[线性定常系统和线性时变系统]：可以用线性定常（常系数）微分方程描述 的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数， 则这类系统为线性时变系统。
宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料 的消耗而变化）。
[非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。
下面是非线性系统的一些例子：
d2x dt 2
( dx)2 dt
x
Asin t,
d2x dt 2
(x2
1)
dx dt
x
0,
d2x dt 2
dx dt
x
x3
0
古典控制理论中（我们所正在学习的），采用的是单输入单输出描述方 法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能 力是极其有限的。
Tm
Ra J CeCm
分别称为电磁时间常数和机电时间常数
Ku
1 Ce
和
Km
Ra CeCm
分别是转速与电压传递系数和转速与负载
传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。
3.线性系统微分方程的编写步骤：
⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。
⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素， 对非线性元部件进行线性化等。
4、线性方程的求解：
研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化 情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。 在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。
[拉氏变换求微分方程解的步骤]： ①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。 ②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。
M c 上的负载转矩Mc，输出是转速
J
电枢回路方程为
La
di dt
Rai
ea
ua
其中ea 为反电势
ea K1
此时激磁电流为常数，所以
N
S
K f i f 常数 ea K1K f i f Ce
电机通电后产生转矩
Ce称为电动机电势常数
m K2ia K2K f i f ia Cmia
Cm称为电动机转矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程
J
d
dt
m
mc
La
di dt
Rai
ea
ua
ea Ce
m Cmia
J
d
dt
m
mc
整理得
La J CeCm
d 2 dt 2
Ra J CeCm
d dt
ua Ce
La CeCm
dmc dt
Ra mc CeCm
TaTm
d 2 dt 2
Tm
d dt
Kuua
Km (Ta
dmc dt
mc )
其中Ta RLaa和
dt
C
uo
1 C
idt
②
由②： i C，d代u入o ①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
[例2-2] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输 出量为位移x。
Fk
F kx
m
m
f x fx mx
[解]：图1和图2分别为系统原理 结构图和质量块受力分析图。 图中，m为质量，f为粘性阻 尼系数，k为弹性系数。
2.1 控制系统的微分方程
微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理 来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学 中的热力学定理等。
[例2-1]：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di Ri 1 idt ui ①
转速的变化仅由负载干扰引起。增量表达式如下：
TaTm 1 K0
T m
1
K0
K0
Km (TaMC
Mc)
⑵对于随动系统，则 Mc =常数，M c 0, Mc 0 ，故：
TaTm 1 K0
T m 1
K0
K0
K 1 K0
(ug
ug
)
根据上式可以讨论输出转速跟随给定输入电压的变化情况。
⑶论若两种u g输和入M 作c都用是引变起化的的转，速则变对化于，线然性后系相统加应。用叠加原理分别讨
图1
图2
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：
mx fx kx F
这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。
在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：
kg, N.s / m, N / m
[例2-3]电枢控制式直流电动机
M
ω
这里输入是电枢电压ua和等效到电机转轴
⑶速度控制系统方块图：
u u u g
e
-
运放Ⅰ
1 运放Ⅱ
u2
功放
ua
Mc
电动机
uf
测速
⑷各环节微分方程：
运放Ⅰ：u1 k1(ug u f ) k1ue ， 运放Ⅱ：u2 k2 (u1 u1)
功率放大：ua k3u2 ，反馈环节：u f k f
电动机环节：TaTm Tm knua km (TaMc M c )
见例2-4
⑸消去中间变量：推出 ~ ug(Mc) 之间的关系：
TaTm 1 K0
T m
1
K0
K0
K 1 K0
(ug
ug
)
Km (TaMC
Mc)
显然，转速 既与输入量u g有关，也与干扰 Mc有关。
[增量式分析] (上式等号两端取增量)：
⑴对于恒值调速系统，u g =常量，则ug 0, ug 0 。
⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消 去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。
[例2-4]：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。
ug ue+ u1
+
u 2率 功 ua
放 大器
Mc 负载
uf
[解]：⑴该系统的组成和原理；
测速发电机
⑵该系统的输出量是 ，输入量是ug，扰动量是 M c
第二章 自动控制系统的数学模型
本章的主要内容
控制系统的微分方程-建立和求解 控制系统的传递函数 控制系统的结构图-等效变换 控制系统的信号流图-梅逊公式
概述
[数学模型]：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以 及状态空间描述等。 例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以 得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。所以建立控制系统 的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。
控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统，定常 系统和时变系统。
[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加原理说明， 两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的 响应之和。
线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对每 一个输入量响应的结果进行叠加。