2015年北京大学基础数学专业考研（数学科学学院）专业目 录、招生人数、参考书目、历年真题、复试分数线、答题方 法、复习经验指导
一、2014年北京大学基础数学专业考研招生目录
专业 方向
01.代数 02.数论与代数几 何 03.微分几何 04.拓扑 基础数学 (070101) 人数:15 05.调和分析、复 分析 06.几何分析 07.常微分方程 08.动力系统 09.数学物理 10.偏微分方程及 其应用 101 思想 政治理论 201 英语 一、253 法任选一 门 601 数学 基础考试 1 (数学分 析) 801 数学 基础考试 2 (高等代 数、解析 几何) 数学科学学院拟招 收 100 人，其中拟 接收推荐免试生 78 人。招生总数中含 金融与精算学硕士 单列项目 30 人和应 用统计硕士 30 人。
的交线，从 x 轴正向看是逆时针。 9、(15 分)、证明下面的方程在点 (0,0,0) 附近唯一确定了隐函数 z f ( x, y)
x
1 2 1 y z sin z 0 2 2
并将 f ( x, y) 在点 (0,0) 展开为带佩亚诺型余项的泰勒公式，展开到二阶。
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1 1 E )( B E ) ,证明：对任意的 n 维列 110 110
2 向量 ，方程组 A( A A) X A 必有非零解。
5、(13 分)、设 A 是 n 阶正定矩阵，向量组 1 , 2 , , s 满足 iA j 0 ( 1 i j n )。问 向量组 1 , 2 ,, s 的秩可能是多少，证明你的结论。 6、(12 分)、线性变换 A 是对称变换，且 A 是正交变换，证明 A 是某个对合(即满足 A E ，
601数学基础考试1 (数 学分析)
《数学分析》 《数学分析解题指南》
方企勤
上海科学技术出 版社 北京大学出版社
801数学基础考试2 (高 《高等代数简明教程》 等代数、解析几何) 《解析几何》
蓝以中 丘维声
北京大学出版社 北京大学出版社
四、2010年北京大学基础数学专业考研真题
601 数学基础考试 1 (数学分析)


0
xf ( x)dx 与

0
f ( x) dx 均收敛 x


0
x t f ( x)dx 在 (1,1) 上有定义，并且有连续导函数。
其中 为 x xdy ydz zdx ，

2
8、 (15 分)、 计算曲线积分 I
y 2 z 2 1与 x y z 0
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(2)以两条不变直线为坐标轴建立仿射坐标系 X’O’Y’，求在此坐标系中 f 的变换公式。 12、(12 分)、用不过圆锥顶点的平面切割圆锥，证明所截的曲线只可能为椭圆、双曲线和抛 物线。并说明曲线类型随切割角度的变换规律。
1、(13 分)、整系数多项式 f ( x) ⅰ) p | an
a x
k 0 k
n
k
( n 2010 )。若存在素数 p 满足： ⅲ） p | a0
2
ⅱ） p | ai
i 0,1,2,2008
证明 f ( x) 必有次数不低于 2009 的不可约整系数因式。 2、(13 分)、向量组 1 , 2 ,, s 线性无关，且可以由向量组 1 , 2 ,, t 线性表出，证明 必存在某个向量 j ( j 1,2,, t )使得向量组 j , 2 ,, s 线性无关。 3、(12 分)、设 A 是非零矩阵，证明 A 可以写成某个列满秩矩阵与某个行满秩矩阵的乘积。 4、(13 分)、A,B 是 n 阶矩阵，且满足 A ( B
。
10、(12 分)、求直线
x y z 1 绕 z 轴旋转所成旋转曲面的方程，并指出这是什么曲面。 x y z 1 x 3x 2 y y 2 x y
11、(14 分)、定义仿射坐标系 XOY 中的一个变换 f (1)求在 f 下的不变直线。
科目一
科目二
科目三
科目四Βιβλιοθήκη 备注二、基础数学专业考研2014级硕士研究生入学考试复试分数 线
科目 理 学 (07) 政治 50 外语 50 专业一 90 专业二 90 总分 320
三、2015年北京大学基础数学专业考研参考书
科目 书名 作者 出版社
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词的意思，并组织下语言并加以润色，最好是以很学术的方式把它的 内涵表述出来。 【名词解释答题示范】 例如： “行政权力” 。 第一，什么是行政权力（核心意思，尊重课本） 第二，行政权力的几个特征，不必深入解释。 第三，行政权力的 5 点内涵。 具体一点，如， “行政责任” 。 行政责任是指政府及其构成主体行政官员 ( 公务员 ) 因其公权地 位和公职身份而对授权者和法律以及行政法规所承担的责任。 行政责任的特征包括：①行政责任是一种责任；②行政责任是一 种义务；③行政责任是一种任务；④行政责任是一种理论；⑤行政责 任是一种制度；⑥行政 责任是一种监控体系。 【名词解释题答题注意事项】 ： 第一，控制时间作答。由于名词解释一般是第一道题，很多考生 开始做题时 心态十分谨慎，生怕有一点遗漏，造成失分，故而写的十分详细，把 名词解释写成了简答或者论述，造成后面答题时间紧张，专业课老师 提示，要严格控制在 5 分钟以内。 第二，在回答名词解释的时候以 150-200 字为佳。如果是 A4 的纸，以 5-8 行为佳。
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第二，在回答的时候字数一般在 600-800 为佳，时间为 15-20 分钟。通常字数应该是本题分值的至少 30 倍，即， 1 分至少 30 个字。 第三，如果课本没有明确答案，那你也不能拍脑门乱写，好的策 略是向课本靠拢， 将相关的你能够想到的内容往 4×150 里套就行了。 关键在于有条理又能自圆其说，你如果能结构清晰、条分缕析的把题 答完，你肯定可以得满分。 （四）论述题答题方法 【考研名师答题方法点拨】 论述题属于中等偏上难度的题目，分值往往也比较大，考察对学 科整体的把握和对知识点的灵活运用， 进而运用理论知识来解决现实 问题的能力。但是，如果我们能够洞悉论述题的本质，其实回答起来 还是非常简单的。论述题，从本质上看，是考察对多个知识点的综合 运用能力。因此答案的组织往往是横贯全书，跨章节的。 这就要求我们必须对课本的整体框架和参考书的作者的写书的 内部逻辑。这一点是重点，特别是对于跨专业的考生来说，要做到这 一点，难度非常大，同时也很必要。 考研论述题答题攻略：论述题“3w 答题法” ，即 what，why，how。 是什么，为什么，怎么办。答题结构上“总—分—总” ，开头要阐述 背景，解释相关的名词，最后要做总结，还是那句话，不要给人留下 突兀的感觉。
1、(15 分)、用有限覆盖定理证明聚点定理。 2、(15 分)、是否存在数列{ xn }，其极限点构成的集合为 M={ 1 ， 由。 3、(15 分)、设 I 是无穷区间， f ( x) 为 I 上的非多项式连续函数。证明：不存在 I 上一致收 敛的多项式序列{ Pn ( x) }，其极限函数为 f ( x) 。 4、(15 分)、 f ( x) 在[0,1]上连续，在(0,1)可导，且满足 f (1) 在 (0,1) 使得 f ( ) 2f ( ) 。 5、(15 分)、 f ( x) C ( R) ，I 是有界闭区间， Fn ( x) n[ f ( x ) f ( x)] ，证明函数序列
10、 (15 分)、 f ( x), g ( x) 是 [0,) 上的非负单调递减连续函数， 且 均发散，设 h( x) min{ f ( x), g ( x)} ，试问


0
f ( x)dx 和 g ( x)dx
0



0
h( x)dx 是否一定发散？说明理由。
801 数学基础考试 2 (高等代数、解析几何)
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简答题难度中等偏下， 主要是考察考生对于参考书的重要知识点 的记忆和背诵程度。往往是“点对点”的考察。一般不需要跨章节组 织答案。因此，只要大家讲究记忆方法，善于记忆，记忆 5-7 遍，就 可以保证这道题目基本满分。 简答题采用“定义+框架+总结”答题法。 首先把题干中涉及到的最重要的名词(也叫大概念)进行阐述， 就像解答名词解释一样。这一环节不能省略，否则无意中丢失很多的 分数，这是很多考生容易忽视的一点。 读懂题意，列要点进行回答。回答要点一般 3-5 点，每条 150-200 字。 进行简单的总结，总结多为简单评析或引申。 【答题示范】 ： 例如“简答公共财政的职能。 ” 第一，公共财政的定义。(不能缺少) 第二，公共财政的 3 大职能。(主体部分) 第三，总结评析。 【简答题答题注意事项】 ： 第一，在回答简答题的时候，要采取“总-分-总”答题结构。即 在回答要点 之前进行核心名词含义的阐释，最后写几句起总结的话，这样不会给 人一种太突兀的感觉。
2
E 是单位变换)
7、(12 分)、V 是内积空间， , 是 V 中两个长度相等的向量，证明必存在某个正交变换， 将 变到 。 8、(12 分)、A 是复矩阵，B 是幂零矩阵，且 AB=BA，证明|A+2010B|=|A|。 9、(11 分)、求过 z 轴且与平面 x 2 y 3z 1 夹角为 60 的平面的方程。
1
1 1 ， ，……}，说明理 2 3
1 1/ 2 1 x2 e f ( x)dx 。求证：存 2 0
1 n
{Fn ( x)} 在 I 上一致收敛。如果 I 是有界开区间，问 {Fn ( x)} 在 I 上是否仍然一致收敛？说明