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2019-2020年高三1月月考数学试题word版含答案

2019-2020年高三1月月考数学试题word 版含答案xx.1一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.1. 设集合M ={x |x +3x -2<0},N ={x |(x -1)(x -3)<0},则集合M ∩N =________.2. 复数z 1=a +2i ,z 2=-2+i ,如果|z 1|<|z 2|,则实数a 的取值范围是_______.3. 某公司生产三种型号A 、B 、C 的轿车,月产量分别为1200、6000、xx 辆.为检验该公司的产品 质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验, 则型号A 的轿车应抽取________辆. 4. 有红心1、2、3和黑桃4、5共5张扑克牌,现从中随机抽取一张,则抽到的牌为红心的 概率是__________.5. 右图是一个算法的流程图,则输出S 的值是________.6. 设{a n }是等比数列,则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的_________条件.7. 取正方体的六个表面的中心,这六个点所构成的几何体的体积记为V 1,该正方体的体积为V 2,则V 1∶V 2=________.8. 如图,在△ABC 中,∠BAC =120º,AB =AC =2,D 为BC 边上的点,且→AD ·→BC =0,→CE =2→EB , 则→AD ·→AE =_______.9. 对任意的实数b ,直线y =-x +b 都不是曲线y =x 3-3ax 的切线,则实数的取值范围是________. 10. 如图,已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的右焦点F ,且两条曲线的交点连线也过焦点F , 则该椭圆的离心率为 .11. 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧lg x (0<x ≤10)|6-12x | (x >10),若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ), 则a +b +c 的取值范围为 .12. 若函数f (x )=sin(ωπx -π4)(ω>0)在区间(-1,0)上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴,则ω的最大值是___________.ABCDE13. 若实数a ,b ,c 成等差数列,点P (-1,0)在动直线ax +by +c =0上的射影为M ,点N (3,3),则线段MN 长度的最大值是__________.14. 定义:若函数f (x )为定义域D 上的单调函数,且存在区间(m ,n )⊆D (m <n ),使得当x ∈(m ,n )时,f (x )的取值范围恰为(m ,n ),则称函数f (x )是D 上的“正函数”. 已知函数f (x )=a x (a >1)为R 上的“正函数”,则实数a 的取值范围是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在△ABC 中,A 、B 、C 为三个内角,f (B )=4sin B ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4-B 2+cos2B .(Ⅰ)若f (B )=2,求角B ;(Ⅱ)若f (B )-m <2恒成立,求实数m 的取值范围.16. 正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE 所在的平面交于CD ,且AE ⊥平面CDE .(1)求证:AB ∥平面CDE ; (2)求证:平面ABCD ⊥平面ADE .17. 如图,某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线l 1、l 2的距离分别为4米、8米,河岸线l 1与该养殖区的最近点D 的距离为1米,l 2与该养殖区的最近点B 的距离为2米.(1)如图甲,养殖区在投食点A 的右侧,若该小组测得∠BAD =60º,请据此算出养殖区的面积S ,并求出直线AD 与直线l 1所成角的正切值;(2)如图乙,养殖区在投食点A 的两侧,试求养殖区面积S 的最小值,并求出取得最小值时∠BAD 的余弦值.18. 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(0,3),离心率为12,经过椭圆C 的右焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点,点A 、F 、B 在直线x =4上的射影依次为D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 交y 轴于点M ,且→MA =λ→AF ,→MB =μ→BF ,当直线l 的倾斜角变化时,探究λ+μ是否为定值?若是,求出λ+μ的值;若不是,说明理由;(3)连接AE 、BD ,试探索当直线l 的倾斜角变化时,直线AE 与BD 是否相交于一定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.(图甲) (图乙)1l 1l 2l 2l AABBCCDD19. 设数列{a n }的各项都是正数,且对任意n ∈N *,都有a 31+a 32+a 33+···+a 3n =(a 1+a 2+a 3+···+a n )2.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =3n +(-1)n −1·λ·2an (λ为非零常数,n ∈N *),问是否存在整数λ,使得对任意n ∈N *,都有b n +1>b n .20. 已知函数f (x )=mxx 2+n(m ,n ∈R )在x =1处取到极值2.(1)求f (x )的解析式;(2)设函数g (x )=ax -ln x ,若对任意的x 1∈[12, 2],总存在唯一的...x 2∈[1e 2, e ](e 为自然对数的底),使得g (x 2)=f (x 1),求实数a 的取值范围.附加题1. 已知矩阵M =⎣⎡⎦⎤1a b 1,N =⎣⎡⎦⎤c 20d ,且MN =⎣⎢⎡⎦⎥⎤20-20,(Ⅰ)求实数a ,b ,c ,d 的值;(Ⅱ)求直线y =3x 在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程.2. 在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =2+2t y =1-t(t 为参数),椭圆C 的方程为x 24+y 2=1,试在椭圆C 上求一点P ,使得P 到直线l 的距离最小.3. 如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,底面是等腰直角三角形,AB =BC =2,BB 1=3,D 为A 1C 1的中点,F 在线段AA 1上.(1)AF 为何值时,CF ⊥平面B 1DF ?(2)设AF =1,求平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.AC 1 B 1 A F 班级___________ 学号________ 姓名_____________………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………4. 一种抛硬币游戏的规则是:抛掷一枚硬币,每次正面向上得1分,反面向上得2分.(1)设抛掷5次的得分为X ,求变量X 的分布列和数学期望E (X ); (2)求恰好得到n (n ∈N *)分的概率.高三数学试卷参考答案xx.11、(1,2)2、(-1,1)3、64、355、636、充要 7、168、19、(-∞,13)10、2-1 11、(25,34)12、5413、5+ 2 14、(1, e 1e)15、解:(Ⅰ) f (B )=4sin B cos 2(π4-B2)+cos2B =2sin B (1+sin B )+1―2sin 2B =2sin B +1=2∴sin B =12 又∵0<B <π ∴B =π6或5π6.(Ⅱ) ∵f (B )-m <2恒成立∴2sin B +1-m <2恒成立 ∴2sin B <1+m ∵0<B <π,∴2sin B 的最大值为2,∴1+m >2 ∴m >1. 16、证明:(1)正方形ABCD 中,, 又平面CDE ,平面CDE ,所以平面CDE . (2)因为,且, 所以, 又且,, 所以, 又, 所以.17、解:(1)设与所成夹角为,则与所成夹角为,对菱形的边长“算两次”得, 解得, 所以,养殖区的面积()()22231sin 6091sin 6042 3 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=;(5分) (2)设与所成夹角为,, 则与所成夹角为 , 对菱形的边长“算两次”得,解得, 所以,养殖区的面积, 由得,【要修改为:列表求最值】经检验得,当时,养殖区的面积. 答:(1)养殖区的面积为;(2)养殖区的最小面积为.(15分)18、解:(1)x 24+y 23=1(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (0,y 0)∵→MA = →AF ∴(x 1,y 1-y 0)= (1-x 1,-y 1) ∴ =x 11-x 1,同理, =x 21-x 2∴ + =x 11-x 1+x 21-x 2=x 1+x 2-2x 1x 2x 1x 2-x 1-x 2+1∵⎩⎨⎧l :y =k (x -1)3x 2+4y 2-12=0∴(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0,∴x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3∴x 1+x 2-2x 1x 2=8k 24k 2+3-2×4k 2-124k 2+3=244k 2+3,x 1x 2-x 1-x 2+1=4k 2-124k 2+3-8k 24k 2+3+1=-94k 2+3∴ + =-249=-83(3)当l ⊥x 轴时,易得AE 与BD 的交点为FK 的中点(52,0)下面证明:BD 过定点P (52,0)B 、D 、P 共线⇔k BP =k DP ⇔y 14-52=y 2x 2-52⇔32y 2=x 2y 1-52y 1⇔3y 2=2x 2y 11⇔3k (x 2-1)=2x 2k (x 1-1)-5k (x 1-1)⇔2kx 1x 2-5k (x 1+x 2)+8k =0⇔2k ·4k 2-124k 2+3-5k ·8k 24k 2+3+8k =0⇔2k (4k 2-12)-40k 3+8k (4k 2+3)=0成立.得证.同理,AE 过定点P (52,0),∴直线AE 与BD 相交于一定点(52,0).【注】:书写可证明:k BP -k DP =···-···=·······,证明值为0. 19、证明:(1)在已知式中, 当n =1时, a 31=a 21∵a 1>0∴a 1=1当n ≥2时, a 31+a 32+a 33+···+a 3n =(a 1+a 2+···+a n )2···········① a 31+a 32+a 33+···+a 3n -1=(a 1+a 2+···+a n -1)2(n ≥2)········② 由①-②得, a 3n =a n [2(a 1+a 2+···+a n -1)+a n ] (n ≥2) ∵a n >0 ∴a 2n =2(a 1+a 2+···+a n -1)+a n (n ≥2) ········③ a 2n -1=2(a 1+a 2+···+a n -2)+a n -1(n ≥3) ········④ ③-④得, a 2n -a 2n -1=2a n -1+a n -a n -1=a n -1+a n (n ≥3) ∵a n -1+a n >0, ∴a n -a n -1=1(n ≥3),∵a 1=1,a 2=2∴a 2-a 1=1∴a n -a n -1=1(n ≥2) ∴数列{a n }是等差数列,首项为1,公差为1, 可得a n =n (2) ∵a n =n , ∴b n =3n +(-1)n −1 ·2n∴b n +1-b n =3n +1+(-1)n ·2n +1-[3n +(-1)n −1 ·2n ]=2·3n -3 (-1)n −1·2n >0 ∴ (-1)n −1<(32)n −1········⑤当n =2k -1,k =1,2,3,···时, ⑤式即为 <(32)2k −2········⑥依题意, ⑥式对k =1,2,3,···都成立, ∴ <1当n =2k ,k =1,2,3,···时, ⑤式即为 >-(32)2k −1·········⑦依题意, ⑦式对k =1,2,3,···都成立 ∴ >-32∴-32< <1又 ≠0, ∴存在整数 =-1, 使得对任意n ∈N *, 都有b n +1>b n .20、解: (1)∵f '(x )=m (x 2+n )-2mx 2(x 2+n )2=-mx 2+mn(x 2+n )2∵由f (x )在x =1处取到极值2,∴⎩⎨⎧f '(1)=0f (1)=2∴-m +mn (1+n )2=0,m 1+n =2,∴⎩⎨⎧m =4n =1,经检验,此时f (x )在x =1处取得极值,故f (x )=4x x 2+1(2)记f (x )在[12,2]上的值域为A ,函数g (x )在[1e 2,e ]上的值域为B ,由(1)知:f '(x )=-4x 2+4(x 2+1)2=-4(x -1)(x +1)(x 2+1)2∴f (x )在[12,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减,由f (1)=2,f (2)=f (12)=85,故f (x )的值域A =[85,2]依题意g '(x )=a -1x ∵x ∈[1e 2,e ] ∴1e ≤1x≤e 2①当a ≤1e 时,g '(x )≤0 ∴g (x )在[1e 2,e ]上递减 ∴B =[g (e ),g (1e2)],由题意得:[85,2]⊆B .∵g (e )=ae -1,g (1e 2)=a 1e2+2,∴⎩⎨⎧g (e )=ae -1≤85g (1e 2)=a 1e2+2≥2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤135e a ≥0 ∵135e >1e ∴0≤a ≤1e ②当1e <a <e 2时,e >1a >1e 2 ∴当x ∈[1e 2,1a )时,g '(x )<0;当x ∈(1a,e ]时,g '(x )>0;∵对任意的y 1∈[85,2],总存在唯一的...x 2∈[1e 2,e ],使得g (x 2)=y 1 ∵g (e )-g (1e 2)=ae -a 1e 2-3=a (e -1e2)-3∴当3e 2e 3-1<a <e 2时,g (e )>g (1e 2),∴⎩⎪⎨⎪⎧g (1e 2)≤85g (e )≥2∴⎩⎨⎧a ≥3e a ≤-25e2 无解 当1e <a <3e 2e 3-1时,g (e )<g (1e 2) ∴⎩⎨⎧g (e )=ae -1≤85g (1e 2)=a 1e2+2≥2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤135e a ≥0 ∵135e <3e 2e 3-1 ∴1e <a <135e当a =3e 2e 3-1时,g (e )=g (1e 2)不成立;③当a ≥e 2时,1a <1e 2 ∴g '(x )>0 ∴g (x )在[1e 2,e ]上递增 ∴B =[g (1e2), g (e )]∵[85,2]⊆B ∴g (e )≥2,g (1e 2)≤85 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ea -1≥2a e 2+2≤85 ∴⎩⎨⎧a ≥3e a ≤-25e2 无解 综上,0≤a <135e附加题1、解:(Ⅰ)由题设,⎣⎡⎦⎤1a b 1⎣⎡⎦⎤c 20d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤20-20得⎩⎨⎧c =22+ad =0bc =-22b +d =0,解得⎩⎨⎧a =-1b =-1c =2d =2; (Ⅱ)取直线y =3x 上的两点(0,0)、(1,3),由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-1-11⎣⎡⎦⎤00=⎣⎡⎦⎤00,⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-1-11⎣⎡⎦⎤13=⎣⎢⎡⎦⎥⎤-22得:点(0,0)、(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换下的像是(0,0),(-2,2),从而直线y =3x 在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程为y =-x .2、解:直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =2+2ty =1-t(t 为参数)∴x +2y =4设P (2cos θ,sin θ)∴P 到l 的距离为d =|2cos θ+2sin θ-4|5=|22sin(θ+ π4)-4|5≥|22-4|5=4-225当且仅当sin(θ+ π 4)=1,即θ=2kπ+ π 4时等号成立.此时,sin θ=cos θ=22∴P (2,22)3、解:(1)因为直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,BB 1⊥面ABC ,∠ABC = π2.以B 点为原点,BA 、BC 、BB 1分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系. 因为AC =2,∠ABC =90º,所以AB =BC =2,(2,0,0)从而B (0,0,0),A (2,0,0),C (0,2,0),B 1(0,0,3),A 1 A (2,0,3),C 1(0,2,3),D (22,22,3),E (0,22,32).所以→CA 1=(2,-2,3),设AF =x ,则F (2,0,x ), →CF =(2,-2,x ),→B 1F =(2,0,x -3) ,→B 1D =(22,22,0)∴→CF ·→B 1D =···=0,所以→CF ⊥→B 1D 要使CF ⊥平面B 1DF ,只需CF ⊥B 1F .由→CF ·→B 1F =2+x (x -3)=0,得x =1或x =2, 故当AF =1或2时,CF ⊥平面B 1DF .(2)由(1)知平面ABC 的法向量为m =(0,0,1). 设平面B 1CF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·→CF =0n ·→B 1F =0得⎩⎪⎨⎪⎧2x -2y +z =02x -2z =0令z =1得n =(2,322,1),所以平面B 1CF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值cos4、解:(1)所抛5次得分ξ的概率为P (ξ=i )=C i -55·(12)5(i =5,6,7,8,9,10),其分布列如下:∴ E ξ=152(2)令P n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n -1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1-P n ,“恰好得到n -1分”的概率是P n -1, 因为“掷一次出现反面”的概率是12,所以有1-P n =12P n -1,即P n -23=-12( P n -1-23).于是{P n -23}是以P 1-23=12-23=-16为首项,以-12为公比的等比数列.所以P n -23=-16(-12)n −1,即P n =13[2+(-12)n ]. 答:恰好得到n 分的概率是13[2+(-12)n ].。

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