历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解）（2008年第16题）在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD（2）平面EFC ⊥平面BCD证明：（1）⎭⎪⎬⎪⎫E ，F 分别为AB ，BD 的中点⇒EF ∥AD 且AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ⇒直线EF ∥平面ACD （2）⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫CB ＝CD F 是BD 的中点 ⇒ CF ⊥BD ⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥BD EF ∥AD ⇒ EF ⊥BD ⇒直线BD ⊥平面EFC 又BD ⊂平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD（2009年第16题）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ，因为EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC（2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1，又A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ，又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ⊂平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题）如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．证明：（1）因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD＝90°，得CD⊥BC，又PD∩DC＝D，PD、DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD．因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．解：（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF＝22，故点A到平面PBC的距离等于2．（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°．从而AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P—ABC的体积V＝13S△ABC×PD＝13．因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．又PD＝DC＝1，所以PC＝PD2＋DC2＝2．由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC ＝22．由V A——PBC＝V P——ABC，13S△PBC×h＝V＝13，得h＝2，故点A到平面PBC的距离等于2．（2011年第16题）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD证明：（1）在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴BC∥AB，又∵EF ⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴直线EF∥平面PCD （2）连接BD. ∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△PAD为正三角形∵F是AD的中点，∴BF⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BF⊥平面PAD又∵BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD（2012年第16题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．证明：（1）∵是ABC－A1B1C1直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC 又∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD又∵AD⊥DE，CC1，DE⊂平面ADE，CC1∩DE＝E∴平面ADE⊥平面BCC1B1（2）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1∴CC1⊥A1F又∵CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1∴A1F⊥平面BCC1B1，由（1）知AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD又∵AD⊂平面ADE，A1F ⊄平面ADE，∴A1F∥平面ADE（2013年第16题）如图，在三棱锥S－ABC中，平面平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AB＝AS，过A 作AF⊥SB，垂足为F，点E,G分别是棱SA,SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC ；（2）BC⊥SA．证：（1）∵SA＝AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．又∵E，G分别为SA，SC的中点，∴EF∥AB，EG∥AC．又∵AB∩AC＝A，AB面SBC，AC⊂面ABC，∴平面EFG∥平面ABC．（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．又∵AB⊥BC，AF∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．（2014年第16题）如图，在三棱锥P－ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．证明：（1）∵D,E为PC,AC中点∴DE∥PA∵PA ⊄平面DEF，DE⊂平面DEF∴PA∥平面DEF（2）∵D,E为PC,AC中点∴DE＝PA2＝3∵E,F为AC,AB中点∴EF＝BC2＝4∴DE2＋EF2＝DF2∴∠DEF＝90°，∴DE⊥EF ∵DE∥PA，PA⊥AC∴DE⊥AC∵AC∩EF＝E∴DE⊥平面ABC∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（2015年第16题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B 1C∩BC1＝E求证：（1）DE∥平面A A1CC1(2) BC1⊥AB1证明：（1）由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE ⊄平面A A1C1C，AC⊂平面A A1C1C，所以DE∥平面A A1C1C（2）因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1，又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC，又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥A B1（2016年第16题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在侧棱B1B 上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：A1B1 C1DEFAB C（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC在△ABC中，因为D、E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，于是DE∥A1C1又∵DE ⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴直线DE∥平面A1C1F（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，∵A1C1⊂平面A1B1C1，∴A1A⊥A1C1又∵A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D又∵B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F∵B1D⊂平面B1DE∴平面B1DE⊥平面A1C1F（2017年第15题）D 1C 1B 1A 1DCB 如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD . 求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC证明：（1）在平面内，∵AB ⊥AD ，EF ⊥AD∴EF ∥AB又∵EF ⊄ 平面ABC ，AB ⊂平面ABC ∴EF ∥平面ABC（2）∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BDBC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ∴BC ⊥平面ABD∵AD ⊂平面ABD ∴BC ⊥AD又∵AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ∴AD ⊥平面ABC又∵AC ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AC（2018年第15题）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：（1）AB ∥平面A 1B 1C ；（2）平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC证明：（1）平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AB ∥A 1B 1 ⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥A 1B 1 A 1B 1⊂平面A 1B 1C AB ⊄平面A 1B 1C ⇒ AB ∥平面A 1B 1C（2）⎭⎪⎬⎪⎫平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1 AB ∥A 1B 1 ⇒四边形A 1B 1BA 为菱形⇒AB 1⊥A 1B⎭⎪⎬⎪⎫平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1 ⇒BC ∥B 1C 1 AB 1⊥B 1C 1 ⇒ AB 1⊥BC ⎭⎪⎬⎪⎫AB 1⊥A 1B AB 1⊥BC A 1B ∩BC ＝B AB 1⊂平面A 1BC BC ⊂平面A 1BC⇒ AB 1⊥平面A 1BC⎭⎪⎬⎪⎫AB 1⊥平面A 1BC AB 1⊂平面A 1B 1BA ⇒平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC。