7.1.证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证：由对易关系 z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=- 及 反对易关系 0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ， 得 z y x i σσσˆˆˆ= 上式两边乘z σˆ，得 2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ∴ i z y x =σσσˆˆˆ 7.2 求在自旋态)(21z S χ中，xS ˆ和y S ˆ的测不准关系： ?)()(22=y x S S ∆∆解：在z S ˆ表象中)(21z S χ、xS ˆ、y S ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)(21z S χ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ˆ x S ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002ˆi i S y ∴ 在)(21z S χ态中00101102)0 1(2121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+ χχx x S S 4010110201102)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχxxS S 4)(2222=-=∆xxx S S S 001002)0 1(ˆ2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i i i S S y yχχ 4)(2222=-=∆yyy S S S16)()(422=∆∆y x S S ①讨论：由xS ˆ、y S ˆ的对易关系 [x S ˆ，y S ˆ]zS i ˆ = 要求 4)()(2222z y x S S S ≥∆∆在)(21z S χ态中，2=z S ∴ 16)()(422≥y x S S ∆∆可见①式符合上式的要求。

7.3.求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002ˆ01102ˆi i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。

解：x S ˆ的本征方程为01102a a b b λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭移项得: 202a b λλ⎛⎫- ⎪⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭xS ˆ的久期方程为022=--λλ可得 20)2(22 ±=⇒=-λλ∴ xS ˆ的本征值为2±。

设对应于本征值2的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112/1b a χ 由本征方程 2/12/12ˆχχ =x S ，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111201102b a b a 111111 a b b a a b =⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得1),(11*1*1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a 即 1221=a ∴ 21 2111==b a对应于本征值2 的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11212/1χ 设对应于本征值2-的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-222/1b a χ 由本征方程 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--222/12/12ˆb a S x χχ 222222 a b b a a b -=⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件，得1),(22*2*2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a a 即 1222=a ∴ 21 2122-==b a对应于本征值2 -的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-11212/1χ 同理可求得yS ˆ的本征值为2 ±。

其相应的本征函数分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i 12121χ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-i 12121χ #7.4 求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆzy x n S S S S ++= 的本征值和所属的本征函数。

在这些本征态中，测量z S ˆ有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？zS ˆ的平均值是多少？ 解：在z S ˆ 表象，nS ˆ的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= i i S n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=γβαβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n 其相应的久期方程为0cos 2)cos (cos 2)cos (cos 2cos 2=--+--λγβαβαλγ i i 即0)cos (cos 4cos 4222222=+--βαγλ )1cos cos cos (222=++γβα利用得0422=- λ ⇒ 2±=λ 所以nS ˆ的本征值为2 ±。

设对应于2=n S 的本征函数的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a S n )(21χ，则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2 γβαβαγ b b i a =-+⇒γβαcos )cos (cos得γβαcos 1cos cos ++=i b由归一化条件，得22**),(12121b a b a b a +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχ1cos 1cos cos 222=+++a i a γβα1cos 122=+a γ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=)cos 1(2cos cos 1cos 1)(21γβαγχi S n12112210()01()()n z z S S S χχ-⎫⎫=⎪⎪⎭⎭=可见， zS ˆ的可能值为 22 - 相应的几率为 2cos 1γ+ 2cos 1)cos 1(2cos cos 22γγβα-=++γγγcos 22cos 122cos 12=--+=z S同理可求得 对应于2-=n S 的本征函数为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=-)cos 1(2cos cos 2cos 1)(21γβαγχi S n 在此态中，zS ˆ的可能值为 2 2 - 相应的几率为 2cos 1γ- 2cos 1γ+γcos 2-=z S#7.5设氢的状态是 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=),()(23),()(2110211121ϕθϕθψY r R Y r R①求轨道角动量z 分量z L ˆ和自旋角动量z 分量zS ˆ的平均值； ②求总磁矩 S e L e M ˆˆ2ˆμμ--=的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩表示）。

解：ψ可改写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10),()(2301),()(2110211121ϕθϕθψY r R Y r R z z S Y r R S Y r R (),()(23)(),()(21211021211121--=χϕθχϕθ从ψ的表达式中可看出zL ˆ的可能值为 0 相应的几率为41 43 4=⇒z L zS ˆ的可能值为 2 2 - 相应的几率2i C 为41 4344324122-=⨯-⨯==∑zi i z S C S )4(422 -⨯-⨯-=--=μμμμe e S e L e M z z z B M e 4142=⨯= μ 7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。

玻色子只有两个可能的单粒子态。

问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有4个。

设两个单粒子态为i φ，j φ，则体系可能的状态为)()()(3211q q q i i i φφφ=Φ )()()(3212q q q j j j φφφ=Φ3123132231()()()()()()()()()]i i j i i j i i j q q q q q q q q q ϕϕϕϕϕϕϕϕϕΦ=++4123132231()()()()()()()()()]j j i j j i j j i q q q q q q q q q ϕϕϕϕϕϕϕϕϕΦ=++7.8 设两电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是221()2U r r μω=。

如果电子之间的库仑能和)(r U 相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。

解：体系的哈密顿算符为122223222221ˆˆˆ11ˆˆ2222i i i i i ij j ij H H H H T U r r r μωμωμμ==+⎛⎫∂=+=-∇+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭∑不考虑空间-自旋相互作用，电子波函数写为空间部分和自旋部分之积。

电子波函数的空间部分12(,)r r ψ满足定态S-方程1212ˆ(,)(,)H r r E r r ψψ=可以用分离变量法得到12(,)r r ψ为每个电子在每个空间维度的波函数之积12(,)()ij ijr r r ψψ=∏，ij ijE E =∑其中 22221()()22ij ij ij ij ij r r E r r μωψψμ⎛⎫∂-+= ⎪ ⎪∂⎝⎭即为一维谐振子势下的S-方程。

可得 ()1()2ijij nE n ω=+，()()ij nij ij r r ψψ=。

一个电子处于基态，即三个方向n j =0，波函数为000()()()x y z ψψψ 另一电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，1,0x y z n n n ===，波函数为100()()()x y z ψψψ。

总空间波函数为 010*********()()()()()()x y z x y z ψψψψψψψ'=或110101020202()()()()()()x y z x y z ψψψψψψψ''=考虑电子的全同性，电子为费米子，波函数要求满足交换反对称性。

所以空间波函数应为对称或反对称波函数。

1. 空间对称波函数12(,)()/s r r ψψψ'''=+总波函数为12(,)s A r r ψχ2. 空间反对称波函数12(,)()/A r r ψψψ'''=- 总波函数为12(,)1,2,3A Sr r αψχα=下面有01,ψψ的具体形式，不作要求。

)()()()(22r E r r U r ψψψμ=+∇-)()(21)()(2222222222r E r r r z y x ψψμωψμ=+∂∂+∂∂+∂∂- )()(21)()(2222222222r E r r r z y x ψψμωψμ=+∂∂+∂∂+∂∂- 考虑到 2222z y x r ++=，令)()()()(z Z y Y x X r =ψEXYZ XYZ z y x XYZ zy x =+++∂∂+∂∂+∂∂-)(21)(222222222222μωμ E z x Z Z y x Y Y x x X X =+∂∂-++∂∂-++∂∂-)2112()2112()2112(222222222222222μωμμωμμωμx E x x X X =+∂∂-⇒)2112(22222μωμ y E y x Y Y =+∂∂-)2112(22222μωμ z E z x Z Z =+∂∂-)2112(22222μωμ z y x E E E E ++=)()(2221x H e N x X n x n n αα-=⇒)()(2221y H e N y Y m y m m αα-=)()(2221z H eN z Z z αα -=)()()()(2221z H y H x H e N N N r m n r m n nm αααψα -= )()()()(2221z H y H x H eN N N r m n r m n nm αααψα -=ω )(23+++=m n E nm其中 !22/1n N n n πα=，μωα=对于基态0=== m n ，10=H22212/30000)()(rer απαψψ-==⇒对于沿χ方向的第一激发态01=== m n ，， x x H 2)1α=（22212/30000)()(re r απαψψ-==22214/32/5100122)(r xer απαψψ-==两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为))](()()([21),(2011211021r r r r r r S ψψψψψ+=][)(211)(2122/342221222212r r r r ex e x +-+-+=ααπα)(21122/3422212)(r r e x x +-+=απα)]()()()([21),(1120211021r r r r r r A ψψψψψ-=)(21122/3422212)(r r e x x +--=απα而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即)3(S )2(S )1(S χχχ、、和A χ综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即 独态： A S r r χψ),(211=Φ三重态： ⎪⎩⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ)3(214)2(213)1(212),(),(),(S A S A S A r r r r r r χψχψχψ。