般很小,在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等,即G MRm2 =mg,g=G RM2 常用来计算星球表面的重力加速度。
在地球同一纬度处,重力加速度随物体离地面高度的增加而减小,因为物体
所受万有引力随物体离地面高度的增加而减小,即g'=G (R M h)2 。 说明 (1)g=G RM2 和g'=G (R M h)2 不仅适用于地球,也适用于其他星球。
考点二 人造卫星和宇宙速度
考向基础 一、万有引力定律及其应用 1.人造地球卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供卫星所需的向心力,即F引=F向。
2.地球同步卫星
二、宇宙速度 1.第一宇宙速度:v1=7.9 km/s,是发射人造卫星的最小速度。
推导过程为:由mg= mRv2 = GRM2m 得:v= GRM = gR =7.9 km/s。
G MRm2
-F2=m
4π2 T2
R
得
F2 F0
=1-
4π2R3 GMT 2
(2)地球绕太阳做匀速圆周运动,受到太阳的万有引力。设太阳质量为MS,
地球质量为M,地球公转周期为TE,有
G
MSM r2
4π2
=Mr TE2
得TE=
4π2r3
GM S =
3π ( r )3 Gρ RS
行星从近日点向远日点运 动时,速率变小;从远日点向 近日点运动时,速率变大
开普勒第三定 律(周期定律)
所有行星绕太阳运行轨道
半长轴r的立方与其公转周 期T的二次方的比值都相等, 即r3/T2=k
比值k只与被环绕天体 有关,与行星无关
2.万有引力定律
内容
自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小F 与物体的质量m1和m2的乘积成正比,与它们之间距离r的二次方成反比
第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度,也是卫星绕地球做匀速圆周运
动的最大环绕速度。当卫星以第一宇宙速度运动时,其轨道半径为地球半
径(此时卫星为近地卫星),满足 GRM2m =mg= mRv2 ,周期T= 2πvR =5 075 s=85 min。
2.第二宇宙速度:v2=11.2 km/s,是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速
体。下列说法正确的是 ( )
A.在北极地面称量时,弹簧测力计读数为F0=G MRm2 B.在赤道地面称量时,弹簧测力计读数为F1=G MRm2 C.在北极上空离地面高h处称量时,弹簧测力计读数为F2=G Mhm2
D.在赤道上空离地面高h处称量时,弹簧测力计读数为F3=G (RMmh)2
解析 北极地面上的物体不随地球自转,万有引力等于重力,则有F0=G
测定 意义
(1)有力地证明了万有引力的存在 (2)使定量计算得以实现 (3)开创了测量弱相互作用的新时代
实验装置
P:石英丝 M:平面镜 O:光源 N:刻度尺 Q: 倒立T形架
实验思想
主要思想:放大 (1)利用四个球之间的引力 (2)利用T形架的转动(利用力矩)增大引力的可观 察效果 (3)利用小平面镜对光的反射来增大可测量的扭 转角度
考向基础
考点清单
考点一 天体的运动
万有引力定律及其应用
1.开普勒行星运动定律
定律
内容
图示
开普勒第一定 律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨 道都是椭圆,太阳处于所有 椭圆的一个公共焦点上
说明 行星运动的轨道必有 近日点和远日点
开普勒第二定 律(面积定律)
太阳与任何一个行星的连 线在相等的时间内扫过的 面积相等
=m
4π2 T2
·r,得
天体质量M=
4π2r3 GT 2
。
(1)若知道天体的半径R,则天体的密度
ρ= M V
=
4
M πR
3
= G3Tπ2rR3 3
。
3
(2)若天体的卫星环绕天体表面运动,其轨道半径r等于天体半径R,其周期
为T,则天体密度ρ= G3Tπ2 。
例1 由于通讯和广播等方面的需要,许多国家发射了地球同步轨道卫星, 这些卫星的 ( ) A.质量可以不同 B.轨道半径可以不同 C.轨道平面可以不同 D.速率可以不同
转速率都相同,故D项错误;而卫星的质量不影响运转周期,故A项正确。
答案 A
例2 (2014北京理综,23,18分)万有引力定律揭示了天体运行规律与地上 物体运动规律具有内在的一致性。 (1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量,随称量位置的变化 可能会有不同的结果。已知地球质量为M,自转周期为T,引力常量为G。 将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体,不考虑空气的影响。设在地 球北极地面称量时,弹簧秤的读数是F0。 a.若在北极上空高出地面h处称量,弹簧秤读数为F1,求比值F1/F0的表达式, 并就h=1.0%R的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字); b.若在赤道地面称量,弹簧秤读数为F2,求比值F2/F0的表达式。 (2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径RS和地球的半径R 三者均减小为现在的1.0%,而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳 和地球之间的相互作用,以现实地球的1年为标准,计算“设想地球”的1年 将变为多长?
MRm2 ,故A项正确;在赤道地面称量时,万有引力等于重力加上物体随地球一 起自转所需要的向心力,则有F1<G MRm2 ,故B项错误;在北极上空离地面高h
处称量时,万有引力等于重力,则有F2=G (RMmh)2 ,故C项错误;在赤道上空离 地面高h处称量时,万有引力大于重力,弹簧测力计读数F3<G (RMmh)2 ,故D项
解析 地球同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同且与地球自转
“同步”,所以它们的轨道平面都必须在赤道平面内,故C项错误;由ω=
2Tπ 、mRω2=G MRm2
可得R=3
GMT 2 4π2
,由此可知所有地球同步卫星的轨道半径
都相同,故B项错误;由v=Rω,ω= 2Tπ 可得v=R 2Tπ ,可知所有地球同步卫星的运
方法技巧
方法1 重力和重力加速度的计算方法
重力是因地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的;万有引力是物体 随地球自转所需向心力和重力的合力。
如图所示,F引产生两个效果:一是提供物体随地球自转所需的向心力;二是 产生物体的重力。由于F向=mω2r,向心力随纬度的增大而减小,所以物体的 重力随纬度的增大而增大,即重力加速度从赤道到两极逐渐增大。但F向一
度。
推导过程为:设无限远处引力势能为零,从地面上以v2发射卫星到无限远的
过程中机械能守恒,所以: 12 m v22
+ -G
mM R
=0,解得v2=
2 GM R
= 2gR = 2 v1=1
1.2 km/s。
3.第三宇宙速度:v3=16.7 km/s,是使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速 度。
解析 地球同步卫星的周期与地球自转周期相同,由T= 2ωπ 知,A正确。月
球绕地球运动的周期为一个月,大于地球同步卫星的周期,D错误。由G
MRm2 =ma,知a=G RM2 ,R越大,a越小,B错误。由G MRm2 =m vR2 ,得v= GRM ,知同步
卫星的线速度小于第一宇宙速度,C错误。
答案 A
考向突破
考向 万有引力定律及其应用
运用万有引力定律研究天体运动,核心问题是计算中心天体的质量和密度,
其他问题多属于此类问题的延伸和发展。处理这一类问题时,需构建天体
(例如地球)的卫星绕中心天体做匀速圆周运动的模型。
通过绕天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r,由万有引力等于向心
力即G Mr 2m
解析 本题以卫星变轨问题为背景,通过万有引力与向心力的大小关系、 机械能变化关系来考查和体现运动与相互作用观、能量观等学科素养。
轨道2上的卫星周期为90 min,显然不是同步轨道,A错误。根据v= GrM ,飞
船在轨道1上Q点处的速率大于轨道2上的速率,故B错误。在轨道1上,只有 万有引力对飞船做功,机械能守恒,C正确。在P点处点火加速后进入圆周 轨道2,说明飞船在P点有机械能的突然变化,D错误。
答案 C
做“离心”运动。
例2 (2020届五中月考,10,3分)飞船运行轨道如图,飞船先沿椭圆轨道1运 行,近地点为Q,远地点为P。当飞船经过点P时点火加速,使飞船由椭圆轨 道1转移到圆轨道2上运行,在圆轨道2上飞船运行周期约为90 min。下列 说法正确的是 ( )
A.轨道2的半径等于地球同步卫星的轨道半径 B.飞船在轨道2的运行速率大于在轨道1上Q点处的速率 C.在轨道1上,飞船经过P点的机械能等于经过Q点时机械能 D.飞船在轨道2上经过P点的机械能等于在轨道1上经过P点的机械能
解析 (1)设小物体质量为m。
a.在北极地面有G MRm2 =F0
在北极上空高出地面h处有G (RMmh)2 =F1
得
F1 F0
=
(R
R2 h)2
当h=1.0%R时
F1 = 1 ≈0.98
F0 (1.01)2
b.在赤道地面,小物体随地球自转做匀速圆周运动,受到万有引力和弹件
F=G
m1m 2 r2
,引力常量G=6.67×10-11
N·m2/kg2
(1)两质点间的作用 (2)可视为质点的物体间的作用 (3)质量分布均匀的球体间的作用
3.引力常量
数值 测定人 物理 意义
6.67×10-11 N·m2/kg2 英国物理学家卡文迪许于1798年利用扭秤测定 数值上等于两个质量都是1 kg的物体相距1 m时 的相互引力
错误。
答案 A
方法2 卫星变轨问题
卫星绕天体稳定运行时,万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力。
Mm
由F=G r 2