第三章 流体静力学【3-2】 图3-35所示为一直煤气管，为求管中静止煤气的密度，在高度差H =20m 的两个截面装U 形管测压计，内装水。

已知管外空气的密度ρa =1.28kg/m3，测压计读数h 1=100mm ，h 2=115mm 。

与水相比，U 形管中气柱的影响可以忽略。

求管内煤气的密度。

图3-35 习题3-2示意图【解】 1air 1O H 1gas 2p gh p +=ρ 2air 2O H 2gas 2p gh p +=ρ2gas gas 1gas p gH p +=ρ 2air air 1air p gH p +=ρ2gas gas 1air 1O H 2p gH p gh +=+ρρgH gh p p air 2O H 1air 2gas 2ρρ-=-gH gh gH gh air 2O H gas 1O H 22ρρρρ-+=H H h h gas air 2O H 1O H 22ρρρρ=+-()3air 21OH gas kg/m 53.028.120115.01.010002=+-⨯=+-=ρρρH h h 【3-10】 试按复式水银测压计（图3-43）的读数算出锅炉中水面上蒸汽的绝对压强p 。

已知：H =3m ，h 1=1.4m ，h 2=2.5m ，h 3=1.2m ，h 4=2.3m ，水银的密度ρHg =13600kg/m 3。

图3-43 习题3-10示意图【解】 ()p h H g p +-=1O H 12ρ ()212Hg 1p h h g p +-=ρ()232O H 32p h h g p +-=ρ ()a 34Hg 3p h h g p +-=ρ()()212Hg 1O H 2p h h g p h H g +-=+-ρρ()()a 34Hg 232O H 2p h h g p h h g +-=+-ρρ()()a 3412Hg 321O H 2p h h h h g p h h h H g +-+-=+-+-ρρ()()()()()Pa 14.3663101013252.15.24.13807.910004.15.22.13.2807.913600a321O H 1234Hg 2=+-+-⨯⨯--+-⨯⨯=+-+---+-=p h h h H g h h h h g p ρρ ()()()()()Pa 366300.6831013252.15.24.1380665.910004.15.22.13.280665.913600a321O H 1234Hg 2=+-+-⨯⨯--+-⨯⨯=+-+---+-=p h h h H g h h h h g p ρρ【3-15】 图3-48所示为一等加速向下运动的盛水容器，水深h =2m ，加速度a =4.9m/s 2。

试确定：（1）容器底部的流体绝对静压强；（2）加速度为何值时容器底部所受压强为大气压强？（3）加速度为何值时容器底部的绝对静压强等于零？图3-48 习题3-15示意图【解】 0=x f ，0=y f ，g a f z -= 压强差公式 ()z f y f x f p z y x d d d d ++=ρ()()z g a z f y f x f p z y x d d d d d -=++=ρρ()⎰⎰--=hpp z g a p ad d ρ()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=----=-g a gh a g h g a h g a p p a 10ρρρρ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=g a gh p p a 1ρ()a g h p p a -=-ρhp p g a aρ--= （1） ()()()Pa 111138.39.480665.921000101325=-⨯⨯+=-+=a g h p p a ρ（2） ()2s m 80665.9==--=--=g hp p g h p p g a aa a ρρ （3） ()2s m 60.4691521000101325080665.9=⨯--=--=h p p g a a ρ 【3-16】 图3-49所示为一圆柱形容器，直径d =300mm ，高H =500mm ，容器内装水，水深h 1=300mm ，使容器绕铅直轴作等角速旋转。

（1）试确定水正好不溢出时的转速n 1；（2）求刚好露出容器底面时的转速n 2；这时容器停止旋转，水静止后的深度h 2等于多少？图3-49 习题3-16示意图【解】 初始状态圆筒中没有水的那部分空间体积的大小为()1241h H d V -=π (1)圆筒以转速n 1旋转后，将形成如图所示的旋转抛物面的等压面。

令h 为抛物面顶点到容器边缘的高度。

空体积旋转后形成的旋转抛物体的体积等于具有相同底面等高的圆柱体的体积的一半h d V 24121π⋅=(2) 由(1)(2)，得()h d h H d 212412141ππ⋅=- (3) 即()12h H h -= (4)等角速度旋转容器中液体相对平衡时等压面的方程为C gz r =-222ω (5)对于自由液面，C =0。

圆筒以转速n 1旋转时，自由液面上，边缘处，2dr =，h z =，则 02222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛gh d ω (6) 得dgh22=ω (7) 由于6021n πω= (8) dgh d gh n πππω2602230301=⋅==(9) （1）水正好不溢出时，由式(4)(9)，得()()dh H g d h H g n ππ1111202260-=-⋅=(10)即()()min r 178.33.03.05.080665.91201=⨯-⨯⨯=πn（2）求刚好露出容器底面时，h =H ，则()min r 199.43.05.080665.92602602601=⨯⨯⨯⨯===πππd gH d gh n （3）旋转时，旋转抛物体的体积等于圆柱形容器体积的一半H d V 24121π⋅=(11) 这时容器停止旋转，水静止后的深度h 2，无水部分的体积为()2241h H d V -=π (12)由(11)(12)，得()222414121h H d H d -=⋅ππ (13) 得()m 25.025.022===H h 【3-21】 图3-54所示为绕铰链O 转动的倾斜角α=60°的自动开启式水闸，当水闸一侧的水位H =2m ，另一侧的水位h =0.4m 时，闸门自动开启，试求铰链至水闸下端的距离x 。

图3-54 习题3-21示意图【解】 设水闸宽度为b ，水闸左侧水淹没的闸门长度为l 1，水闸右侧水淹没的闸门长度为l 2。

作用在水闸左侧压力为111A gh F c p ρ= (1)其中21H h c =αsin 1H l = αsin 11H b bl A == 则αραρsin 2sin 221bgH H b H g F p == (2)作用在水闸右侧压力为222A gh F c p ρ= (3)其中22h h c =αsin 2h l = αsin 22h b bl A ==则αραρsin 2sin 222bgh h b h g F p == (4)由于矩形平面的压力中心的坐标为l bl l bl l A x I x x c cy c D 3221223=+=+= (5)所以，水闸左侧在闸门面上压力中心与水面距离为αsin 321H x D ⋅= (6)水闸右侧在闸门面上压力中心与水面距离为αsin 322H x D ⋅= (7)对通过O 点垂直于图面的轴取矩，设水闸左侧的力臂为d 1，则()x x l d D =-+111 (8)得()αααsin 3sin 32sin 111H x H Hx x l x d D -=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=--= (9) 设水闸右侧的力臂为d 2，则()x x l d D =-+222 (10)得()αααsin 3sin 32sin 222hx h hx x l x d D -=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=--= (11) 当满足闸门自动开启条件时，对于通过O 点垂直于图面的轴的合力矩应为零，因此02211=-d F d F p p (12)则⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααρααρsin 3sin 2sin 3sin 222h x b gh H x b gH (13)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααsin 3sin 322h x h H x H()()3322sin 31h H x h H-=-αh H h Hh H h H h H x +++⋅=--⋅=222233sin 31sin 31αα()m 0.7954.024.04.02260sin 3122=++⨯+⋅=οx 【3-29】 如图3-62所示，直径d =1m ，高H =1.5m 的圆柱形容器内充满密度ρ=900kg/m 3的液体，顶盖中心开孔通大气。

若容器绕中心轴以n =50r/min 的转速旋转，求容器的上盖、底面和侧面所受的液体总压力。

图3-62 习题3-29示意图【解】 由题设所述的容器内的压强分布与等角速度旋转运动容器中液体的静压强分布相同，为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=z g r g p p a 222ωρ (1)则计示压强为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=z g r g p e 222ωρ (2)（1）作用在上盖的计示压强为2221r p e ωρ= (3)设圆柱体的底面积为A d ，则作用在上盖的总压力为42420420320221164124141d d 22d 222d d r r r r r r A p F d d d dA e p ρπωρπωρπωρπωπωρ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=====⎰⎰⎰⎰(4) 由于30602n n ππω==(5) 42342157600130641d n d n F p ρππρπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛= (6)()N 12111509005760014231=⨯⨯⨯⨯=πp F（2）作用在底面的计示压强为gH r gH p p e e ρωρρ+=+=22212 (7)则作用在底面的总压力为()2121021002202222412d 2d 22d 22d 2222gHd F d gH F r gH F r r gH r r r r r gH r A p F p p p A e p ddd d dπρπρπρπρπωρπρωρ+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰⎰⎰⎰(8)()N 1160915.180665.99004115090057600124232=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=ππp F（3）由式(3)可知，作用在上盖边缘的计示压强为8222222b1d d p e ρωωρ=⎪⎭⎫⎝⎛= (9) 则作用在侧面的计示压强为gh d gh p p e e ρρωρ+=+=822b 13 (10)设圆柱体的侧面积为A c ，则作用在侧面的总压力为()28222228d d 2d d 28d d 2d d 28d d 28d 8d 2322220202002202002022020222233gdH Hd H gd H d d h h gd h d d h dgh h d d h dgh d A gh d A p F HH H HH A A e p c c πρπρωπρπρωθρθρωθρθρωθρρωρρωπππππ+=⋅⋅+⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (11)将式(5)代入，得27200283023232323gdH H d n gdH Hd n F p πρρππρππρ+=+⎪⎭⎫⎝⎛= (12) ()N 4572825.1180665.990072005.115090023233=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=ππp F。