X
(e
j
)
sin
N1
sin
1 2
2
连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换： X(j)2sinT1
4. x[n][n]
X(ej) 1
Xej xnejn nejn1
n
n
20
三、离散时间傅里叶变换的收敛性
例5.1，5.2是无限长序列
x[n]a|n|,|a|1; 其傅里叶变换存在。 x[n]anu[n]|,a|1
X * ( e j ) X ( e j )即,X * ( e j ) X ( e j )
因此:
X (ej)X (e j) RX ( e ej) RX ( e e j) X (ej) X (e j) Im X (ej) Im X (e j)
❖ 若 x[n] 是实偶信号,则 x[n]x[n],
x% [n]X(ej)
ak2(k02l) kN l
23
如图P263 Fig5.9:下页
X (e j ) 2 a 0 ( 2 l) 2 a 1 (0 2 l)
l
l
.. .2aN1 ((N1)02l) ,02/N l
如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：
X(ej)2k ak(2N k)
调制特性在信息传输中是极其重要的。
一定是以 2 为周期的,因此,频域的冲激应该是周
期性的冲激串:
2（0 2k）
k
对其作反变换有
xn 1 X ej ejnd
2 2
0 ejnd ej0n
2
22
可见, 2（ 02k） F 1 ej0n k
由DFS ,有 ~ xnkNakejk0n,02N
因此,周期信号 ~xn 可表示为DTFT
表明 X (e j ) 是虚奇函数.
❖若 x [n ] x e[n ] x o [n ]， 则
x e[n ] RX ( e ej)
x o [n ] jIm X (ej)
说明:这些结论与连续时间情况下完全一致.
34
6. 时域差分与累加
x[n]X(ej)
x [n ] x [n 1 ] ( 1 e j )X (e j )
X(ej) x[n]ejn
非
n
周
期
序 列
x[n]2 1 2X(ej)ejnd
离 散 周
xn
akejk0n,
kN
2 0N
期 序 列
X(ej)2k ak(2N k)
46
常用信号的离散时间傅里叶变换
1 2 、 、 x x [ n [] n ]a |n |, a |a n u | [ 1 n ],|1 a a |1 e 1 j 1 1 a a e e j a 1 j e j 1 2 a 1 c o s a 2 a 2
复习知识点：
x(t) akejk0t k
ak
1 T
x(t)ejk0td
T
t
x n
jk2 n
ake N
k N
ak
1 Nn
jk2n
xne N
N
1
h（t）
h [n]
其中： H jk 0 h t e jk0t dt
t
H e jk0
h n e jk0 n
n
n
r
x[r]ejrkX(ejk)
r
x(k)[n]X(ejk)
信号的反转：
x[n]X(ej)
36
x(
k
)[n]
x[n
k
],
0
n是k的整倍数。 其它n
返回
37
38
例5.9 作为时域扩展性质在确定傅里叶变换应用中的一个例子
39
8. 频域微分特性 x[n]X(ej)
dX(ej)
nx[n]j d
离散时间傅里叶变换
4
§5.1 非周期信号的表示： 离散时间傅里叶变换
一、从傅里叶级数到傅里叶变换
本章将采用与讨论CTFT完全相同的思想方法，来研 究离散时间非周期信号的频域分解问题。
5
即 ~ x[n] N x[n]
从DFS的分析中得出DTFT。
周期信号 ~x[n]
非周期信号 x[n] 6
此时 X(ej) x[n]ejn n
这是一个无限项的求和，存在着一个收敛条件：
条件1：
| x[n] |
n
条件2：
| x[n] |2
n
21
§5.2 周期信号的DTFT DTFT for periodic signals
对连续时间信号,有 2（ 0） F 1ej0t, 由此
推断对离散时间信号或许有相似的情况.但由于DTFT
m n x [m ] 1 X (e e j j )X (ej0)k ( 2k)
n
例:累加器：u[n] [m] m
[n]1
u[n]
11ej
(2k)
k
35
7. 时域与频域的尺度变换
x(k
)[n]
x[n
k
],
0
n是k的整倍数。
图5.13
其它n
X (k)(ej) x(k)[n ]ej n x (k)[r]e kj rk
1. 傅里叶变换
~x[n]
jk2n
ake N
kN
ak
1
~x[n]ejk2Nn
NnN
ak＝ N 1n x[n]ejk2N （ n 当 N ）
7
当N 时， ~ x[n] x[n]
2
N
0
d,
k 2
N
ak
1
jk2n
x[n]e N
Nn
Nkax[n]ejn令X(ej)
n
X(ej) x[n]ejn n
40
9. 帕斯瓦尔定理
若 x[n]X(ej)
则
|x[n]|21 |X(ej)|2d
n
2 2
——非周期信号
能量
对比：
N 1n N |x[n]|2k N |ak
|2
——周期信号 功率
说明：一个周期信号中的平均功率等于它各次谐波
分量的平均功率之和。
41
42
43
复习上节课内容：
第四章第五节
h（t）
h [n]
其中： H jk 0
h t e jk 0t dt
t
H e jk0
h n e jk 0 n
n
N
k
M
akjYj bkjkXj M
k0
k0
Y (j)X (j)H (j)
bk j k
H j
k 0 N
ak j k 45
k 0
第五章：
离 散
离散时间傅里叶变换 信号的频谱
X (ej)Nk,aa kN 1X (ej)| k2 N
8
X(ej) x[n]ejnX(ej(2)) n
重要结论：
X (e j ) 为周期信号，周期为2。
9
~ x[n]kN akejk 2 N nkNN 1X (ejk 2 N )ejk 2 N n
1 0 N 2
3 、矩形脉冲: xn 1
0
n N1 n N1
X(ej)
N1
ejn
sinN ( 1
1)
2
nN1
sin
2
4. x[n][n]
X(ej) 1
5 、 x n c o s0 n X ( e j ) ( 0 2 k ) ( 0 2 k )
6 、 x n [ n k N ] k X ( e j ) 2( 2k )
x[n]X(ej)
x[n n 0] X (ej)ej n 0
ej0nx[n] X(ej( 0))
29
例：求 x[n] (1)n[n2k] 的X (e j )
k0 2
解： [n] 1 [n2k] ej2k
x[n] (1)2k[n2k]
k0 2
X(ej)(1)2kej2k
1
k0 2
1(1ej)2
j
)
sin
N1
sin
1 2
2
周期离散矩形脉冲的傅里叶级数系数：
显然有
ak
1 N
sin
k
N sin
(2
N1 k
1)
,
N
1 N
sin
N1
1 2
k0
sin k0 2
ak N1 X(ej)2Nk
2. 与对应的连续时间矩形脉冲比较
x (t )
1,
0
,
t T1 t T1
离散时间矩形脉冲的傅里叶变换：
k
N k N
47
§5.4 时域卷积性质
•若
x[n]X(ej)
h[n]H(ej)
•则
x [n ]* h [n ] X (ej)H (ej)
卷积特性是频域分析LTI系统的理论基础。
48
例:累加性质的证明
证明：
n
x[k]x[n]*u[n]
k n
x[k]X(ej)U(ej)
k
X(ej) 11 ejk (2k)
26
例： xn [nkN]
均匀脉冲串
k
a kN 1nN x[n]ej k0nN 1N n 0 1[n]ej k0nN 1
X(ej)2 (2k)
Nk
N
比较:与连续时间情况下对应的一致.
•
•
x[n] •1 •
•
X (e j )
2 N
2N N 0 N 2N n
4 2
N
N
0 2 N
4