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运动变化型问题专题复习
【考点导航】
运动变化题是指以三角形、四边形、圆等几何图形为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量
关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行考察研究的一类问题，这类试题信息量大，题目
灵活多变，有较强的选拔功能，是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题的面目出现．解决此类问
题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住变化过程中的特殊情形，
建立方程、不等式、函数模型．
【答题锦囊】
例1 如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单
位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出
发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△
PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的
哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．
例２如图2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=900，AB=6，AD=4，DC=3，动点从点出发，沿
P A
A→D→C→B方向移动，动点从点出发，在边上移动．设点移动的路程为，点移动的路程为，
Q A AB P x Q y
线段PQ平分梯形ABCD的周长．
（1）求与的函数关系式，并求出的取值范围；
y x x y
，
（2）当PQ∥AC时，求的值；
x y
，
（3）当不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积？若能，求出此时的值；若不能，说明理
P x
由．
图1
P
Ａ
C
D
Q
P
Ｂ
图2
e i n
g a
在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与轴相交于点A ，与轴相交于点B .
x y (1)点P 在运动时，线段AB 的长度也在发生变化，请写出线段AB 长度的最小值，并说明理由；
(2)在⊙O 上是否存在一点Q ，使得以Q 、O 、A 、P 为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
例４
如图7①，一张三角形纸片ABC ，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成
1122112始终在同一直线上）
，当点于点B 重合时，停止平移.在平移过程中，与交于点E,与12,,,A D D B 1D 11C D 2BC 1AC 分别交于点F 、P.
222C D BC 、⑴当平移到如图7③所示的位置时，猜想图中的与的数量关系，并证明你的猜想；11AC D ∆1D E 2D F ⑵设平移距离为，与重叠部分面积为，请写出与的函数关系式，以及自变
21D D x 11AC D ∆22BC D ∆y y x 量的取值范围；
⑶对于（2）中的结论是否存在这样的的值，使重叠部分的面积等于原面积的
.若存在，求x 的x ABC ∆1
4
值；若不存在，请说明理由.
1
2
2
③
C
B D
A
①
C 2
D 2
C 1B
D 1A
②
图7
⒈如图8①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和EFG 叠放在一起（点A 与点E 重合），已知AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∠C＝90°，EG ＝4cm ， ∠EGF＝90°，O 是△EFG 斜边上的中点．
如图8②，若整个△EFG 从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 方向平移，在△EFG 平移的同时，点P 从△EFG 的顶点G 出发，以1cm/s 的速度在直角边GF 上向点F 运动，当点P 到达点F 时，点P 停止运动，△EFG 也随之停止平移．设运动时间为x （s ），FG 的延长线交 AC 于H ，四边形OAHP 的面积为y （cm 2)（不考虑点P 与G 、F 重合的情况）．
（1）当x 为何值时，OP∥AC ?
（2）求y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．
（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）
2
方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ//x 轴交直线BC 于点Q ，以PQ 为一边向下作正方形PQMN ，设它与ΔOAB 重叠部分的面积为S ．
（1）求点A 的坐标．
（2）试求出点P 在线段OA 上运动时，S 与运动时间t （秒）的关系式．
（3）在（2）的条件下，S 是否有最大值？若有，求出t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由．
（4）若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN 和ΔOAB 重叠部分面积最大时，运动时间t 满足的条件是__________
．
图8
图9
一动点,过点C 作CD ⊥轴于点D .x (1)求直线AB 的解析式;
(2)若S 梯形OBCD ,求点C 的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
过点作，交于点．设的高为，以为折线将翻折，所D DE BC ∥AC E ADE △AF (06)x x <<DE ADE △得的与梯形重叠部分的面积记为（点关于的对称点落在所在的直线上）．A DE '△DBCE y A DE A 'AH （1）分别求出当与时，与的函数关系式；03x <≤36x <<y x （2）当取何值时，的值最大？最大值是多少？
x y 图10
A
B
H
图11
P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动．过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ，连结EQ ．设动点运动时间为x 秒．（1）用含x 的代数式表示AE 、DE 的长度；
（2）当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设的面积为，求与月份的函数关系式，EDQ ∆2
()y cm y x 并写出自变量的取值范围；
x （3）当为何值时，为直角三角形．
x EDQ ∆段上从点向点
个单位的速度运动，设运动时间为秒．在轴上取两点作等边
AB A B t x M N ，．
PMN △（1）求直线的解析式；
AB （2）求等边的边长（用的代数式表示），并求出当等边的顶点运动到与原点重合PMN △t PMN △M O 时的值；
t （3）如果取的中点，以为边在内部作如图14所示的矩形，点在线段OB D OD Rt AOB △ODCE C 上．设等边和矩形重叠部分的面积为，请求出当秒时与的函数关系式，AB PMN △ODCE S 02t ≤≤S t 并求出的最大值．
S
图12
.
⒎如图15，已知中，，．过点作，且，连接交
Rt ABC △30CAB ∠=
5BC =A AE AB ⊥15AE =BE 于点．
AC P （1）求的长；
PA （2）以点为圆心，为半径作⊙A，试判断与⊙A 是否相切，并说明理由；
A AP BE （3）如图16，过点作，垂足为．以点为圆心，为半径作⊙A；以点为圆心，为半C CD AE ⊥D A r C R 径作⊙C．若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切，且使点在⊙A 的内部，点在r R D
B ⊙A 的外部，求和的变化范围．
r R 8.已知抛物线，经过点A （0，5）和点B （3，2）
c bx ax y 2++=（1）求抛物线的解析式；
（2）现有一半径为1，圆心P 在抛物线上运动的动圆，问⊙P 在运动过程中，是否存在⊙P 与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若⊙Q 的半径为r ，点Q 在抛物线上、⊙Q 与两坐轴都相切时求半径r 的值.
⒐如图17，在平面直角坐标系中，点P 从点A 开始沿x 轴向点O 以1cm ／s 的速度移动，点Q 从点O 开始沿
y 轴向点B 以2cm ／s 的速度移动，且OA=6cm ，OB=12cm.如果P ，Q 分别从A ，O 同时出发
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图15图16
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⑴设△POQ的面积等于y,运动时间为x，写出y与x之间的函数关系，并求出面积的最大值；
⑵几秒后△POQ与△AOB相似；
⑶几秒后以PQ为直径的圆与直线AB相切.
⒑如图18，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8cm，CD＝2cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动(P、Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止)．设P、Q同时出发并运动了t秒．
(1)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
(2)试问是否存在这样的t，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半?若存在，求出这样的t的值，若不存在，请说明理由。

图17
图18。