研究平抛运动的实验
[摘要]：本文通过平抛运动的基本位移公式以及数学中的等比性质，详细地讨论了各种情况下平抛运动实验中求初速度的方法。
在讨论的过程中，等比性质起到了关键性的作用，它使得在处理数据时一个量与某个量的商变成了这个量的变化量与另一个量的商，从而逐步地脱离了对坐标系的依赖。
[关键词]：平抛运动、数据处理、研究平抛运动的实验、等比性质、求初速度 [正文]
在平抛运动的实验中，求物体的初速度是一个主要的内容。
从原理上来说，这并不是一个困难的问题，但由于实验中的不细心或者由于出题人的细心设计，会使问题变得并不怎么太简单。
下面就初速度的求法问题进行讨论，在讨论的过程中，我们将沿着从简单到复杂的过程。
1．按照实验的要求，记下了x 轴y 轴，以及坐标原点的位置，并且轨迹已经描好。
如图1所示，在这种情况下，我们只需在轨迹上找到一个点A （在这里我们不打算去计较计算出来的结果的准确程度，只是从理论上讨论求出这个速度的可能性）。
然后分别做两坐标轴的垂线，就找到了物体运动到这一点的横坐标x 和纵坐标y 。
并且可以测出这两个量的数值。
由平抛物体的运动规律有：
t v x 0 (1)
. O x
y
x
y
A
图1
2
2
1gt y =
(2)
由上面两式可得：
y
g x
v 20= (3)
2．只记下了x 轴或者y 轴 我们先讨论只记下了x 轴的情况。
由上面的（3）式可知，对于具有不同坐标的点A ),(11y x 、B ),(22y x 有：
()()
1
2121
212
2
2
1
1
02
2222y y x x g y y g x g x y g x y g x v -
-=
-
-===
即：
(
)
1
202
y y x g v -∆=
(4)
这个方程的意义是：只要知道两个点的纵坐标值以及两个点间的水平距离，就可以把物体的初速度求出来。
具体的做法如下：
如图2所示，在轨迹上找两个不同的点A 、B 。
分别通过两点向x 轴做垂线段，其长度分别为1y 、2y ，两垂足间的距离为x ∆。
将测出来的这三个数据代入（4）式便可求出平抛物体的初速度。
下面我们讨论只记下了y 轴的情况 （3）式两边平方可得：
y
gx
v 22
2
=
(5)
. x Δx
y 1
图2
A
B
y 2
.
对于具有不同坐标的点A ),(11y x 、B ),(22y x 有：
(
)()
122
1
221
22
1
222
21
2
1
20
22222y y x x g y y gx gx y
gx y gx v --=
--=
=
=
即：
(
)y
x x g v ∆-=
22
1
220 (6)
这个方程的意义是：只要知道两个点的横坐标值以及两个点间的竖直距离，就可以把物体的初速度求出来。
具体的做法如下：
如图3所示，在轨迹上找两个不同的点A 、B 。
分别通过两点向y 轴做垂线段，其长度分别为1x 、2x ，两垂足间的距离为y ∆。
将测出来的这三个数据代入（6）式便可求出平抛物体的初速度。
3．只记下了水平方向或竖直方向 我们先考虑只记下了水平方向的情况：
由（6）式两边平方可知，对于轨迹上不同的三点A ),(11y x 、B ),(22y x 、C ),(33y x 有： (
)()
()()
()(
)
()()
()()()()[]
()()
12231212232312232
1
222
223
232
2
23
122
1
2220
222222y y y y x x x x x x x x g y y y y x x g x x
g y y x x
g y y x x g v ---+--+-=
------=--=--=
令1223x x x x x -=-=∆，121y y y -=∆，232y y y -=∆有： ()()
()
()
1
22
1212232
02y y x g y y x x x x x g v ∆-∆∆=
∆-∆--+∆=
.
Δy
x 1 图3
A
B
x 2
. y
即：
1
20y y g x
v ∆-∆∆= (7)
这个方程的意义是：只要知道水平距离相等的三个点以及三个点间的竖直距离，就可以把物体的初速度求出来。
具体的做法如下：
如图4所示，随意作出一条与水平方向垂直的直线做为竖直线（可能不是y 轴）。
在水平方向上（可能不是x 轴）找两个相等长度（x ∆）的相邻线段，以这两个线段上的三个点做竖直线，与轨迹的交点依次为A 、B 、C 。
过这三个点做水平线与做出的竖直线相交，这样我们得到了长度为1y ∆和2y ∆的两条线段。
用刻度尺测出x ∆、1y ∆、2y ∆的长度，代入（7）式便可得到物体的初速度。
若只知道竖直方向，我们可以先做一条与竖直方向垂直的水平线，然后按照只知道水平方向求初速度的方法就可以求出物体的初速度。
附加部分
一
下面我们总结一下上面的分析过程：
如果把一个完整的直角坐标系看成是由几个要素组成的。
那么应该有：
x a ：坐标原点的水平位置； y a ：坐标原点的竖直位置；
Δy 1 图4
C
. B
A
. . Δy 2
Δx Δx
b ：水平方向； d ：竖直方向；
c ：单位长度；
实际上，对于上面的b 、d ，只要知道其中的一个，另一个也就确定了。
这就是说上面的五个要素实际上只有四个是独立的。
另外，在一个运算中如果我们在轨迹上只选择一个点，就记为p ，取两个点就记为p 2，以此类推。
那么，上面的对于不同情况的讨论所利用的条件（下面所涉及的一些情况上面没有进行讨论，但也很容易得到类似的操作方法）可以简单记为：
x a 、y a 、b 、c 、p x a 、y a 、d 、c 、p x a 、b 、c 、2p x a 、d 、c 、2p y a 、b 、c 、2p y a 、d 、c 、2p
b 、
c 、3p
d 、c 、3p
可以看到，我们在上面求初速度的讨论中其实是越来越少利用坐标系的要素，越来越多的利用轨迹上的点，并且每次计算中都是用到了五个要素。
根据这个规律，我们似乎可以断定下面计算初速度的可能性：
c 、4p b 、4p
d 、4p 5p
但我们要清楚，拒绝使用要素c 就等于拒绝使用刻度尺。
一个似乎很具有挑战性的问题是：如果不用刻度尺，怎么会得到初速度呢？甚至我们连长度都不能测量。
但在没有证明上面所做的猜测错误前，我们还是保留他的可能性。
作为一个问题提出来：如果可能求出初速度，应该怎么求？如果求不出来，有什么理由去否定它？
二
另外，读者可能会感到上面几种求初速度的方法推导过程过于复杂，不如直接用常规的方法更简单。
事实或许是这样，但是上面的推导过程也并不复杂（如果说复杂，则只可能是计算过程），而且相对来说，它所用到的数学以及物理知识更简单。
如果我们在这里做一个
归纳，则上面所有有关初速度的推导只用到了下面的三个规律：
[1]：平抛运动的水平分运动是匀速直线运动。
t v x 0= [2]：平抛运动的竖直分运动是自由落体运动。
2
21gt y =
[3]：等比性质。
b
d a c d c b a k --===
三
从求初速度的几个推导过程来看，等比性质起到了由函数值构造函数值的增量的作用。
并帮助我们在求初速度时逐步摆脱了对坐标系的依赖。