殿下恕罪……”慕容凌娢很麻溜的跪下了，毕竟膝盖什么的，能有命重要？宫斗大戏里的套路就是一言不合就掌嘴，一点不爽就一丈红，还 是小心为好。“奴婢并非有意冒犯公主殿下，还望公主殿下开恩。”“哼！”傲娇的小公主得意的哼了一声，把头扬地更高了，“说，你是哪 个宫的。”“……”还问我的工作单位？这是要告状告到顶头上司那儿的节奏啊。慕容凌娢很郁闷，她抬起头来想要继续用主角的嘴炮技能， 却发现那位公主根本就没有再正眼看她，她的嘴炮就是再厉害，对着别人的鼻孔也说不出什么好词好句，所以她又把头低了下去。“亦清这是 怎么了，居然因为一个下人这么生气？”皇宫之中能还能听到这种平和的语调实数难能可贵。韩哲轩！慕容凌娢激动的眼睛放光，感觉自己有 救了。“八哥～”韩亦清很不满的跺跺脚，指着慕容凌娢说道，“不知道这是哪个宫的奴婢，没规矩没教养，见到我居然装作没看见！还鬼鬼 祟祟的，指不定是偷了什么东西……”韩亦清喋喋不休的说着慕容凌娢犯下的滔天大罪，慕容凌娢却脑洞大开。八哥……是那种“少年老成” 满脸皱纹眼睛又大又圆还闪烁着天真光芒的狗狗，还是那种会学人说话的小黑鸟?韩哲轩虽然有的时候眼神很像呆萌的八哥狗，但实际上，他 绝对没有八哥狗那么老实。所以说，他还是更像八哥鸟。“晓白是我那儿的人。今天早上我的玉佩丢在这附近了，所以才让她来帮我找。”韩 哲轩冲着慕容凌娢使了个眼色。“玉佩找到了吗？”尼玛，居然给我乱起外号！而且怎么听都像是宠物的名字。慕容凌娢虽然心里不爽，但口 头上也回答的很好。“回殿下……还没有找到。”慕容凌娢装出一副十分紧张的样子。“那就继续去找。”“是。”慕容凌娢起身行了个礼， 拔腿就走。“八哥～”韩亦清拽着韩哲轩的衣袖，用她常用的方式高声埋怨道，“这奴婢实在是没大没小，你这样纵容她，指不定哪天她就不 把你放在眼里了！”“亦清。”韩哲轩摸摸韩亦清的头，笑道，“晓白不守规矩是我管教的不好，八哥在这里给你赔罪，回去之后我一定替你 好好惩罚她。我们亦清公主大人有大量，就别为一个奴婢的事而生气了。”“那好吧，八哥你一定要好好罚她。”……快步走了一会儿，到了 安全地带，慕容凌娢才敢放慢速度往宫外走。她不紧不慢，也可以说是闲散的晃悠着，突然听到背后有人在叫自己。“晓白——”“干嘛啊？ 搞事情啊！”慕容凌娢愤怒的回头，如果她手里有板砖的话，一定直接就扔上去了。“没人教过你表随便给人起外号吗？最主要的是如果外号 多到一定程度，我就记不住了！”“并没有。”韩哲轩扬唇一笑，说道“不过老师教过我要见义勇为。”“那好吧，非常非常感谢你救了我。” 慕容凌娢转