2009年广东省广州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2009•广州）将图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（）A．B．C．D．2．（3分）（2009•广州）如图，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1=130°，则∠2=（）A．40°B．50°C．130°D．140°）3．（3分）（2009•广州）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则a与b的大小关系是（4．（3分）（2009•广州）二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（）A．﹣2 B．2C．﹣1 D．15．（3分）（2009•广州）如图是广州市某一天内的气温变化图，根据图，下列说法中错误的是（）A．这一天中最高气温是24℃B．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低6．（3分）（2009•广州）下列运算正确的是（）A．（m﹣n）2=m2﹣n2B．m﹣2=（m≠0）C．m2n2=（mn）4D．（m2）4=m67．（3分）（2009•广州）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y=C．y=x﹣3 D．y=8．（3分）（2009•广州）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）A．正十边形B．正八边形C．正六边形D．正五边形9．（3分）（2009•广州）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为（）A．B．C．D．10．（3分）（2009•广州）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（）A．8B．9.5 C．10 D．11.5二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）（2009•广州）已知函数y=，当x=1时，y的值是_________．12．（3分）（2009•广州）在某校举行的艺术节的文艺演出比赛中，九位评委给其中一个表演节目现场打出的分数如下：9.3，8.9，9.3，9.1，8.9，8.8，9.3，9.5，9.3，则这组数据的众数是_________．13．（3分）（2009•广州）绝对值是6的数是_________．14．（3分）（2009•广州）如图①，图②，图③，图④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是_________，第n个“广”字中的棋子个数是_________．15．（3分）（2009•广州）如图是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由_________块长方体的积木搭成．16．（3分）（2009•广州）已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题：_________．三、解答题（共9小题，满分102分）17．（8分）（2009•广州）如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．证明：四边形DECF是平行四边形．18．（10分）（2009•广州）解方程：19．（10分）（2009•广州）先化简，再求值：，其中．20．（10分）（2009•广州）如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2cm．（1）求∠BAC的度数；（2）求⊙O的周长．21．（12分）（2009•广州）有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有其它任何区别．现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个，且只能放一个小球．（1）请用树状图或其它适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能情况；（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率．22．（12分）（2009•广州）如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点，且点M的坐标是（1，2）．（1）写出点A、B的坐标；（2）求直线MN所对应的函数关系式；（3）利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形．（保留作图痕迹，不写作法）23．（12分）（2009•广州）为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动．某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台．（1）在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台？（2）若Ⅰ型冰箱每台价格是2298元，Ⅱ型冰箱每台价格是1999元，根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问：启动活动后的第一个月销售给农户的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共补贴了多少元（结果保留2个有效数字）？24．（14分）（2009•广州）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF 与GH交于点P．（1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．25．（14分）（2009•广州）如图，二次函数y=x2+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣1），△ABC的面积为．（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2009年广东省广州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2009•广州）将图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（）A．B．C．D．考点：利用平移设计图案．分析：根据平移的特征分析各图特点，只要符合“图形的形状、大小和方向都不改变”即为答案．解答：解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，将题图所示的图案通过平移后可以得到的图案是A，其它三项皆改变了方向，故错误．故选A．点评：本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选B、C、D．2．（3分）（2009•广州）如图，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1=130°，则∠2=（）A．40°B．50°C．130°D．140°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：由题意AB∥CD直接根据两直线平行同位角相等即可求出∠2．解答：解：∵AB∥CD，∴∠2=∠1=130°．故选C．点评：本题主要考查平行线的性质，比较简单．）3．（3分）（2009•广州）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则a与b的大小关系是（考点：有理数大小比较．分析：在数轴上越靠右的点表示的数就越大，观察数轴就可以得出a和b的大小关系．解答：解：观察数轴，根据在数轴上右边的数总比左边的数大，可知a＜b．故选C．点评：有理数的大小比较是中考的常考知识点，应该熟练掌握，与数轴结合起来考查是常见的考查形式．在数轴上越靠右的点表示的数越大，这是有理数大小比较的原则．4．（3分）（2009•广州）二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（）A．﹣2 B．2C．﹣1 D．1考点：二次函数的最值．分析：考查对二次函数顶点式的理解．抛物线y=（x﹣1）2+2开口向上，有最小值，顶点坐标为（1，2），顶点的纵坐标2即为函数的最小值．解答：解：根据二次函数的性质，当x=1时，二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是2．故选B．点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．5．（3分）（2009•广州）如图是广州市某一天内的气温变化图，根据图，下列说法中错误的是（）A．这一天中最高气温是24℃B．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低考点：函数的图象．分析：根据广州市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．解答：解：0时至2时之间和14时至24时之间的气温在逐渐降低，剩下时段气温逐渐上升，所以其中A、B、C 的说法都是正确的，故选D．点评：本题考查的是统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．6．（3分）（2009•广州）下列运算正确的是（）A．（m﹣n）2=m2﹣n2B．m﹣2=（m≠0）C．m2n2=（mn）4D．（m2）4=m6考点：负整数指数幂；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．专题：计算题；压轴题．分析：分别根据完全平方公式、负整数指数幂、积的乘方与幂的乘方逐一进行计算即可．解答：解：A、（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2，错误；B、正确；C、m2•n2=（mn）2，错误；D、（m2）4=m8，错误；故选B．点评：解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方等考点的运算．7．（3分）（2009•广州）下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y=C．y=x﹣3 D．y=考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．分析：分式有意义，分母不等于0；二次根式有意义：被开方数是非负数就可以求出x的范围．解答：解：A、分式有意义，x﹣3≠0，解得：x≠3；B、二次根式有意义，x﹣3＞0，解得x＞3；C、函数式为整式，x是任意实数；D、二次根式有意义，x﹣3≥0，解得x≥3．故选D．点评：本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．8．（3分）（2009•广州）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）A．正十边形B．正八边形C．正六边形D．正五边形考点：平面镶嵌（密铺）．分析：本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况．解答：解：由平面镶嵌的知识可知，只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形，故选项A、B、D不能够铺满地面．故选C．点评：本题意在考查学生对平面镶嵌知识的掌握情况，体现了学数学用数学的思想．有部分考生根据直觉认为是正八边形，其实由平面镶嵌的知识可知只用一种正多边形能够铺满地面的是正三角形或正四边形或正六边形．9．（3分）（2009•广州）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，如图所示，则sinθ的值为（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义；圆锥的计算．专题：压轴题．分析：先根据扇形的面积公式S=L•R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．解答：解：根据圆锥的底面半径为5cm，则底面周长是10π．根据扇形的面积公式S=L•R，则65π=•10π•R，∴R=13，因而sinθ=．故选B．点评：本题意在综合考查学生对圆锥的侧面展开图和三角函数等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想等数学思想方法的考查．10．（3分）（2009•广州）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为（）A．8B．9.5 C．10 D．11.5考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．专题：计算题；压轴题．分析：本题意在综合考查平行四边形、相似三角形、和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查．在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；△ABE是等腰三角形，AB=BE=6，所以CF=3；在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=，可得AG=2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE=2AG=4，所以△ABE的周长等于16，又由▱ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8，因此选A．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF=∠DAF，∴∠BAF=∠F，∴∠DAF=∠F，∴AD=FD，∴△ADF是等腰三角形，同理△ABE是等腰三角形，AD=DF=9；∵AB=BE=6，∴CF=3；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=，可得：AG=2，又BG⊥AE，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵▱ABCD∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选A．点评：本题考查勾股定理、相似三角形的知识，相似三角形的周长比等于相似比．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）（2009•广州）已知函数y=，当x=1时，y的值是2．考点：反比例函数的定义．专题：计算题；压轴题．分析：把所给的函数值代入解析式，转化成关于自变量的方程，从而解这个方程即可．解答：解：当x=1时，代入y=，解得y=2．故答案为：2．点评：本题考查了反比例函数的定义，由已知函数解析式和函数值求相应的自变量的值．12．（3分）（2009•广州）在某校举行的艺术节的文艺演出比赛中，九位评委给其中一个表演节目现场打出的分数如下：9.3，8.9，9.3，9.1，8.9，8.8，9.3，9.5，9.3，则这组数据的众数是9.3．考点：众数．分析：众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求出．解答：解：9.3出现的次数最多，所以众数是9.3．故填9.3．点评：主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．13．（3分）（2009•广州）绝对值是6的数是±6．考点：绝对值．分析：互为相反数的两个数的绝对值相等，所以绝对值是6的数是6，﹣6解答：解：根据绝对值的意义，得绝对值是6的数是±6．点评：本题考查了绝对值的意义．注意：绝对值等于一个正数的数有两个，即一对相反数．14．（3分）（2009•广州）如图①，图②，图③，图④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是15，第n个“广”字中的棋子个数是2n+5．考点：规律型：图形的变化类．专题：压轴题；规律型．分析：本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．解答：解：由题目得，第1个“广”字中的棋子个数是7；第2个“广”字中的棋子个数是9；第3个“广”字中的棋子个数是11；4个“广”字中的棋子个数是13；发现第5个“广”字中的棋子个数是15…进一步发现规律：第n个“广”字中的棋子个数是（2n+5）．点评：易错分析：本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．部分考生总结规律为第n个“广”字中的棋子个数是（2n+3）得到了错误答案．15．（3分）（2009•广州）如图是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由4块长方体的积木搭成．考点：由三视图判断几何体．专题：压轴题．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：由俯视图知，最底层有3块长方体，由正视图和左视图知，此图有两层，最上层有1块长方体，因此此几何体共有4块长方体的积木块搭成．点评：本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．由几何体的三视图的情况结合模型可得此几何体共由4块长方体的积木搭成，如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．16．（3分）（2009•广州）已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题：如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直．考点：命题与定理．专题：压轴题．分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．解答：解：命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”的逆命题是“如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直”．点评：本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．三、解答题（共9小题，满分102分）17．（8分）（2009•广州）如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．证明：四边形DECF是平行四边形．考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理．专题：证明题．分析：先由中位线定理得到DF∥BC，DF=BC=EC，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行平行四边形的判定．解答：证明：∵D、F分别为边AB、CA的中点．∴DF∥BC，DF=BC=EC，∴四边形DECF是平行四边形．点评：主要考查了平行四边形的判定和三角形中位线定理中的关系．数量关系：中位线的长度等于所对应的边长的一半．位置关系：中位线与对应边是平行的关系．18．（10分）（2009•广州）解方程：考点：解分式方程．专题：计算题．分析：观察可得方程最简公分母为x（x﹣2）．方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．结果需检验．解答：解：两边乘以x（x﹣2），得3（x﹣2）=2x，解得x=6．经检验，x=6是原方程的解．点评：本题主要考查分式方程等基本运算技能，考查基本的代数运算能力．注意最后应检验是否是分式方程的解．19．（10分）（2009•广州）先化简，再求值：，其中．考点：二次根式的化简求值；整式的加减—化简求值．分析：本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．解答：解：原式=a2﹣3﹣a2+6a=6a﹣3，当a=时，原式=6+3﹣3=6．点评：本题主要考查整式的运算、平方差公式等基本知识，考查基本的代数计算能力．注意先化简，再代入求值．20．（10分）（2009•广州）如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2cm．（1）求∠BAC的度数；（2）求⊙O的周长．考点：圆周角定理；等边三角形的性质；圆的认识；解直角三角形．专题：计算题．分析：（1）由圆周角定理得，∠A=∠D=60°；（2）由三角形内角和得∠ABC=60，°所以△ABC是等边三角形，作OE⊥AC，连接OA，由垂径定理得，AE=CE=AC=cm，再由余弦的概念求得半径OA的长，由圆的周长公式求得周长．解答：解：（1）∠BAC=∠BDC=60°（同弧所对的圆周角相等）；（2）∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，作OE⊥AC于点E，连接OA，则OA平分∠BAC，∴∠OAE=30°，∴OA==2cm，所以⊙O的周长=2π×2=4πcm．点评：本题利用了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，余弦的概念，圆周长公式求解．21．（12分）（2009•广州）有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有其它任何区别．现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个，且只能放一个小球．（1）请用树状图或其它适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能情况；（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率．考点：列表法与树状图法．分析：列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．解答：解：如图所示：（2）P（红球恰好被放入②号盒子）=．点评：树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．此题也可采用列举法，要注意别漏解．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（12分）（2009•广州）如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB的两个端点都在格点上，直线MN经过坐标原点，且点M的坐标是（1，2）．（1）写出点A、B的坐标；（2）求直线MN所对应的函数关系式；（3）利用尺规作出线段AB关于直线MN的对称图形．（保留作图痕迹，不写作法）考点：作图-轴对称变换．专题：作图题；压轴题；网格型．分析：考查平面直角坐标系的基本知识，但同时也考查了待定系数法，解答：解：（1）A（﹣1，3），B（﹣4，2）．（2分）（2）解法1：∵直线MN经过坐标原点，∴设所求函数的关系式是y=kx，又点M的坐标为（1，2），∴k=2．（3分）∴直线MN所对应的函数关系式是y=2x．（4分）解法2：设所求函数的关系式是y=kx+b，则由题意得：，解这个方程组，得，（6分）∴直线MN所对应的函数关系式是y=2x．（3）利用直尺和圆规，作线段AB关于直线MN的对称图形A′B′，如图所示．（8分）点评：根据图形，找出需要的点的坐标即可23．（12分）（2009•广州）为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动．某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台．（1）在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台？（2）若Ⅰ型冰箱每台价格是2298元，Ⅱ型冰箱每台价格是1999元，根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问：启动活动后的第一个月销售给农户的1228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共补贴了多少元（结果保留2个有效数字）？考点：二元一次方程组的应用．专题：压轴题．分析：（1）启动前一个月Ⅰ型冰箱十Ⅱ型冰箱的台数=960台，启动后笫一个月的台数1228台=启动前一个月Ⅰ型冰箱×（1+30%）+Ⅱ型冰箱×（1+25%），两等量关系列出方程组求出冰箱的台数；（2）启动活动后第一个月（Ⅰ型冰箱的台数×单价+Ⅱ型冰箱的台数×单价）×13%即为所求．解答：解：（1）在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为x、y台．得，解得经检验，符合题意．答：在启动活动前的一个月，销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为560台、400台；（2）（2298×560×1.3+1999×400×1.25）×13%=3.5×105．答：政府共补贴了3.5×105元．点评：易错分析：本题文字较长，部分考生没有读懂题意，盲目下手，导致题目做错．24．（14分）（2009•广州）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF 与GH交于点P．（1）若AG=AE，证明：AF=AH；（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）因为AG=AE⇒BF=DH．AB=AD，∠ABC=∠ADH⇒△ABF≌△ADH．（SAS）（2）将△ADH绕点A顺时针旋转90°后，可得△AFH≌△AFM然后可求得结论．（3）设BF=x，GB=y，根据线段之间的关系利用勾股定理求出xy的值．解答：（1）证明：连接AH、AF．∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠B=90°．∵ADHG与ABFE都是矩形，∴DH=AG，AE=BF，又∵AG=AE，∴DH=BF．在Rt△ADH与Rt△ABF中，∵AD=AB，∠D=∠B=90°，DH=BF，∴Rt△ADH≌Rt△ABF，∴AF=AH．（2）证明：将△ADH绕点A顺时针旋转90°到△ABM的位置．在△AMF与△AHF中，∵AM=AH，AF=AF，∠MAF=∠MAH﹣∠FAH=90°﹣45°=45°=∠FAH，∴△AMF≌△AHF．∴MF=HF．∵MF=MB+BF=HD+BF=AG+AE，∴AG+AE=FH．（3）解：设BF=x，GB=y，则FC=1﹣x，AG=1﹣y，（0＜x＜1，0＜y＜1）在Rt△GBF中，GF2=BF2+BG2=x2+y2∵Rt△GBF的周长为1，∴BF+BG+GF=x+y+=1即=1﹣（x+y）即x2+y2=1﹣2（x+y）+（x+y）2整理得2xy﹣2x﹣2y+1=0∴xy﹣x﹣y=﹣，∴矩形EPHD的面积S=PH•EP=FC•AG=（1﹣x）（1﹣y）=xy﹣x﹣y+1=﹣，∴矩形EPHD的面积是．点评：本题考查正方形的特殊性质，勾股定理以及正方形中的特殊三角形的应用．25．（14分）（2009•广州）如图，二次函数y=x2+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣1），△ABC的面积为．（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）由△ABC的面积为，可得AB×OC=，又二次函数y=x2+px+q（p＜0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣1）可求得该二次函数的关系式；（2）根据直线与圆的位置的位置关系确定m的取值范围．（3）四边形ABCD为直角梯形，要分类讨论，即究竟那条边为底．可以分别以AC、BC为底进行讨论．解答：解：（1）∵OC=1，∴q=﹣1，∵△ABC的面积为．∴OC×AB=，解得AB=，设A（a，0），B（b，0），则a、b是一元二次方程x2+px﹣1=0两个根，∴a+b=﹣p，ab=﹣1，∴AB=b﹣a==，解得p=，又∵p＜0，∴p=．所以解析式为：y=x2﹣x﹣1；（2）令y=0，解方程得x2﹣x﹣1=0，得x1=﹣，x2=2，所以A（，0），B（2，0），在直角三角形AOC中可求得AC=，同样可求得BC=，显然AC2+BC2=AB2，得三角形ABC是直角三角形．AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=，所以．（3）存在，AC⊥BC，①若以AC为底边，则BD∥AC，易求AC的解析式为y=﹣2x﹣1，可设BD的解析式为y=﹣2x+b，把B（2，0）代入得BD解析式为y=﹣2x+4，解方程组得D（，9）②若以BC为底边，则BC∥AD，易求BC的解析式为y=0.5x﹣1，可设AD的解析式为y=0.5x+b，把A（，0）代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组得D（）综上，所以存在两点：（，9）或（）．点评：本题综合考查了二次函数的有关知识以及直线与圆的关系，范围较广，难度较大．。