22R y x =+解:⎰
⎰⎰⎰
--+=-+
+=R
R
H
D dy y
R dz z
R R dydz y
R y z
R I yz
2
2
2
2
2
2
22
2
1. 1212
=2R
H
R y R z R R
H arctan 2].[arcsin][arctan0π=-
3、求曲面积分⎰⎰∑
++ds zx yz xy ( ,其中∑是锥面22y x z +=
=dydz z y x P , , (
(⎰⎰∑1
, , 2dydz z y x P C. (⎰⎰∑-1
, , 2dydz z y x P D.ABC都不对
2.设(0:2222≥=
++∑z a z y x取上侧,则下述积分不等于零的是( A ⎰⎰∑
dydz x 2∑
xdydz C ⎰⎰∑
ydxdy D ⎰⎰∑
0, πA的积分(
(dy y x dx y L
+++⎰213的值最小
解:(([]
30333
44cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +
-=+++=⎰ππ
((
(0811, 014' ' 2
' >=⇒=⇒=-=I a a a I。, 1=a (a I最小,此时x y sin =
第十一章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长的曲线积分
1设L关于x轴对称, 1L表示L在x轴上侧的部分,当(y x f ,关于y是偶函数时,
(=⎰L
ds y x f ,
(⎰1
, L ds y x f C. (⎰-1
, 2L ds y x f D.ABC都不对
2、设L是以点((((1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1--D C B A为顶点的正方形边界,
y x dxdy d r r dr ππ
θθ∑
∑
∑
+≤==⎡⎤=--+-=
+-⎣⎦=--=-
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:由对称性原式
三、用两类曲面积分之间的关系计算
1.求⎰⎰∑
++dS z y x cos cos cos (333γβα其中∑是柱面222a y x =+在h z ≤≤0部分,
γ
βαcos , cos , cos是∑的外法线的方向余弦
(00=ϕ,计算
((
(
⎰+1, 10
, 02dy x y dx xy ϕ的值解:取路径:沿0=x从(0, 0到(1, 0;再沿1=y从(1, 0到(1, 1则
(2
1
01
1
=
+=
⎰
⎰
xdx dy y I ϕ或
(((2' 00, 2x x x y
P
x Q ===⇒∂∂=∂∂ϕϕϕ得又
§4对面积的曲面积分1、计算曲面积分⎰⎰∑
解:由奇偶对称性
022=+L
dx y x , L :ππ→-==:, sin , cos t t a y t a x
=
I ((=
++⎰-
dt t a t t a dt t t a
cos 1ln cos sin cos sin 3
2
2
4
π
πππ
π
4
cos sin 4
2
2
4
a dt t t a =⎰-
3. (⎰Γ
y x ydy
xdx
3. L为222a y x =+的正向, =+--+L
y x dy
y x dx y x 2
2 ( ( A.2π
π C.0 D.π
二、计算
1. ((
dy y x dx y x L
⎰-++2222,其中L由曲线(2011≤≤--=x x y从
(0, 2A到(0, 0O方向
解:(1, 1B 01:, :; 12:, 2:___
((112
2
20
1
1112
14
xy
x
D z dxdy x y dxdy dx x y dy -∑
=--=--
=
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:由轮换对称性原式
2. (x y dydz ∑
+⎰⎰其中∑为锥面22y x z +=被平面1=z所截部分的外侧
(2221
22
2
cos 3
x x y ydydz xdydz x z dxdy d r
x xdy ydx l
L
4、验证((
dy e xy dx ye y
x x +++22
在xoy面上是某函数(y x u ,的全微分,求出(y x u ,
解:
x e y y
P
x Q +=∂∂=∂∂2, (x ye xy y x u +=2, , 5、设曲线积分(⎰+dy x y dx xy ϕ2与路径无关,其中(x ϕ具有连续的导数,且
y x
原积分=222
2cos 2a adt t a ==⎰π
7. , 2⎰L
ds x其中L为球面2222a z y x =++与平面0=-y x的交线
解:将y x =代入方程2222a z y x =++得2222a z x =+于是L的参数方程:t
a z t a y t a x sin , sin 2
四、空间每一点处(z y x P , ,有力(z y x F , , →
,其大小与(z y x P , ,到z轴的距离成反比,方向垂直指向z轴,试求当质点沿圆周t z y t x sin , 1, cos ===从点(0, 1, 1M到
(1, 1, 0N时,力(z y x F , , →
所作的功
解:由已知(}0, ,
zdxdz
3.设∑为球面122=++z y x取外侧, 1∑为其上半球面,则有(
A.⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
2zds zds ⎰⎰∑∑
=1
2zdxdy zdxdy C.⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
222dxdy z dxdy z D. 0
二、计算
1. ∑
++dxdy z dzdx y dydz x 222其中∑由1=++z y x及三个坐标面所围成闭曲面的外侧
x t t , 2
1, 5100=-=z y
§2对坐标的曲线积分一、选择题
1.设L关于x轴对称, 1L表示L在x轴上侧的部分,当(y x P ,关于y是偶函数时, (=⎰L
dx y x P , A.0 B. (⎰1, 2L dx y x P C.(⎰-
, 2L dx y x P都不对
2.设L为1=+y x的正向,则=++L
____
→=→-=x x y BO x x y AB
=
I =
+
⎰
⎰____
___
BO
AB (((
(
((
3
41220
1
22
1
2
2
2
2
-
=++---+-+⎰⎰dx x x
dx x x dx x x
2. []
d y y x x xy y dx y x L
ln((2222+++++其中L是正向圆周曲线
222a y x =+
解:(
2
2
155121241
1
1
+
-=
+
+⎰
⎰
xdx dy y
y 5. , ds y L
⎰其中L为双纽线0(( (222222>-=+a y x a y x
解:原积分=((
22sin 4sin 4420
2
2' 21
-==+=⎰
⎰⎰a d a
d r r r ds y L χπ
π
θθθθθ
6. ⎰+L
ds y x , 22其中L为(022>=+a ax
=++++L
y x
y x dy
e dx y x 2ln 22222
解:将方程代入被积函数在由格林公式得
(=-=+-L
D
y dxdy dy e dx x 0 00(21ln 2
2. ((⎰+-+-L
dy y x x y dx x y xy , 3sin 21cos 23233其中L为点(0, 0O到⎪⎭
{
, , 2
2
2
2
y
x ky y
x kx z y x F +-+-=
2ln 2
cos 1
cos
cos 2
2
2
22
2
k
t d t t
k dy y x ky dx y x
kx
W L
=
+-=
+-+
+-=
⎰⎰π
五、将积分y y x Q x y x P L d , (d , (⎰+化为对弧长的积分,其中L沿上半圆周
+
+ds y x z 3