解：由平面几何知识可知，D 点的运动轨迹为以 OO1 中点 C 为圆心，以 l / 2 为半径的圆弧。 建立如图所示直角坐标系，则 D 点的坐标为：
x=
l cosθ 2 l y = sin θ 2
其中 θ = 2ϕ 。
y
θ
C
x
D 点的速度和加速度为别为： l l & &i + y & j = − θ& sin θ i + θ v=x cos θ j = − lω 0 sin θ i + lω 0 cos θ j 2 2
&τ = Rϕ & τ υ =s
& n & 2 / R)n = Rϕ &&τ + R ϕ a = && sτ + ( s
2
&& = Rϕ & 2 ，则 ϕ && = ϕ & 2 ，积分得 dϕ & /ϕ & = dϕ ，即 由已知条件， Rϕ
& =ϕ +c ln ϕ
由初始条件， t = 0 时 (1)
& 、ϕ && 代入 a ，可得： 把ϕ
u 2 cos ϕ 。 r 2 sin 3 ϕ
a=
u2 r sin 3 ϕ
1-8 一个点沿着半径为 R 的圆周运动，任一瞬时该点的切向加速度大小都与法向加速度大 小相等，初速度为 υ0 。求走完第一圈所需的时间，并求回到出发点瞬时该点的速度大小、 切向加速度大小、法向加速度大小。 解：根据题意，有
2 2
2
１－６ 小车 A 与 B 以绳索相连，放置如图。A 车高出 B 车 1.5m。小车 A 以匀速 v A = 0.4 而拉动 B 车，设开始时 BC = l0 = 4.5 m。求 5 秒后小车 B 的速度大小与加速度大小。
m/s 前进
解：在图示坐标系中，O 为原点，小车 B 的水平坐标为 x ，且令 ∠BCO = θ 。
化简后得
cos ( α − β ) =
而 ∠AOB = α − β ，故 ∠AOB = cos −1 ⎜
2ab a + b2
2
⎛ 2ab ⎞ 。 2 2 ⎟ ⎝ a +b ⎠
2 & = h ，其中h为常数，证明点的径向加速度等于 1-10 点在平面内运动（如图），如果有 r θ
ar =
h 2 dp −2 ，其中p为极点到运动轨迹在该点切线的距离。 2 dr
1-1
图示曲线规尺的杆长 OA＝AB＝200mm， 而 CD＝DE＝AC＝AE＝50mm。 如果 OA 绕 O
轴转动的规律是 ϕ = πt / 5 ，初始时 t = 0，求尺上 D 点的运动方程和轨迹。
解：A 点运动已知，欲求 D 点运动，可以从 D 点和 A 点的几何关系出发求解。取图示的坐 标系，以 xi , yi , (i = A, B, C , D, E ) 分别表示各点的 x, y 坐标。
解：如图所示。 M 在直线 BCA 运动，设其运动的位移、速度、加速度分别为 x,υ , a 。
'
x
θ
易知
θ = ωt ， ω = υ 0 R ， x = R tan θ = R tan (υ0t R )
于是
2 & = 2υ0 & = υ0 sec2 (υ0t R ) ， a = υ υ=x R ⋅ sin (υ0t R ) ⋅ sec3 (υ0t R )
得到 D 点的运动方程为
2 2 xD yD + = 1 ， 运动轨迹为椭圆的一部分。 2002 1002
1-2 图示 AB 杆长为 l ，绕 B 点按 ϕ = ωt 的规律转动。与杆连接的滑块按 s = a + b sin ωt 的规律沿水平方向作简谐振动，其中 a 、 b 、 ω 为常数，求 A 点的轨迹。
运动轨迹为椭圆。
θ １－３ 半径为 r 的半圆形凸轮以等速 v0 在水平面上滑动，如图所示，求当
速度大小与加速度大小（杆与凸轮的接触点为 M） 。
=30 瞬时顶杆上升的 °
解：取如图所示的坐标系，y 轴沿着顶杆向上，x 轴在水平面上沿着凸轮运动方向。
y
x
由已知条件可得 M 点的坐标为
2 2 x = 0 ， y = r 2 − (r − v0 t ) 2 = 2rv0 t − v0 t
解：在 t 时刻，点 A 的在 oxy 坐标中的坐标为
x A = x B + l sin ϕ , y A = l cosϕ 将 x B = s = a + b sin ϕ 代入上式，可得 A 的运动方程为 2 2 ⎛ xA − a ⎞ ⎛ yA ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = 1 ⎝ b+l ⎠ ⎝ l ⎠
解：如图所示将速度v沿径向、横向分解为 vr , vϕ 。由图中两个相似三角形的性质得
⎛ vϕ ⎞ ⎛ v ⎞ 2 ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ p ⎠ ⎝r ⎠
2
v
vr
vϕ
& , v 2 = v 2 + v 2 = r 2θ &2 + r & 2 ，得： 代入 vϕ = rθ ϕ r
p
−2
& 2 r 2r & 2 + r 2θ &2 + h2 r = = h2 r 2h2 && 2 ⎤ ⎡ 2r & −2 = r &⎢ 2 − 3 ⎥ p ⎣h r ⎦
&= 又∵ s
∴& s& =
ρ2
（1）
&2 + y &2 x
&& &+ y && & x x y &2 + y &2 x &2 + y & 2 )3/ 2 (x &&& − yx &&& xy
y
x
解：由 υ sin ϕ = u ，可得：
υ=
u sin ϕ
取如图所示的直角坐标系，则 M 点的坐标为：
x = −r cos ϕ y = r sin ϕ
对 x 、 y 分别对时间求导可得 M 点的速度、加速度分别为：
&i + y & j = rϕ & sin ϕ i + rϕ & cos ϕ j υ=x
⎛ 2ab ⎞ 。 ∠AOB = cos −1 ⎜ 2 2 ⎟ ⎝a +b ⎠
解： A, B 两点用极坐标表示为： A( a, α ), B (b, β) ，则
OA − OB = a cos αi + a sin αj − ( b cos β i + b sin β j ) = ( a cos α − b cos β ) i + ( a sin α − b sin β ) j
(
)
5 秒后， l = l 0 − 5v A ，此时 csc θ =
5 4 ， tan θ = ，可得： 3 4 vB = 0.5m / s
a B = 0.045m / s 2
1-7 点 M 沿半径为 r 的圆弧运动，该点的速度 v 在直径 AB 方向上的投影 u 是常数。求点 M 的速度和角φ的关系。
ρ=
&2 + y & 2 )3 / 2 (x 。 && &− y && & x y x
证明：已知 x = x (t ) ， y = y (t ) ，则点的速度和加速度分别为
&i + y & j ， a = && v=x xi + && yj
sτ + 同时 a = &&
&2 s
ρ
n，
&4 s
&2 + & &2 = & ∴& x y s&2 +
故
& −2 2 r && 2 dp = 2 − 3。 & dr h r & = && − rθ 而 ar = r
2
&& 2 ⎞ & −2 h 2 ⎛ 2r h 2 dp ⎜ 2 − 3 ⎟，因此 a r = ，证毕。 & 2 ⎝h 2 dr r ⎠
若点在平面内运动，其运动方程为 x = x (t ) ， y = y (t ) ，证明运动轨迹的曲率半径为
CD = DE = AC = AE 可知： 由 OA = AB ， 运动过程中 ACDE 始终为一个平行四边形，
故
xD = xA ， y A + yD = 2 yC
∵ OA 绕 O 轴转动，转角为 ϕ =
πt
5 πt πt ∴ x A = OA cos ϕ = 200 cos ， y A = OA sin ϕ = 200sin 5 5 πt yC = OC sin ϕ = (OA − AC ) sin ϕ = 150 sin 5 πt πt ∴ xD = x A = 200 cos (mm)， yD = 2 yC − y A = 100sin (mm) 5 5
T = ( R / υ 0 )(1 − e −2π )
此时
& = υ 0 e 2π υ = Rϕ
ar = an = (υ 0 2 / R )e 4π
1-9 两质点 A、B 分别沿着两个半径分别为 a、b 的同心圆周运动，这两个质点的速率之比 与 所 在 圆 周 的 半 径 成 反 比 ， 求 证 ： 若 两 质 点 的 相 对 速 度 与 AB 连 线 平 行r 2 2