定义6.2.6如果对码C采用最小距离译码时，它可以纠正码C中任何一个与码字x距离小于或等于t个错误，则称码C为可纠正t个错误的纠错码；如果C能纠正t个错误而不能纠正t+1个错误，则称码C为恰好可纠正t个错误的纠错码。
根据定义，恰好可纠正t个错误的纠错码可以纠正不多于t的个错误，码的最小距离与纠错性能有如下关系。
第二节课：
6.2码的基本定义与纠错检错能力。----------35分钟
6.3编码理论的基本问题。----------------------10分钟
例题、练习题
例题：结合相关概念给出例题。
作业、思考题
P140页6.1, 6.2题
教案
内容
备注
第六章编码理论的基本知识
6.1代数码理论的基本特点
编码理论中具有以下特点。
定理6.2.3码C恰好可纠正t个错误的充分必要条件为d(C)=2t+1或2t+2。
推论6.2.1d(C)=d的充分必要条件是码C恰好可纠正 个错误。
例6.2.4我们称以下类型的码为码长n的q元重复码，如C={00…0,11…1,…,(q-1)(q-1)…(q-1)}因为d(C)=n，所以码C既是一个恰好可以纠正个错误的纠错码，同时又是一个恰好可以检出n-1个错误的检错码。
定义6.2.2设 ，那么x和y的汉明距离d(x,y)为x和y中不同的位置个数，因此 其中 而 。由此看来，汉明距离函数d(x,y)是 的映射，其中N为全体非负整数。我们以下记d(x)为x的汉明势，这是x中非另分量的个数。
定理6.2.1如果d(x,y)是V(n,q)上的汉明距离函数，那么对任意 ,满足下列性质：
东北电力大学
教案封皮
开课单位
理学院信息与计算教研室
课程名称
信息与编码
授课教师
常志文
授课对象
信息与计算专业121
选用教材
信息论与编码理论（沈世镒）
总学时
60（含课内实验10学时）
课次
15
第6章
第1~3节代数码理论的基本特点，码的定义与纠错检错能力。
教学目的
及要求
教学目的及要求：
掌握代数码的基本概念；
掌握代数码的纠错与检错能力。
(3)代数码理论与通信工程密切结合，在有限域中的运算都可通过逻辑电路实现且编、译码运算还要求与通信实时、同步完成。因此，我们在学习代数码理论时不仅要注意它的袋鼠结构，还要注意它的计算复杂度。
6.2码的基本定义与纠错、检错能力
6.2.1码的基本定义
定义6.2.1如果C为V(n,q)中的任一非空子集，那么称C为q元分组码，称n为分组长度，C中的每一个向量(或字串)为一个码字，如果|C|=M，那么称C为一个(q,n,M)码或q为元(n,M)码，该码的码率定义为
结合实际应用
结合实例计算
结合实例计算
结合实例说明最小距离译码方法
系统码与检错码关系。
纠错能力好坏直接关系到码的实用性。
给出实例计算。
纠错码进一步结论。
例6.2.3二元码C={000.100.010.001}不是系统码。
6.2.2码的检错和纠错能力
检测码和纠错码就是一个码在信息传递时可以自动发现与纠正差错。这种检测和纠错能力与码的最小距离有关，我们在下文中详细叙述。
定义6.2.4设C是一个(n,M)码，码C的最小距离定义为 。我们用(n,M,d)表示码长为n，大小为M，最小距离为d的码。
(1)非负性： 的充分必要条件为x=y；
(2)对称性：d(x,y)=d(y,x)；
(3)三角不等式： 。
因此，具有汉明距离d(x,y)定义的V(n,q)是一个距离空间，又称为汉明空间。
对任何 ，就有一个 使 ，对任何 ，这时有 ，对任何 成立，我们称 是y最大似然译码或最小汉明距离译码。
定义6.2.3设C是q元 码，如果存在一个下标集合 ，使得码C去掉其他的n-k个位置所得字的全体为 上长度为k的所有串的集合 ，也就是 。那么码C称为具有k个信息位的q元系统码。集合 称为信息位，其余n-k个位置称为校验位或冗余度。
(1)充分利用代数工具，把码的结构与编、译码算法用代数方法给以表达与计算。
(2)这里评价码好坏的标准与第一部分不同，第一部分信道编码定理的要求是消息传递误差要非常小。而第二部分对码好坏的评价只是纠错或检错能力。因此，代数码只能起到降低通信中的误差概率的作用，如果信道对信号传输本身的误差概率就很小，那么通过代数码理论就可实现优质通信。
如果信源信息可以表示成 上长度为k的所有串的集合 ，则一个具有k个信息位的q元系统码可以把每一个信源信息在保持不变的条件下嵌入一个码字，下面举例说明。
例6.2.2二元码C={0000,0110,1001,1010}是系统码。
上例中的编码方法称为系统编码，它的译码过程很简单，我们可以直接从码字的信息位上中读出信源字符。
定义6.2.5如果对码C中每一个码字，当发生至多t个(至少一个)错误时，所产生的字表示码字，则称码C为可检查码；如果能检查t个错误而不能检查t+1个错误，则称码C为恰好可检查t个错误的检错码。
由码的检错性定义可得对任何 ，与任何 ，如果 那么y必不在C中，因此有以下定理成立。
定理6.2.2码C恰好可检查t个错误的充分必要条件为d(C)=t+1。
教学重点处理安排
教学重点：
代数码的基本概念与纠错检错能力；
处理安排：
通过代数码的实例与相关理论来说明。
教学难点处理安排
教学难点：
码的汉明距离、重量与最小距离的计算；
处理安排：
通过例题及练习题来巩固相关知识。
教学方式、
方法
方式（手段）：多媒体；
方法：讲授法。
教学
内容
及时
间分
配
第一节课：
6.1代数码理论的基本特点；-------------------45分钟