令y'=O,得y = -2x,或y =O (不适合方程 ， 舍去）．
将y =-2x代入方程得-6 x 3 +6 =0,解得x=l,J(l) =-2.
在3y
2
I
y
+y
2
I
+ 2x y y
+2xy +X
2
I
y
=0两端关于x求导
，得
(3y 2 +2xy +x 勹 y"+2(3y +x) (y') 2 +4(y+x)y'+2y =0.
l
cosb
b
2
n
an
•
l -cosb n
= — 2l nl-im00
1
an -cosb n
1 2
ln-im00
a
n
an +l -cosa
n
2，
00
00
2 且级数 n = l 从收敛，所以: n = l 生 bn 收敛．
(2 0)解 C I)对矩阵A施以初等行变换
。 。01 0
A�(�-; -0� �n-(� 1
(8) D
解
厂 [f EY 1 = _00Yfy1(y)dy = 了
+■a
_00Yf1(y)dy+f_=yj、z(y)dy]
=
(EX
了
1
+EX2
),
EY2=— 2 ECX1 +Xz)
=
—(EX
2
1
+EX2
),
故EY1 =EY2 , 又因为
DY 1 =E(Y�)-(EY 1 凡DY2 = ECY!) -(EY2 凡
0ab 0
ab O
ab 0
aO O b
ab
ab
= -ac
d O - c I O O b = — ad
+be
0 cd 0
00
d
c
dO
c
d
c id
c OOd
= -ad(a -d bc) +bc(a-d -bc) = — (a— d be)2 . 故应选B.
(6) A
解因为(a, +ka,,a, +la,)�Ca, ,a,,a,) � [ k
2 (14)
5n
区 区 解E(C� 欢）=C E(X;)=C E(X勹
,=I
f 切． I�0 I
,=!
=Cn I�=x勹(x)dx =Cn
勹．
0
红
30 2
山=Cn•
2
因为c� 欢是矿的无偏性估计，所以E(C 区 x�)=0气
i=l
,=I
即Cn• —5 旷＝矿，所以C=—2 .
2
5n
三解 、 题 答
厂厅(/—1) -t]dt
2014年（数 一 ）真题答案解析
一、选择题 (1) C
解 由渐近线定义可知，四个选项的曲线均不存在水平渐近线和垂直渐近线．
对千y = x + sin — ，可知
x
. +sm
1
—
f(x) a= lim —— = lim
X
=lim (1
+
1. -sm
1 -)
= 1,
x-+00 X
.x ->工'°X
x-+= X X
1
b = lim[f(x) — a x] = limsin — =0.
x-心0
z-o心0
•冗
1
y
所以y = x是y = x + siX n —的斜渐近线．故应选C.
(2) D
解 当广(x)多0时， f(x)是凹函数
而g(x) = [JO) - f(O)]x + f(O)可视为连接(0,f(O)) 与
故f(u) =— 16(e2u - e-2u - 4u).
(18)解
x2 +y 2 =l,
设斗为平面z=l 上被｛
所围部分的下侧心与2所围成的空间区域记
z =l
为{),'则
扩 (x — 1) 3dydz+(y — 1) 3 dzdx+(z — l)dxdy
I『 1:+1:
=—
[3(x — 1) 2 +3(y — 1) 2 +l]dxdydz
= 1.
(11) X ezx+l
解 方程变形为 y' = 2-tn 立，属千齐次方程． XX
设u = 二 ，则 u+x — du- = ulnu,
dx
分离变量得 两边积分得 即lnu — l=Cx.
f f du uClnu —
=-1 dx, l) X
du = 上dx,
uClnu-1)
x
ln I lnu — 1 I=lnx + C 1 ,
方程心对应的齐次方程的通解为 f (u) =C 1 e2u + C 2 e-2u.
方程 CD的一 个特解为 －— 4u ， 故方程 CD的通解为
f Cu) =C 1 e2u + C 2 e-2u -竺＿
尸+c,�i:
-— 由f(0)=0,J'(0) =0得 l2C1 - 2C 2
1 4 =0.
解得
C 1 =- 116' C2 =-- 116"
所以B对应于特征值入 2= 0有 n -l个线性无关的特征向最，
于是B也相似于A.
故A与B相似
(22解 ) C I) Fy (y) =P{Y�y}
=P{X=l}P{Y�y IX=l}+P{X=2}P{Y�y IX=2}
+ =-21 P{Y�y IX=1} —12 P{Y�y IX=2}.
当y <O时，凡(y) =0;
则 DY 1 — DY2 =E(Y�) -E(Y!)
＝』 [了 += ooy丁(y)dy+f_OOY飞(y)dy]-E
CX1心） 2]
+ -- = -E(X�) 2
—2 ECX!)
—4 E[CX1+Xz)勹
尸 o, = -E(X
4
X!
-2 X1
趴）＝ — 1 E[CX1 4
-Xz)勹>
> 即 DY1 DYz. 故应选 D.
入
＿… 1 －l
队E-BI= O入
-1 -1 ＝入 （ —n入 ) n-1 ,
入一l -1
— 2 = (A -n入 ) n-I ,
0 0 … 入— n 所以A与B有相同的特征值入I =n'从=O(n --1重）．
J 由于A为实对称矩阵，所以A相似千对角矩阵 n
A�[ O·..
因为r(从E-B) =r(B) =L
＿ 。 ＿ x
则方程组A
的
＂ 个 基 础 解 系 为
1\
一 一
2
3／ ，
， - l 、 2
3．
1
＼ ，
C II)对矩阵(A : E)施以初等行变换 O
1 - 2l
。 (A ; E)�( l
2
＿ 。 记 E
（ e 4 2 ， e 3 、丿 , 贝 lJ
l
3 — 4! 1 l
-1 1 i 0 O
— 3! 0
(4) A
-1
。
X
六
解
因为［ (x-a co釭 —bsinx)2 clx =乌t三(a z +b z —4b).
一亢
3
所以相当千求a 2 +b 2 -4b极小值点．
显然a= O,b = 2 时积分最小，即a 1 cosx +b 1 sinx = 2sinx. (5) B
故应选A.
解 由行列式展开定理按第一列展开：
当o:s;;;y<l时，瓦(y) =一 34y ；
= + · 当I<y<2时，凡(y)
—1
2
—y4'
当y�2时，凡(y) =1.
所以Y的分布函数为
J¥. 瓦(y)
y < o,
o:::;;;y <l,
l½++. 1,s;;y<2.
1,
y�2.
C II)随机变量Yf 的3 概率密度为
Y _4 ' O<y<l,
取上侧，D xy={(x,y)
I
x2 +y2 < 1}.
(13) [—2,2]
解 由配方法可知j(x1 ,X2 ,X3 )=式 — x: +2ax 心 3 + 4X2X:i =Cx1 +ax 3 ) 2— (x2-2x 3)2 + (4— 矿）式．
由于负惯性指数为1,则4 — a 2 �O,
所以a的取值范围是[—2,2].
4
求得广(1) =- > 0.
9
所以X =l是函数f(x)的极小值点 ， 极小值为f(l) =-2.
(17)解
因为
a— axz =j'(e工 cosy)矿cosy,
a飞
一 妇 2 =
J"(ex
cosy)产cos2
y
+ J'(ex
cosy)矿cosy,
— az = -J'(ex cosy) ex siny,
于是 B
＿ ＿
(21) 证
顷求 矩 阵 为
2
6
－1 －1 、0
—3
-40
,1
设
A