经济数学基础 第一章 函数第一章 典型例题与综合练习第一节 典型例题一、函数的概念例1求函数24)1ln(1)(x x x f -+-=的定义域．解：要使函数有意义，必须⎪⎩⎪⎨⎧≥->-≠-04010)1ln(2x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤->≠2212x x x故定义域 {}21|<<=x x D例2求函数⎩⎨⎧≤<+<-=20 520 32)(2x x x x x f 的定义域． 解：分段函数的定义域是自变量x 取值的各个区间的并集，即{}20}0{≤<<x x x x ，亦即{}02≠≤=x x x D 且．例3已知函数f (x ＋1)＝x 2＋4x －3，求f (x )，)1(xf ，f (0)，f (1)．解方法一：f (x )＝f ((x －1)＋1)＝(x －1)2＋4(x －1)－3＝x 2－2x ＋1＋4x －4－3＝x 2＋2x －6；)1(x f ＝2)1(x ＋2)1(x －6=6212-+x x=22621x x x -+；经济数学基础 第一章 函数f (0)=02＋20－6=－6；f (x )=12＋21－6=－3方法二：将x ＋1看作一个变量，得f (x )=x 2＋2x －6，后面的作法同方法一，分别得出22621)1(x x x x f -+=，3)1(,6)0(-=-=f f例4判断函数f (x )＝log 0.5(x 2＋1)的单调性．解:易知函数f (x )＝log 0.5(x 2＋1)为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称，故只需讨论x ＞0时函数的单调性．对任意x 1＞x 2＞0，有x 12＋1＞x 22＋1因为对数之底0.5＜1，此时对数函数单调减少，故 log 0.5(x 12＋1)＜log 0.5(x 22＋1),即f (x 1)＜f (x 2)由单调性定义可知当x ＞0时，f (x )＝log 0.5(x 2＋1)是单调减函数．再由偶函数的性质可知当x ＜0时，f (x )＝log 0.5(x 2＋1)是单调增函数．因此函数f (x )＝log 0.5(x 2＋1)在(－∞,0)上单调增加，在(0,＋∞)上单调减少．例5设函数f (x )和g (x )都是奇函数，试证f (x )·g (x )是偶函数． 证明：已知f (x )和g (x )都是奇函数，由定义可知，对任意x ，有f (－x )＝－f (x )；g (－x )＝－g (x )，上两个等式的左右端分别相乘得 f (－x )·g (－x )＝(－f (x ))·(－g (x ))＝f (x )·g (x ) 即对任意x 有f (－x )·g (－x )＝f (x )·g (x ) 由定义可知f (x )·g (x )是偶函数．二、函数的运算例1将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：经济数学基础第一章函数(1)y＝ln(tan x21+)；(2)y＝e x2cos2x解：(1)y＝ln u，u＝tan v，v＝w，w＝x2＋1其中y，u，v作为中间变量u，v，w的函数都是基本初等函数，而w是幂函数x2与常数函数1的和．(2) y＝e u v2，u＝x2，v＝cos xy是指数函数e u和幂函数v2的乘积，u，v为中间变量．三、经济分析中的常见函数例1某种产品的需求函数为q d＝100－2p,供给函数为q s＝10p－8,求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量．解：由100－2p＝10p－8；移项整理得12p＝108，故p0＝9因q0＝100－2p0，故q0＝82即该产品的市场均衡价格为9，市场均衡数量为82．例2已知生产某种产品的成本函数为C(q)＝80＋2q，试求生产该产品的固定成本，并求当产量q为50时的平均成本．解：固定成本就是当产量为零时的总成本，设为c0，有c0＝C(0)＝80因为平均成本为C＝C q q ()所以C(50)＝C(50)50＝8025050+⨯＝3.6即生产该产品的固定成本为80，产量q为50时的平均成本为3.6．经济数学基础 第一章 函数例3已知某厂生产某种产品的成本函数为C (q )＝500＋2q (元)，其中q 为该产品的产量，如果该产品的售价定为每件6元，试求：(1)生产200件该产品时的利润和平均利润；(2)求生产该产品的盈亏平衡点．解(1)已知C (q )＝500＋2q (元) 又由题意知收入函数为R (q )＝6q因此，利润函数为L (q )＝R (q )－C (q )＝6q －(500＋2q )＝4q －500 (元)又因该产品的平均利润函数为L ＝L q q ()＝4－500q (元件)生产200件该产品时的利润为L (200)＝4×200－500＝300(元)而此时平均利润为L ＝4－500200＝1.5(元件)即生产200件该产品时的利润为300元，平均利润为每件1.5元． (2)利用L (q )＝0得4q －500＝0解得q 0＝125 ，(件)，即盈亏平衡点为125件.第一节 典型例题一、填空题1. 函数y ＝41--xx lg()的定义域是 ．2. 函数f (x ＋1) = x 2＋2x －5，则f (x ) = ． 3. 函数y ＝ x 2－6x ＋10的单调区间是 ． 4. 设f (u )=u 2＋1，g (x )=x+11，则f (g (2)) = ．经济数学基础 第一章 函数5. 如果某商品的需求函数是q d ＝25－2 p ，供给函数是q s ＝3p －12，那么该商品的市场均衡价格是 ．6. 已知某产品的成本函数为C (q )＝0.2q 2＋4q ＋294，该产品的需求函数为q ＝180－4 p ，该产品的利润函数为 ．7. 厂家生产某种产品的固定成本是18000元，而可变成本是总收入的40，若厂家以每件30元的价格出售该产品，则生产该产品的盈亏平衡点是 ．1．(1，2)∪(2，4]； 2．x 2－6； 3．(－，3)和(3，＋)；4．910；5．7.4；6．L (q )＝41q －0.45q 2－294；7．1000件二、单选题1.设f (x )=log a x ，则（ ）成立．(A)f (x )·f (y )＝f (x ＋y )；(B)f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ) (C)f (x ·y )＝f (x )·f (y )；(D)f (x ·y )＝f (x )＋f (y ) 2.下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．(A)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ，g (x )=1；(B)f (x )=lg x 2，g (x )=2lg x ；(C)f (x )＝(x )2，g (x )=x ；(D)f (x )＝112--x x ，g (x )=x ＋13.下列函数中，（ ）是奇函数．(A)y ＝x 3＋1；(B)y ＝2x x a a -+；(C)y ＝x x -+1ln(2；(D) y ＝)2sin(π+x4.下列函数中，（ ）不是基本初等函数． (A)y ＝31x ；(B)y ＝lg(1－x )；(C)y ＝x )101(；(D)y ＝1085.设f (x )＝x1，则f (f (x ))＝（ ）．经济数学基础 第一章 函数(A)x 1；(B)21x；(C)x ；(D) x 21.D ；2．A ；3．C ；4．B ；5．C三、多选题1.设f (x )＝x x x x x x +-∞-+∞⎧⎨⎪⎩⎪20202223＜＜≤＜≤＜()则（ ）成立．(A)f (－1)＝f (0)；(B)f (0)＝f (1)；(C)f (－1)＝f (3)；(D)f (－3)＝f (3) 2.设f (x )＝a x (a0，a1），则等式（ ）成立．(A)f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )；(B)f (x )·f (y )＝f (x ＋y )； (C))()()(yxf y f x f =；(D))()()(y x f y F x f -= 3.下列函数中（ ）是偶函数．(A)y ＝x 3sin x ；(B)y ＝2x x a a -+；(C)y ＝e x 2；(D)y ＝5＋cos x4.下列结论中（ ）是正确的．(A)基本初等函数都是单调函数；(B)偶函数的图形关于y 轴对称 (C)奇函数的图形关于坐标原点对称；(D) 周期函数都是有界函数 5.指数函数y ＝a x (a0，a1)满足（ ）．(A)图形过点(0，1)；(B)是单调函数；(C)是有界函数；(D)函数值都大于零 6.设C (q )是成本函数，R (q )是收入函数，L (q )是利润函数，则盈亏平衡点是方程（ ）的解．(A)C (q )＋R (q )＝0；(B)L (q )＝0；(C) R (q )－C (q )＝0；(D)L (q )－C (q )＝0 1.AC ；2．BD ；3．ABCD ；4．BC ；5．ABD ；6．BC经济数学基础 第一章 函数四、配伍题1.(A)函数f (x )＝e sin x ；①在区间(－，1)是单调减少的(B)函数f (x )＝x 2－2x ＋5；②是偶函数 (C)函数f (x )＝x 3sin x ＋6；③是有界函数 2.(A)函数f (x )＝2tan x ；①是奇函数(B)函数f (x )＝cos2010x x x x-∞++∞⎧⎨⎩＜＜≤＜e ；②是以为周期的函数(C)函数f (x )＝a x－a －x；③满足f (0)＝2 1．A ③；B ①；C ②；2．A ②；B ③；C ①；五、是非题1.函数y ＝ln x 3与函数y ＝3ln x 是相同的．（ ）2.设ab c ，若函数f (x )在(a ，b ]和(b ，c )上都是单调增加的，则f (x )在(a ，c )上也是单调增加的．（ ）3.若函数f (x )是定义在(－l ，l )(l0)上的函数，则有(1)f (x )＋f (－x )是偶函数（ ）；(2)f (x )－f (－x )是奇函数（ ）. 4.初等函数是由基本初等函数经复合而得到的．（ ） 5. 分段函数不一定是初等函数．（ ）6. 利润函数L (q )是销售量q 的单调增加函数．（ ）1．√ ； 2．× ； 3．(1) √；(2) √ ； 4．× ； 5．√ ； 6．×六、计算题1.求函数y ＝x x 26--的定义域．2.设函数f (x )＝1001412-∞-+∞⎧⎨⎪⎩⎪＜＜≤＜≤＜x x x x x e经济数学基础 第一章 函数求f (－1)，f (21)，f (1)和f (2)． 3.求函数y ＝ln(4＋3x －x 2)的定义域．4.设函数f (u )的定义域为[0，1]，求f (ln x )的定义域．5.将下列函数写成较简单函数的复合形式 (1)y ＝ex 21+；(2)y ＝cossin 2x 36.已知某产品的需求函数是q d ＝50－10 p ，供给函数是q s ＝10p －10，求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量．7.已知厂家生产某种产品的成本函数为C (q )＝50＋3q ，收入函数为R (q )＝5q ，(1)求该产品的平均利润；(2)求该产品的盈亏平衡点．8.某商品的成本函数为C (q )＝2q 2－4q ＋27，供给函数为q ＝p －8，(1)求该商品的利润函数；(2)说明该商品的盈亏情况．1．函数的定义域为),3[]2,(∞+--∞ ；2．f (-1)=1；f (21)=e ；f (1)=3；f (2)=0；3．(－，4)；4．[1，e]；5．(1)y ＝e u ；u ＝v ；v ＝x 2＋1；(其中y ，u 作为中间变量u ，v 的函数都是基本初等函数，而v 是幂函数x 2与常数函数1的和．)；(2)y ＝cos u ；u ＝v 2；v ＝sin w ；w ＝x 3；(其中y ，u ，v ，w 分别作为中间变量和自变量u ，v ，w ，x 的函数都是基本初等函数．)；6．市场均衡价格为p 0＝3，市场均衡数量为q 0＝20； 7．(1)L ＝q502-；(2)q 0＝25.经济数学基础第一章函数8．(1)L(q)＝12q－q2－27；(2)由L(q)＝(q－3)(9－q)可以分析出，当3<q<9时盈利，当q<3或q>9时亏损，当q＝3或q＝9时盈亏平衡．七、证明题1.试证：两个单调增函数之和仍是单调增函数．2.试证：奇函数与偶函数的乘积是奇函数．3.试证：若奇函数f (x)在原点有定义，则f (0)＝0．1．证明：设f1(x), f2(x)都是单调增函数．令h(x)＝f1(x)+f2(x)，对任意x1<x2有f1(x1)< f1(x2)，f2(x1)<f2(x2)故h(x1)＝f1(x1)+f2(x1)<f1(x2)+f2(x2)＝h(x2)即h(x1)<h(x2)，由此可知h(x)是单调增函数．2．证明：设f1(x)是奇函数，f2(x)是偶函数．令h(x)＝f1(x)·f2(x)，对任意x有f1(－x)=－f1(x)，f2(－x)=f2(x)故h(－x)＝f1(－x)·f2(－x)＝－f1(x)·f2(x)＝－h(x)即h(－x)＝－h(x)，由此可知h(x) 是奇函数．3．证明：已知f (x)是奇函数，对任意x有f(－x)=－f(x)令x=0代入上式得f(－0)=－f(0)即f(0)=－f(0)，由此得出f(0)=0．。