专题11圆1．（2019•福建）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB=55°，则∠APB 等于A．55°B．70°C．110°D．125°【答案】B【解析】连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB=55°，∴∠AOB=110°，∴∠APB=360°-90°-90°-110°=70°．故选B．2．（2019•重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C=40°，则∠B的度数为A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】B【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，且∠C=40°，∴∠ABC=50°，故选B．3．（2019•长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是A．2πB．4πC．12πD．24π【答案】C【解析】S==12π，故选C．4．（2019•甘肃）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=A．54°B．64°C．27°D．37°【答案】C【解析】∵∠AOC=126°，∴∠BOC=180°-∠AOC=54°，∵∠CDB=∠BOC=27°．故选C．5．（2019•成都）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD 的度数为A．30°B．36°C．60°D．72°【答案】B【解析】如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD==72°，∴∠CPD=∠COD=36°，故选B．6．（2019•金华）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为A．2B．C．D．【答案】D【解析】∵∠A=90°，AB=AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，BD=AB，∵∠ABC=105°，∴∠CBD=60°，而CB=CD，∴△CBD为等边三角形，∴BC=BD=AB，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB∶CB，∴下面圆锥的侧面积=×1=．故选D．7．（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为A．25m B．24m C．30m D．60m【答案】A【解析】∵OC⊥AB，∴AD=DB=20m，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，设半径为r得：r2=（r-10）2+202，解得r=25m，∴这段弯路的半径为25m，故选A．8．（2019•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为A．B．C．2-πD．4-【答案】A【解析】∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2，∴tan A=，∴∠A=30°，∴∠DOB=60°，∵OD=AB=，∴DE=，∴阴影部分的面积是：，故选A．9．（2019•黄冈）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为__________．【答案】4π【解析】扇形的弧长==4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．∴面积为：4π，故答案为：4π．10．（2019•安徽）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为__________．【答案】【解析】如图，连接CO并延长交⊙O于E，连接BE，则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O的半径为2，∴CE=4，∴BC=CE=2，∵CD⊥AB，∠CBA=45°，∴CD=BC=，故答案为：．11．（2019•杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于__________cm2（结果精确到个位）．【答案】113【解析】这个冰淇淋外壳的侧面积=×2π×3×12=36π≈113（cm2）．故答案为：113．12．（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留π）【答案】π-1【解析】如图，延长DC，CB交⊙O于M，N，-S正方形ABCD）=×（4π-4）=π-1，故答案为：π-1．则图中阴影部分的面积=×（S圆O13．（2019•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥O A．若OA=，则阴影部分的面积为__________．【答案】【解析】如图，作OE⊥AB于点F，∵在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥O A．OA=，∴∠AOD=90°，∠BOC=90°，OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴OD=OA·tan30°==2，AD=4，AB=2AF=2×2=6，OF=，∴BD=2，+S扇形OBC-S△BDO=，∴阴影部分的面积是：S△AOD故答案为：．14．（2019•重庆）如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是__________．【答案】【解析】如图，连接AE，∵∠ADE=90°，AE=AB=4，AD=，∴sin∠AED=，∴∠AED=45°，∴∠EAD=45°，∠EAB=45°，∴AD=DE=，∴阴影部分的面积是：=，故答案为：．15．（2019•广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为__________寸．【答案】26【解析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．16．（2019•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠CAD；（2）若AF=10，BC=，求tan∠BAD的值．【解析】（1）∵AB=AC，∴，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ADB，∠ABC=（180°-∠BAC）=90°-∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°-∠CAD，∴∠BAC=∠CAD，∴∠BAC=2∠CAD．（2）∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCF，∴∠BDC=2∠DFC，∴∠BFC=∠BDC=∠BAC=∠FBC，∴CB=CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．又BC=，设AE=x，CE=10-x，由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，∴AE=6，BE=8，CE=4，∴DE==3，∴BD=BE+DE=3+8=11，如图，作DH⊥AB，垂足为H，∵AB·DH=BD·AE，∴DH=，∴BH=，∴AH=AB-BH=10-，∴tan∠BAD=．17．（2019•河南）如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E 是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB=4，且点E是的中点，则DF的长为__________；②取的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG．（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵=sin∠ABD=sin45°=，∴，即BF=FD，∵AB=4，∴BD=4cos45°=2，即BF+FD=2，（+1）FD=2，∴FD==4-2，故答案为：4-2．②连接OH，EH，∵点H是的中点，∴OH⊥AE，∵∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OH，∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH=OB=AB，∴sin∠EAB==，∴∠EAB=30°．故答案为：30°．18．（2019•滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D 作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2=4CF·AC；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF=15°，求阴影部分的面积．【解析】（1）如图所示，连接OD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，而OB=OD，∴∠ODB=∠ABC=∠C，∵DF⊥AC，∴∠CDF+∠C=90°，∴∠CDF+∠ODB=90°，∴∠ODF=90°，∴直线DF是⊙O的切线．（2）连接AD，则AD⊥BC，则AB=AC，则DB=DC=，∵∠CDF+∠C=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠CDF=∠DCA，而∠DFC=∠ADC=90°，∴△CFD∽△CDA，∴CD2=CF·AC，即BC2=4CF·AC．（3）连接OE，∵∠CDF=15°，∠C=75°，∴∠OAE=30°=∠OEA，∴∠AOE=120°，S△OAE=AE·OE·sin∠OEA=×2×OE×cos∠OEA×OE sin∠OEA=，S阴影部分=S扇形OAE-S△OAE=×π×42-=-．。