中考数学分类汇编专题测试——动点问题1．如图，正方形的边长为，在对称中心处有一钉子．动点，同时从点ABCD 2cm O P Q 出发，点沿方向以每秒的速度运动，到点停止，点沿A P A B C →→2cm C Q A D→方向以每秒的速度运动，到点停止．，两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设1cm D P Q 秒后橡皮筋扫过的面积为．x 2cm y （1）当时，求与之间的函数关系式；01x ≤≤y x （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求值；x （3）当时，求与之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉12x ≤≤y x 子到运动停止时的变化范围；POQ ∠（4）当时，请在给出的直角坐标系中画出与之间的函数图02x ≤≤y x 象．[解] （1）当时，，，，01x ≤≤2AP x =AQ x =212y AQ AP x ==A 即．2y x =（2）当时，橡皮筋刚好触及钉子，12ABCD ABPQ S S =正方形四边形，，，．22BP x =-AQ x =()211222222x x -+⨯=⨯43x ∴=（3）当时，，413x ≤≤2AB =，，22PB x =-AQ x =，2223222AQ BP x x y AB x ++-∴==⨯=-A 即．32y x =-作，为垂足．OE AB ⊥E 当时，，，，423x ≤≤22BP x =-AQ x =1OE =，即．BEOP OEAQ y S S =+梯形梯形12211122x x +-+=⨯+⨯32x =32y x = 或90180POQ≤∠≤180270POQ≤∠≤321O12xy43B CPO D QA BP CODQAy321O12x（4）如图所示：2.如图,平面直角坐标系中,直线AB 与轴,轴分别交于A (3,0),B (0,)两点, ,点C x y 3为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥轴于点D .x (1)求直线AB 的解析式;(2)若S 梯形OBCD 求点C 的坐标;(3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.[解] （1）直线AB 解析式为：y=x+． 33-3（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ，x+），那么OD ＝x ，CD ＝x+． 33-333-3∴＝＝．OBCD S 梯形()2CD CD OB ⨯+3632+-x 由题意： ＝，解得（舍去）3632+-x 3344,221==x x ∴　Ｃ（２，）33方法二：∵　,＝，∴．23321=⨯=∆OB OA S AOB OBCD S 梯形33463=∆ACD S 由OA=OB ，得∠BAO ＝30°，AD=CD ．33∴　＝CD ×AD ＝＝．可得CD ＝． ACD S ∆21223CD 6333∴　AD=１，OD ＝２．∴C （２，）．33（３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=OB=3，3∴（3，）．1P 33②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=OB=1．33∴（1，）．2P 3当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30°过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝OB ＝，OP ＝BP ＝．2123323∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°，∴ OM ＝OP ＝；PM ＝OM ＝．∴（，）．214334333P 43433方法二：设Ｐ（x ，x+），得OM ＝x ，PM ＝x+33-333-3由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．∵tan ∠POM=== ，tan ∠ABOC==．OMPM xx 333+-OB OA 3∴x+＝x ，解得x ＝．此时，（，）． 33-33433P 43433④若△POB ∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°． ∴　PM ＝OM ＝．3343∴　（，）（由对称性也可得到点的坐标）．4P 43434P 当∠OPB ＝Rt ∠时，点P 在ｘ轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：（3，），（1，），（，），（，）．1P 332P 33P 434334P 43433．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ．(1)求点B 的坐标；(2)当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；(3)当点P 运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P 的坐标。

AB BD 85[解] (1)作BQ ⊥x 轴于Q.∵ 四边形ABCD 是等腰梯形,∴∠BAQ ＝∠COA ＝60°在Rt ΔBQA 中,BA=4,∴BQ=AB·sin ∠BAO=4×sin60°=32AQ=AB·cos ∠BAO=4×cos60°=2,∴OQ=OA-AQ=7-2=5∵点B 在第一象限内,∴点B 的的坐标为(5, )32(2)若ΔOCP 为等腰三角形,∵∠COP=60°,此时ΔOCP 为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形若ΔOCP 为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P 在x 轴的正半轴上,∴点P 的坐标为(4,0)若ΔOCP 是顶角为120°的等腰三角形,则点P 在x 轴的负半轴上,且OP=OC=4∴点P 的坐标为(-4,0)∴点P 的坐标为(4,0)或(-4,0)(3)若∠CPD=∠OAB ∵∠CPA=∠OCP+∠COP 而∠OAB=∠COP=60°,∴∠OCP=∠DPA 此时ΔOCP∽ΔADP∴AP OC AD OP =∵85=AB BD ∴,2585==AB BD AD=AB-BD=4-=2523AP=OA-OP=7-OP∴OP OP -=7423得OP=1或6∴点P 坐标为(1,0)或(6,0).4．已知：如图①，在Rt ΔABC 中，∠C=900，AC=4cm ，BC=3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0<t <2），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设ΔAQP 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ΔABC 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC ，并把ΔPQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． 解：（1）在Rt △ABC 中，522=+=AC BC AB ，由题意知：AP = 5－t ，AQ = 2t ，若PQ ∥BC ，则△APQ ∽△ABC ，∴=AC AQ ABAP，∴5542t t -=，∴710=t ． （2）过点P 作PH ⊥AC 于H ．∵△APH ∽△ABC ，∴=BC PH ABAP，∴=3PH 55t-，∴t PH 533-=，∴t t t t PH AQ y 353)533(221212+-=-⨯⨯=⨯⨯=． （3）若PQ 把△ABC 周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ ．∴)24(32)5(t t t t -++=+-， 解得：1=t ．若PQ 把△ABC 面积平分，则ABC APQ S S ∆∆=21， 即－253t ＋3t =3．∵ t =1代入上面方程不成立，∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt △ACB 的周长和面积同时平分． （4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，若四边形PQP ′ C 是菱形，那么PQ ＝PC ．∵PM ⊥AC 于M ，∴QM=CM ．∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ．图①B ABAN∴AB BP AC PN =， ∴54tPN =，∴54t PN =， ∴54tCM QM ==，∴425454=++t t t ，解得：910=t ．∴当910=t 时，四边形PQP ′ C 是菱形．此时37533=-=t PM ，　9854==t CM ，在Rt △PMC 中，9505816494922=+=+=CM PM PC ，∴菱形PQP ′ C 边长为9505．。