等比数列的前n 项和
命题分析：
1. 高考主要考查两种基本数列（等差与等比数列）、两种基本求和方法（裂项求和法、错
位相减法）、两类综合（与函数综合、与不等式综合），主要突出数学思想的应用。

2. 若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；
若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也会出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时要引起关注。

一、首先回忆一下基本内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。

公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：
｛n a ｝成等比数列 ⇔n
n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件（前提条件）。

2. 等比数列的通项公式:
)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， 1(0)n m n m a a q a q -=⋅⋅≠
3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
4．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.
5．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅
6．判断等比数列的方法：定义法，等比中项法，通项公式法
如： 有一个数列满足135-⋅=n n a ，与公式)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 比较我们可以
判断出这个数列为等比数列且3,51==q a 。

二、 【趣味数学问题】
传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨•班•达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏．
国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”．
国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒．
计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，
也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺．
这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？
各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨•班•达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和．
*动脑思考 探索新知
如何求数列1，2，4，…262，263的各项和
以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：
636264228421+++++= S ①
26463642216842+++++= S ②
由②—①可得：126464-=S
这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法”，是研究数列求和的一个重要方法
公式的推导方法二：
=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a
＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+
⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）
公式的推导方法三：
当11(1)1,11n n n a a q a q q s q q
--≠==--时 当 11n q s na ==时， “方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决
现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？ 国王承诺奖赏的麦粒数为
646419641(12)21 1.841012
S -==-≈⨯-， 据测量，一般麦子的千粒重约为40g ，则这些麦子的总质量约为7.36×1710g ，约合7360多亿吨．我国2000年小麦的全国产量才约为1.14亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！(全世界目前的小麦总产量约为6亿吨)
*巩固知识 典型例题
例1 求出等比数列 ,27,9,3,1--的前8项的和．
解 因为313,11-=-==q a ，所以等比数列的前n 项和为 1[1(3)]1(3)1(3)4
n n
n S ⨯----==--， 故 8
81(3)16404
S --==-． 例 2求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解 由2 2,121===q a a 得
1521)21(144=--⨯=∴S ， 10232
1)21(11010=--⨯=S 从第5项到第10项的和为10S -4S =1008
例3. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且关于x 的方程a 1x 2﹣a 3x +a 2=0有两个相等的实根，则
=（ ） A ．5 B ．14 C ．21 D ．27
【考点】89：等比数列的前n 项和．
【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】根据题意，若关于x 的方程a 1x 2﹣a 3x +a 2=0有两个相等的实根，分析可得a 3）2﹣4a 1a 2=0，变形可得q 3=4，由等比数列的前n 项公式可得
==，代入q 3=4计算即可得答案．
【解答】解：根据题意，关于x 的方程a 1x 2﹣a 3x +a 2=0有两个相等的实根， 则有（a 3）2﹣4a 1a 2=0，变形可得q 4﹣4q=0，
即q 3=4，
则====21；
故选：C．
（2018•江西模拟）已知正项等比数列{a n}的公比为3，若，则的最小值等于（）
A．1 B．C．D．
【考点】8I：数列与函数的综合；8H：数列递推式．
【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用；
54 ：等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的性质推出m、n的关系，然后求解表达式的最小值即可．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比为3，若=a32，可得m+n=6．
m=1，n=5；m=2，n=4；m=4，n=2，m=5，n=1；
当m=1，n=5时；则=2+，
当m=2，n=4时；=1+，
当m=5，n=1时，=+，
当m=4，n=2时，=+=，
的最小值等于．
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．（2018•乌鲁木齐模拟）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，a n+1﹣a n==2，n ∈N*，则数列{b}的前10项的和为（）
A．B．C．D．
【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a n }与{b n }的通项公式，进而表达出的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n 项和的公式计算出答案即可．
【解答】解：由题意可得，
所以数列{a n }是等差数列，且公差是2，{b n }是等比数列，且公比是2． 又因为a 1=1，所以a n =a 1+（n ﹣1）d=2n ﹣1． 所以
=b 1•22n ﹣2=22n ﹣2． 设c n =
，所以c n =22n ﹣2， 所以，所以数列{c n }是等比数列，且公比为4，首项为1．
由等比数列的前n 项和的公式得：其前10 项的和为
． 故选：D ．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n 项和的表示
例4 231{a }1,2,3,4...(0),n n x x x nx x n -≠设数列为求此数列的前项和n s
反馈练习
1．求等比数列91，92，94，9
8，…的前10项的和． 2．已知等比数列｛n a ｝的公比为2，4S ＝１，求8S ．
*归纳小结 强化思想
1. 等比数列求和公式：当q=1时，1na S n =
当1≠q 时，q
q a a S n n --=11 或q q a S n n --=1)1(1 ； 2．可用多种方法（错位相减法、方程法、等比性质法）推导出了等比数列的前n 项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．
3. (0,1)n n s q q q λλλ=-≠≠ （此为等比数列的前n 项和的一般形式）
*教学反思。