第十三回不确定性条件下的选择
之一：期望效用函数理论13.0 温故而知新：
1．数学期望
2．方差
13.1 你选择哪个方案？
A．投硬币碰运气，正面给你100，反面啥也没有；
B．直接给你50元？
C．直接给你40元？
……
在上面的事情里，我们有以下概念：
1．期望效用
2．风险的主观态度
3．确定性等值
4．保险金
13.2 期望效用函数
1．如果某个随机变量X以概率P i取值x i，i=1,2,…,n，而某人在确定地得到x i时的效用为u(x i)，那么，该随机变量给他的效用便是：
U(X)=E[u(X)]=P1u(x1)+ P2u(x2)+ …+P n u (x n)
其中，E[u(X)]表示关于随机变量X的期望效用。

因此U(X)称为期望效用函数，又叫做冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数（VNM函数）。

2．一个例子：李四的财富效用函数为u(x)=x。

有人向他兜售彩票，该彩票有50%的可能性中奖4元，问该彩票对他的效用是多少？
3．又一个例子：张三总共有100元钱，他要参加第二天早上的微观经济学考试。

按照经验，他有10%的可能性会睡过头，如果这样他会错过考试，则需要交100元以参加重修。

他对财富的效用函数为u(x)=x，问他的期望效用函数是多少？
4．期望效用函数是否具有序数性？
u和v是两个不同的序数效用函数，若
u(A)=60，u(B)=20, u(C)=0
v(A)=60，v(B)=40, v(C)=0
上面都可以得到Ａ优于Ｂ，Ｂ优于Ｃ的结论；而且u 可以通过某种单调变换得到v 。

所以u 和v 代表相同的偏好顺序。

但考虑下面：
让消费者选择：一是确定地得到Ｂ；另一个是赌局，即掷硬币来得到Ａ或Ｃ。

分别用u 和v 来分析，结论如何？
——结论：期望效用函数失去了保序性。

13.3 风险的主观态度
1. 风险厌恶
4． 期望效用模型靠得住吗？—— Kahneman 和Tversky 的实验
13.4 确定性等值
1． 若某人的财富效用函数为u(x)，而一个赌局对某人的效用为u(E(x))，则有一个CE 值能够满足：u(CE)=u(E(x))。

称CE 为某人在该赌局中的确定性等值。

2．前面介绍了李四和张三的故事，他们的确定性等值各是多少？对于他们来说，确定性等值各有什么经济含义？
13.5 风险问题的解决——保险
1．保险市场的价格——保险金：若某人的财富数量为w ，其财富效用函数为u(x)，而一个赌局对某人的效用为u(E(x))，若有u(w-R)= u(E(x))，则称R 为保险金。

图13.1 风险厌恶
图13.2 风险偏好
u(E(x))>E(u(x))
风险厌恶的效用函数是凹函数。

如图13.1所示。

2. 风险偏好 u(E(x))<E(u(x))
风险厌恶的效用函数是凸函数。

如图13.2所示。

3． 风险中立
u(E(x))=E(u(x))
风险厌恶的效用函数是条直线。

因为u(w-R)= u(CE)，所以R=w-CE
2．张三担心第二天考试迟到，王五说早上一定叫醒他，那么张三最多愿意给王五多少钱？
这些钱是保险金吗？
3．谁来提供保险？——风险中立者？
一个例子：王五有100元钱，但有50%的可能性会全部丢失，他是风险厌恶者
（1）问他的确定性等值是多少，他愿意支付的保险金最多是多少？请用图形表示。

（2）如果是宗丽是一个风险中立者，她会为王五提供保险吗？
（3）风险偏好者会为王五提供保险吗？
4．谁来提供保险——风险厌恶者？
现在张三和王五的处境一样，但两人丢钱的概率是相互独立的。

现在王五对张三提议：两个人有难同当，不管发生什么事情都将平分两人的财富。

张三会接受吗？
结论：风险厌恶者是保险的需求者，同时也可以成为保险的供给者。

5．投保数量多少？——被保险人决定保险数量
肖心是一个风险厌恶者，他的财富的效用函数为u(x)，目前有财富W，财富中的一部分是价值为L的房产。

房产遭火灾被烧尽的可能性是P。

现假设，保险公司愿意以π的价格赔偿每1元的损失。

求：肖心的投保数量X？（假设保险公费是统计公平的，即保险费的收入恰好等于赔偿的期望值，πX=PX ）。