第二节 古典概型与几何概型[考纲要求]1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．3．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．4．了解几何概型的意义．突破点一 古典概型[基本知识]1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．3．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )(3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( )(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√二、填空题1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为________．答案：2 52．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．答案：9 103．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．答案：5 6[典例](2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．[解](1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝5 21.[方法技巧]1．求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；(3)利用公式P(A)＝mn，求出事件A的概率．2．求基本事件个数的三种方法(1)列举法：把所有的基本事件一一列举出来，此方法适用于情况相对简单的试验题．(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数．(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．[针对训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A．0.6B．0.5C．0.4 D．0.3解析：选D设2名男同学为a，b,3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为310＝0.3.2．(2019·大同一中月考)甲、乙两人玩一种游戏，在装有质地、大小完全相同，编号分别为1,2,3,4,5,6六个球的口袋中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)求甲赢且编号和为8的事件发生的概率．(2)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解：(1)设“两个编号和为8”为事件A，则事件A包括的基本事件有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36个等可能的结果，故P(A)＝5 36.(2)这种游戏规则是公平的．设甲赢为事件B，乙赢为事件C，由题可知甲赢即两编号和为偶数所包含的基本事件数有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(6,2)，(6,4)，(6,6)，共18个．所以甲赢的概率P(B)＝1836＝12，故乙赢的概率P(C)＝1－12＝12＝P(B)，所以这种游戏规则是公平的．突破点二几何概型[基本知识]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). [基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√二、填空题1．已知球O 内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________．答案：1－π62．已知四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．答案：1－π43．已知函数f (x )＝2x (x ＜0)，其值域为D ，在区间(－1,2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．答案：13[全析考法]考法一 与长度、角度有关的几何概型[例1] (1)(2019·成都毕业班摸底)在区间[－4,1]上随机地取一个实数x ，若x 满足|x |＜a的概率为45，则实数a 的值为( ) A.12B ．1C ．2D ．3(2)(2019·福州四校联考)如图，在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点在上任取一点C 作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率是( ) A.13 B.23C.12D.16[解析] (1)设集合A ＝{x ||x |＜a }＝(－a ，a )(a ＞0)，若0＜a ≤1，则A ⊆[－4,1]，由几何概型的意义，得P (A )＝a －(－a )1－(－4)＝45，解得a ＝2，不符合题意，若a ＞1，则P (A )＝1－(－a )1－(－4)＝45，解得a ＝3，符合题意，故选D. (2)记事件T 是“作射线OC ，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，如图，记的三等分点为M ，N ，连接OM ，ON ，则∠AON ＝∠BOM＝∠MON ＝30°，则符合条件的射线OC 应落在扇形MON 中，所以P (T )＝∠MON ∠AOB ＝30°90°＝13，故选A. [答案] (1)D (2)A[方法技巧]1．与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解．2．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．考法二 与面积有关的几何概型[例2] (1)(2019·惠州调研)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝ 弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )A ．866B ．500C ．300D ．134(2)(2019·齐齐哈尔八中模拟)如图，四边形ABCD 为正方形，G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形，连接EB ，CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为( ) A.13 B.25 C.38 D.12[解析] (1)设勾为a ，则股为3a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为3a －a ，所以题图中大正方形的面积为4a 2，小正方形的面积为(3－1)2a 2，所以小正方形与大正方形的面积比为(3－1)24＝1－32，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为⎝⎛⎭⎫1－32×1 000≈134.(2)设正方形ABCD 的边长为1，则可求得S 总＝3，S 阴影＝2×12×52×1×25＝1，所以所求概率为P ＝13，故选A. [答案] (1)D (2)A[方法技巧]求解与面积有关的几何概型的关键点 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．考法三 与体积有关的几何概型[例3] (2019·陕西部分学校摸底)在球O 内任取一点P ，则点P 在球O 的内接正四面体中的概率是( )A.112πB.312πC.239πD.36π[解析] 设球O 的半径为R ，球O 的内接正四面体的棱长为2a ，所以正四面体的高为233a ，所以R 2＝⎝⎛⎭⎫63a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 3－R 2，即3a ＝2R ，所以正四面体的棱长为26R 3，底面面积为12×26R 3×2R ＝233R 2，高为4R 3，所以正四面体的体积为8327R 3，又球O 的体积为4π3R 3，所以P 点在球O 的内接正四面体中的概率为239π，故选C. [答案] C[方法技巧]求解与体积有关的几何概型的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．[集训冲关]1.[考法一]已知函数f (x )＝3sin x ＋3cos x ，当x ∈[0，π]时，f (x )≥ 3的概率为( ) A.13 B.12 C.15 D.14解析：选B f (x )＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，令f (x )≥ 3， 得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≥12，得π3≤x ＋π3≤5π6，∴0≤x ≤π2， ∴f (x )≥ 3的概率为12. 2.[考法三]在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12. 答案：1－π123.[考法二]某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ，则正三角形的面积为34a 2.由正弦定理得2R ＝a sin 60°，即R ＝33a .所以圆的面积S ＝πR 2＝13πa 2.由几何概型的概率计算公式得概率P ＝34a 213πa 2＝334π. 答案：334π突破点三 概率与统计的综合问题[典例] (2019·广西南宁毕业班摸底)广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2018年某校社会实践小组对某小区参与广场舞的群众进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们的年龄分成6组：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)计算这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数；(2)若从年龄在[20,40)的广场舞者中任选2名，求这2名广场舞者中恰有一人年龄在[30,40)的概率．[解](1)由题知，这40名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数为(0.02＋0.03＋0.025)×10×40＝30.(2)由频率分布直方图可知，年龄在[20,30)的有2人，分别记为a1，a2，年龄在[30,40)的有4人，分别记为b1，b2，b3，b4.现从这6人中任选2人，共有如下15种选法：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)．其中恰有一人年龄在[30,40)的有8种，故这2名广场舞者中恰有一人年龄在[30,40)的概率P＝8 15.[方法技巧]破解概率与统计图表综合问题的“三步曲”[针对训练](2019·贵阳摸底)某高校学生社团为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度，对20名毕业生进行问卷调查(满分100分)，得到如图所示的茎叶图．(1)计算男生打分的平均分，观察茎叶图，评价男、女生打分的分散程度；(2)从打分在80分以上的毕业生中随机抽取3人，求有2女1男被抽中的概率．解：(1)男生打分的平均分为110×(55＋53＋62＋65＋71＋70＋73＋74＋86＋81)＝由茎叶图知，女生打分比较集中，男生打分比较分散．(2)由图可知打分在80分以上的有3女2男，记3名女生分别为A 1，A 2，A 3,2名男生分别为B 1，B 2，从中随机抽取3人的基本事件为A 1A 2A 3，A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 3B 1，A 1A 3B 2，A 1B 1B 2，A 2B 1B 2，A 2A 3B 1，A 2A 3B 2，A 3B 1B 2，共10个，记“有2女1男被抽中”为事件A ，则A 包含的基本事件为A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 3B 1，A 1A 3B 2，A 2A 3B 1，A 2A 3B 2，共6个，故有2女1男被抽中的概率为35. [课时跟踪检测]1．(2019·长沙长郡中学选拔性考试)长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为( )A.25B.35C.13D.23解析：选B 从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛，基本事件总数为10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数为6，故选取的2人恰为一男一女的概率为P ＝m n ＝610＝35.故选B. 2．(2019·合肥质检)某小组有男生8人，女生3人，从中随机抽取男生1人，女生2人，则男生甲和女生乙都被抽到的概率为( )A.16B.18C.112D.124解析：选C 某小组有男生8人，分别记为M 甲，M 2，M 3，M 4，M 5，M 6，M 7，M 8，女生3人，分别记为W 乙，W 2，W 3.从中随机抽取男生1人，女生2人的基本事件为(M 甲，W 乙，W 2)，(M 甲，W 乙，W 3)，(M 甲，W 2，W 3)，…，(M 8，W 乙，W 2)，(M 8，W 乙，W 3)，(M 8，W 2，W 3)，共24个，男生甲和女生乙都被抽到的基本事件为(M 甲，W 乙，W 2)，(M 甲，W 乙，W 3)，共2个，所以男生甲和女生乙都被抽到的概率为224＝112.故选C. 3．(2019·广西五市联考)在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是( )A.12B.13C.14D.16解析：选C 在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成的两位数有：32,34,52,54,23,25,43,45，共8个，其中能被5整除的两位数有：25,45，共2个，故所求概率P ＝28＝14，选C. 4．(2019·成都外国语学校月考)《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概A.3π10B.3π20 C ．1－3π10 D ．1－3π20 解析：选D 直角三角形的斜边长为82＋152＝17，设内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3.∴内切圆的面积为πr 2＝9π，∴豆子落在内切圆外的概率P ＝1－9π12×8×15＝1－3π20. 5．(2019·长春质检)如图，扇形AOB 的圆心角为120°，点P 在弦AB 上，且AP ＝13AB ，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为( )A.14B.13C.27D.38解析：选A 设OA ＝3，则AB ＝33，AP ＝3，由余弦定理可求得OP ＝3，则∠AOP＝30°，所以扇形AOC 的面积为3π4，又扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为3π43π＝14. 6．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－33πB ．4－63πC ．413－32πD ．423 解析：选B 设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24×⎝⎛⎭⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－63π，故选B. 7．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋b 2x ＋1，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.79B.13C.59D.23 解析：选D f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b 2，要使函数f (x )有两个极值点，则有Δ＝(2a )2－4b 2＞0，即a 2＞b 2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．满足a 2＞b 2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为69＝23. 8．(2019·安阳模拟)在边长为a 的正三角形内任取一点P ，则点P 到三个顶点的距离均大于a 2的概率是( ) A ．1112－36π B ．1－36π C ．13D ．14解析：选B 如图，正△ABC 的边长为a ，分别以它的三个顶点为圆心，a 2为半径，在△ABC 内部画圆弧，得到三个扇形，则点P 在这三个扇形外，因此所求概率为34a 2－12×π×⎝⎛⎭⎫a 2234a 2＝1－36π，故选B.9．(2019·石家庄毕业班摸底)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x ，y ，z ，当且仅当y ＞x ，y ＞z 时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )A.23B.13C.16D.112 解析：选B 从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为824＝13，故选B. 10．(2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3解析：选A 法一：∵S △ABC ＝12AB ·AC ，以AB 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫AB 22＝π8AB 2，以AC 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫AC 22＝π8AC 2，以BC 为直径的半圆的面积为12π·⎝⎛⎭⎫BC 22＝π8BC 2，∴S Ⅰ＝12AB ·AC ，S Ⅲ＝π8BC 2－12AB ·AC ， S Ⅱ＝⎝⎛⎭⎫π8AB 2＋π8AC 2－⎝⎛⎭⎫π8BC 2－12AB ·AC ＝12AB ·AC . ∴S Ⅰ＝S Ⅱ.由几何概型概率公式得p 1＝S ⅠS 总，p 2＝S ⅡS 总， ∴p 1＝p 2.故选A.法二：不妨设△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积即△ABC 的面积，为S 1＝12×2×2＝2， 区域Ⅱ的面积S 2＝π×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤π×(2)22－2＝2， 区域Ⅲ的面积S 3＝π×(2)22－2＝π－2. 根据几何概型的概率计算公式，得p 1＝p 2＝2π＋2，p 3＝π－2π＋2， 所以p 1≠p 3，p 2≠p 3，p 1≠p 2＋p 3，故选A.11．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x －甲，x －乙，则x －甲＞x －乙的概率是________．解析：设污损处的数字为m ，由15(84＋85＋87＋90＋m ＋99)＝15(86＋87＋91＋92＋94)，得m ＝5，即当m ＝5时，甲、乙两人的平均成绩相等．m 的取值有0,1,2,3，…，9，共10种可能，其中，当m ＝6,7,8,9时，x －甲＞x －乙，故所求概率为410＝25. 答案：2512．(2018·湖北武汉模拟)某路公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，小明同学在 6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为________．解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P ＝2040＝12. 答案：1213．(2019·南京模拟)口袋中有形状、大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．解析：从袋中一次随机摸出2个球，共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6个基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共4个，因此摸出的2个球的编号之和大于4的概率为46＝23. 答案：2314．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12. (1)求n 的值．(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①记“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2＞(a －b )2恒成立”的概率．解：(1)依题意共有小球n ＋2个，标号为2的小球n 个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为n n ＋2＝12，得n ＝2. (2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a ，b )所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，而满足2≤a ＋b ≤3的结果有8种，故P (A )＝812＝23. ②由①可知，(a －b )2≤4，故x 2＋y 2＞4，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{}(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R ，由几何概型得概率为P ＝22－14π·2222＝1－π4. 15．(2019·昆明适应性检测)某校为了解高一学生周末的阅读时间，从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查，获得了每人的周末阅读时间(单位：h)，按照[0,0.5)，[0.5，1)，…，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．(1)求图中a 的值；(2)估计该校高一学生周末阅读时间的中位数；(3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好都在同一个组的概率．解：(1)由频率分布直方图可知，周末阅读时间在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4，4．5]的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5×a ＋0.5×a .解得a ＝0.30.(2)设中位数为m h.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72＞0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47＜0.5，所以2≤m ＜2.5.由0.50×(m －2)＝0.5－0.47，解得m ＝2.06.故可估计该校高一学生周末阅读时间的中位数为2.06 h.(3)由题意得周末阅读时间在[1,1.5)，[1.5,2)中的学生分别有15人、20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人、4人，分别记作A ，B ，C 及a ，b ，c ，d ，从7人中随机抽取2人，共有AB ，AC ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，BC ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，Ca ，Cb ，Cc ，Cd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共21种，抽取的2人在同一组的有AB ，AC ，BC ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd，共9种，故所求概率P＝921＝37.．。