14
（ ２ ） 非齐次方程的特解 体系强迫振动运动方程为 ： 非齐次方程的特解即杜哈梅 （ Ｄｕｈａｍｅ ｌ ） 积分 ， 表达式为 ：
15
（ ３ ） 单自 由度弹性体系的运动方程的通解 单自由度弹性体系的运动方程的通解为齐次通 解与非齐次特解之和 ， 即 ：
16
17
３．２．２ 地震反应谱 由上节可知 ， 可通过式 （ ３ ． １５ ）、 式 （ ３ ． １６ ） 和式 （ ３ ． １７ ） 计算单 自 由 度弹性体系 在水平地震作用下的相对位移 、 速度和绝对加速度 。 由 于地震地面运动加速度时 程曲 线 ｘ ｇ （ ｔ ） 是随机过程 ， 不能用确定 的函数来表达 ， 上述公式中的积分只能用数值积 分来完成 。
1
Байду номын сангаас
１ ） 静力理论阶段 国际上最早形成抗震理论并用于抗震设计的是 日本 。 由于日本地处环太平洋地震带上 ， 全国均 属于强震区 ， 地震活动频繁 ， 致使抗震研究和理 论发展也较早 。 早在 １９ 世纪末期 ， 日本即已 开始震害预防研究 ； ２０ 世纪 ２０ 年代 ， 在吸 取了日 本关东地震和其他地震经验的基础上 ， 大 森房吉 、 佐野利器等即提出静力计算法来近似分 析地震动影响 。
18
１ ） 反应谱的定义 对于结构抗震设计来说 ， 设计者感兴趣的是 结构最大地震反应 ， 因此 ， 将单自由度弹性体 系的最大绝对加速度 、 最大相对速度和最大相对 位移定义为 Ｓ ａ 、 Ｓ ｖ 和 Ｓ ｄ ， 且做以下简 化处理 ：
19
① 由于一般结构的阻尼比 ζ 很小 ， 范围大致 为 ０ ． ０１ ～ ０ ． １ ， 因此忽略上述公式中 带有 ζ 和 ζ ２ 项 ； ②取ω′＝ω； ③ 用 ｓｉｎ ω （ ｔ － τ ） 取代 ｃｏｓ ω （ ｔ － τ ）， 作这样处理并不影响公式的最大值 ， 只 是在相位上相差 π ／ ２ 。
３ 地震作用
３ .１ 概 述 使结构产生内力或变形的原因称为 “ 作用 ” ，作用分直接作用和间接作用两种。各种荷载作用 （如自重、风载等）属于直接作用，而各种非荷载 作用（如混凝土收缩、温度变化、基础沉降等）为 间接作用。结构地震反应是由 于地震动通过结构惯 性引 起的，因此地震作用属于间接作用。
4
３ ） 动力分析阶段 时程分析法的产生是一种飞跃 ， 它使抗震计 算理论由 等效静力分析进入直接动力 分析 。 时程 分析法是对结构物的运动微分方程直接进行逐步积 分求解的一种动力分析方法 。 由 时程分析可得到 各质点随时间变化的位移 、 速度和加速度动力 反 应 ， 并进而计算出构件内力的时程变化关系 。
12
图３．３
不同阻尼下单自由度体系的自由振 动
13
因此 ， 在计算体系的自 振频率时通常可不考 虑阻尼的影响 ， 从而简化了计算过程 。 由 于地 震发生前体系处于静止状态 ， 即体系的初位移 ｘ （ ０ ） 和初速度 （ ０ ） 均为 零 ， 也就是 式 （ ３ ． ９ ） 等于零 ， 则地震作用下体系齐 次方程的通解为零 。
20
21
图３．４
地震反应谱的确定
22
２ ） 反应谱的特点 （ １ ） 阻尼比的影响 阻尼比对反应谱的影响很大 ， 它不仅能降低 结构反应的幅值 ， 而且可以削平不少峰点 ， 使 反应谱曲线变得平缓 ， 如图 ３ ． ５ （ ａ ）、 （ ｂ ）、（ ｃ ） 所示 。 （ ２ ） 输入地震动峰值影响 对于弹性反应谱 ， 其输入 （ 地震动 ） 与输 出 （ 反应谱 ） 成线性关系 。 因 此 ， 输入地震 动峰值不同 ， 地震动的反应谱也按比例变化 ， 如 图 ３ ． ５ （ ｄ ） 所示 。
5
３．２ 分析
结构地震作用 单自由度弹性体系的地震反应
３．２．１
１ ） 单自 由度弹性体系的运动方程 图 ３ ． ２ 为单自 由度弹性体系在地震作用 下的计算简图 。 在地面运动 ¨ｘ ｇ （ ｔ ） 作 用 下 ， 结构发生振动 ， 产生相对地面的位移 ｘ （ ｔ ）、 速度 （ ｔ ） 和加速度 ¨ｘ （ ｔ ）。 取质点为 隔离体 ， 由 结构动力学可知 ， 该 质点上的作用力有 ： 惯性力 、 阻尼力和弹性恢复 力。
9
（ ３ ） 弹性恢复力 Ｆ Ｋ （ ｔ ） 弹性恢复力是使质点从振动位置恢复到平衡位 置的力 ， 由结构弹性变形产生 。 根据虎克 （ Ｈｏｏｋｅ ） 定理 ， 该力的大小与质点偏离 平衡位置的位移和体系的抗侧刚度成正比 ， 但方 向 与质点相对地面的位移相反 ， 即
10
11
２ ） 单自 由度弹性体系的运动方程求解 式 （ ３ ． ７ ） 为常系数二阶非齐次线性微 分方程 ， 其通解为 齐次通解与非齐次特解之和 ， 实质上即分别对应体系自 由振动反应与强迫振动 。 （ １ ） 齐次方程的通解 体系自 由振动运动方程为 ：
6
图３．２
单自由度弹性体系在地震作用下的 计算简图
7
（ １ ） 惯性力 Ｆ Ｉ （ ｔ ） 根据牛顿定律 ， 惯性力 大小 等于质点 的 质 量 ｍ 与绝对加速度 ［ｘ ｇ （ ｔ ） ＋ ｘ （ ｔ ）］ 的乘积 ， 其方向 与质点绝对运动加速度的方 向 相反 ， 即
8
（ ２ ） 阻尼力 Ｆ Ｃ （ ｔ ） 阻尼力是由 结构 内 摩擦 、 结构 构 件连接处 的摩擦 、 结构周围介质 （ 如空气 、 水等 ） 的 阻力 以及地基变形对结构运动的阻碍造成的 。 通 常采用黏滞阻尼 理论 ， 即 假定阻尼 力 的 大小 一般与质点相对运动速度成正比 ， 而力 的 方向 与 质点相对运动速度相反 ， 即
2
图３．１
结构计算简图
3
２ ） 反应谱理论阶段 ２０ 世纪 ４０ 年代以后 ， 在计算机应用的 发展和大量地震动观测记录积累的基础上 ， 美国 学者比奥特 （ Ｂｉｏｔ ） 首先明确提出 从实测 记录中计算反应谱的概念 ， 并从强震记录的分析 结果中推导出 了 无阻尼单自 由度体系的固有周 期 和反应加速度的关系 。 １９５３ 年 ， 美国 学者 豪斯纳 （ Ｈｏｕｓｎｅｒ ） 等 人 提 出 了 许 多 有 阻 尼单 自由度体系反应谱曲线的分析实例 ， 接 着 克 劳 夫 （ Ｃｌｏｕｇｈ ） 在高层建筑地 震反应中具体查明并解决了 高次振型的影响 。