北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解第一章集合与函数概念知识架构第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互界性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图;3.集合中元素与集合的关系：二：集合间的基本关系三：集合的基本运算①两个集合的交集:Ap|B= {x\xe A^xe B];②两个集合的并集：AUB = {x|xe Mxe B）；③设全集是U,集合A^U f^\C u A={x\xe t/且兀电A]方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。
重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特別注意集合屮元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2.集合的表示法(1)列举法要注意元素的三个特性；(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{x|y = /(%)}> {y］y ={(x,y)|y = /(x)}等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合看+召= l},N = {y|扌+* = 1},则McN二( )A.①；B. {(3,0), (0,2)}；C. ［-3,3］；D. {3,2}2 2［错解］误以为集合M表示椭圆—+ ^- = 1,集合W表示直线-4-^ = 1,由于这直9 4 3 2线过椭圆的两个顶点，于是错选B［正解］C；显然M = {x|-3<x<3}, N = R,故MC\N =［-3,3］(3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。
3.集合间的关系的几个重要结论(1)空集是任何集合的子集，即(2)任何集合都是它本身的子集，即Ac A(3)子集、真子集都有传递性，即若Acfi, BuC ,则AcC4.集合的运算性质(1)交集：①= ② API A = A；③ 4介0 = 0；④ AQ B c A , ApBc B⑤AC\B = A^ A Q B；(2)并集：① AUB=BUA;② A\JA = A；③ A\J(/)= A；④ A\JB^A, A\J B B ⑤ A\JB = A^ B Q A；(3)交、并、补集的关系①AP\C U A=(P；②C U(AP\B) = © A) U © B) ；C〃(A U B) = (C u A) A © B)★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征［例1］（2008年江西理）定义集合运算：A*3 = {z| z = E，兀w 3}・设A = {l,2},B = {0,2},则集合A*B的所有元素之和为（）A. 0；B. 2；C. 3；D. 6［解题思路］根据A^B的定义，让兀在A屮逐一取值，让y在B屮逐一取值，兀y在值就是A * B 的元素［解析］:正确解答本题，必需清楚集合A^B中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知={0,2,4},故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点, 这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。
题型2：集合间的基本关系［例2］.数集X ={（27?+1X/?G Z}与丫 = {（4£±1）龙,£丘乙}2的关系是（）A. xiy ；B. yix ； c. x =Y； D.X［解题思路］可有两种思路：一是将x和y的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。
［解析］从题意看，数集x与丫之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义, 逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。
［新题导练］1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合2{参加北京奥运会比赛的运动员},集合扫{参加北京奥运会比赛的男运动员},集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是（）A. A<^BB. BcCC. AC\B = CD. B\JC = A［解析］D；因为全集为A,而BUC二全集二A2 . （2006 •山东改编）定义集合运算：A®B = {z| =巧+兀〉，2,辭册，设集合A = {1,0}, B = {2,3},则集合A®B的所有元素之和为 ________________________［解析］18,根据A®B的定义，得到A0B = {0,6,12},故A®B的所有元素之和为183. (2007-湖北改编)设P和Q是两个集合，定义集合P-Q = {x\xe如果P = ［x|log3 x<l}, Q = {兀|彳 < 1},那么P-Q等于 ________［解析］{x|l<x<3}；因为P = {x|log3x<l}=(0,3)，2 = {^|%|<1}=(-1,1),所以P-<2 = (1,3)4•研究集合A = {^y = x2-4］, B = {y\y = x2-4\f C = {(x,y)|y = x2间的关系［解析］A与C, B与C都无包含关系，而B^A；因为A = {^\y = x2-4］表示y = x2 - 4的定义域，故A = R : B = {y］y = x2-4}表示函数y = %2 - 4的值域，B =［-4,+oo): C = ^x,y)\y = x2-4}表示曲线 ^ = x2-4 上的点集，可见，而A 与C, 3与C都无包含关系考点二：集合的基本运算［例3］设集合A={4『_3X +2= O},B = {^x2 + 2(a + l)x + (a2 -5) = o}(1)若AQB = {2},求实数G的值；(2)若AUB二A,求实数d的取值范围若A^B = \2},［解题思路］对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。
［解析］因为A =卜卜2-3x + 2 = 0}= {1,2},(1)由AQB = {2}知,2G B,从而得224-4(^+1)+(6Z2-5)=O,即a2 + + 3 = 0,解得Q =-1或。
=一3当a = -\时，B - {x|x2 - 4 = o}= |_2,-2j,满足条件；当。
=一3时，〃 ={加2_4兀+ 4二0}={2},满足条件所以Q = -1或G = -3(2)对于集合B,由△ = 4(a + l)2_4(a2_5) = 8(d + 3)因为AUB = A,所以BeA①当△<(),即a<-3时，B =(p,满足条件；②当△ = (),即a = —3时，3 = {2},满足条件；③当△>(),即a>—3时，B = A = {\,2}才能满足条件,［1 + 2 = —2(ci +1) a =—由根与系数的关系得彳/ n 2,矛盾1X2=672-5 2 ra =7-故实数Q的取值范圉是aS-3【名师指引】对于比较抽彖的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。
同时，要注意集合的子集要考虑空与不空，不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.［新题导练］6.若集合5={>{y = 3\x€ /?}, T = {y\y = x2-\.xE /?},则SAT 是()A. S；B. T :C. 0 ；D.有限集［解析］A；由题意知，集合S = {)卜=3”,兀丘/?}表示函数J =3\XG R的值域，故集合S = (0,+oo): T = {)jy = x2-1,XG /?}表示函数y = F -15XG /?的值域，T = ［-l,+oo),故SC\T = S7.已知集合M ={(%, j)|x+y = 2}, N = {(%, J)|x-J = 4},那么集合M r\N为( )A. x = 3, y = —1 ；B. (3,-1) ；C. {3,—1}；D. {(3,-1)}［解析］D；M^N表示直线x+y = 2与直线x-y = 4的交点组成的集合，A、B、C均不合题意。
& 集合A = {x| ^-1 = 0}, B = {%| x2 -3% + 2 = 0j,且= 3，求实数a的值.［解析］0,1,*；先化简B 得，B = {1,2}.由于= AcB,故IwA 或2w A ・因此a -1 = 0 或2a —1 = 0，解得a = 1 或a =—.2容易漏掉的一种情况是：A = 0的情形，此时a = 0.故所求实数a的值为0,1,|・备选例题仁已知M={yy = x + 1}, N = {(x, y) x2 + y2 = 1},则M C\N中的元素个数是( )A. 0；B. 1；C.2；D.无穷多个［解析］选A；集合M表示函数y = x + \的值域，是数集，并且M = R，而集合N表示满足/+)' = 1的有序实数对的集合，即表示圆/ + y2 =1上的点，是点集。
所以，集合耐与集合N中的元素均不相同，因而MRN = e，故其中元素的个数为0 ［误区分析］在解答过程中易出现直线y = x +1与圆/ + y2= 1有两个交点误选C；或者误认为y = x + l + R,而兀2+),2二1屮一15),51,从而M"N = ［—1,1］有无穷多个解而选Do注意，明确集合屮元素的属性(是点集还是数集)是准确进行有关集合运算的前提和关键。
备选例题2：已知集合A和集合B各有12个元素，AC\B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：(I)C呈AUB,且C中含有3个元素；(II)CAA^^ (0农示空集)［解法一］因为A、3各有12个元素，A^B含有4个元素，因此，A\JB的元素个数是12 + 12-4 = 20 故满足条件(I )的集合C的个数是C；o 上面集合中，述满足= 0的集合C的个数是C；因此所求集合C的个数是C；°-C；=1084［解法二］市题目条件可知，属于B而不属于A的元素个数是12 — 4 = 8 因此，在ADB屮只含有A屮1个元素的所要求的集合C的个数为C\2Cl 含有A屮2个元素的所要求的集合C的个数为C$C；含有A屮3个元素的所要求的集合C的个数为所以，所求集合C的个数是C；2C：+G；C；+G； =1084★抢分频道基础巩固训练：1.(09年吴川市川西中学09届第四次月考)设全集［/=R?A={X|X(X +3)<0},B={X|X<-1},则右图中阴影部分表示的集合为()A. {兀卜>0}；B. {x\-3 < x< 0} ；C. {x|-3<x<-l} ；D. -1］［解析］C；图中阴影部分表示的集合是而4 =忖一3<兀v0},故AC|B = {x-3<x< -1}2.(韶关09 届高三摸底考)已知A = {x|x(l-x)>0},B = {x|log2x<0}则A\jB =A. (0,1)；B. (0,2)；C. (-8,0)；D. (-oo,0)U(0,+oo)［解析］A；因为A = {x|0<x<l}, B = {斗Ovxvl},所以AUB = {x|0<x<l}3.(苏州09届高三调研考)集合{-1,0,1}的所有子集个数为______________［解析］8：集合{-1,0,1}的所有子集个数为23 =84.(09年无锡市高三第一次月考)集合4中的代表元素设为兀，集合B中的代表元素设为y, [解析]B^A或由子集和交集的定义即可得到结论5.(2008 年天津)设集合S 二&| 卜—2|>3},T={X|GVXVG +8},SUT=/?，则d 的取值范围是( )A. -3 < 67 < -1 ;B. -3 < 67 < -1C. aW-3或口》-1；D. GV-3或。